2018年4月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(浙江省慈溪市慈溪實驗中學(xué)華漫天315300)

解由于(x,y,z)=1，所以x、y、z中至少有兩個數(shù)互質(zhì)，

不妨令t=y+z，

由(y,z)=1知(y,t)=1，而t>y，

故t=11且y<11，

得x=11y-y2，由于x>11，

故y=2,3,4,5,6,7,8,9，

則x=18,24,28,30.

(2)若(x,y)=1或(x,z)=1，不妨考慮(x,y)=1，同樣令t=y+z，得tx=11y(t-y)，

則y|tx，于是y|t，不妨令t=ky，

代入化簡得kx=11y(k-1).

于是y|k，令k=k′y，得k′x=11(k′y-1)，

因此k′=1或者11，

當(dāng)k′=1時，得x=11y-11，由于(x,11)=1，故不符；

當(dāng)k′=11時，得x=11y-1，其中y是大于1的所有整數(shù)，此時易知z=11y2-y.

(3)若(x,y)=1且(x,z)=1,易得x=1，不符.

綜上x的所有解是x=18,24,28,30,11n-1(其中n是大于1的所有整數(shù)).

2417四邊形ABCD的邊AD、BC相交于點P，AB與CD不平行，△ABP、△CDP的外心分別為O1、O2，垂心分別為H1、H2，O1H1、O2H2的中點分別為E1、E2，過E1、E2分別作CD、AB的垂線.證明：這兩條垂線與H1H2三線共點.

(江西省高安市石腦二中王典輝330818)

證明如圖1，設(shè)M1、M2分別為PH1、PH2的中點，過E1作CD的垂線，交PH1于X1，交H1H2于Y1；過E2作AB的垂線，交PH2于X2，交H1H2于Y2.

圖1

在△E1X1M1和△E2X2M2中，因為X1M1⊥AB、X2E2⊥AB，所以X1M1∥X2E2；同理可知E1X1∥M2X2.可得∠E1X1M1與∠E2X2M2互補(bǔ).

又因為E1M1∥O1P、E1X1∥PH2,

所以，∠M1E1X1=∠H2PO1=∠CPH2-∠BPO1=(90°-∠PCD)-(90°-∠PAB)

=∠PAB-∠PCD.

同理，∠M2E2X2=∠O2PH1

=∠O2PD-∠H1PA

=(90°-∠PCD)-(90°-∠PAB)

=∠PAB-∠PCD.

因此，得∠M1E1X1=∠M2E2X2.

于是，由正弦定理有

由熟知的定理：三角形任意一頂點到垂心的距離等于外心到對邊距離的2倍.可得PM1等于O1到AB的距離.

PM1=O1Acos∠APB=O1Pcos∠APB

=2M1E1cos∠APB.

同理，有

PM2=2M2E2cos∠CPD=2M2E2cos∠APB.

因為X1Y1∥PH2,X2Y2∥PH1，

從而Y1與Y2重合，即X1E1、X2E2、H1H2三線共點.

(江蘇省常熟市中學(xué)查正開215500)

證明

(1)

根據(jù)條件利用柯西不等式，(1)式左邊

由于最后一個不等式在已知條件下是成立的 故(1)成立，因此問題2得證.

2419在△ABC中,R,r分別是△ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑,∠BAC的平分線AD與ΔABC的外接圓相交于點D,AD與則BC相交于點E,則

(天津水運(yùn)高級技工學(xué)校黃兆麟300456)

證明鏈中前兩個不等式

成立較明顯,故以下僅需證鏈中最后一個不等式即可.

如圖,容易看出,在△ABD中,

則由正弦定理可得

=2R,

(1)

另一方面,由熟知的內(nèi)切圓半徑公式

可得

=cosA+cosB+cosC

兩邊同除以2立得鏈中最后一個不等式成立,命題獲證.

2420設(shè)△ABC中的三邊長分別為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院李永利467000)

證明設(shè)△ABC的半周長為p.

(2)

因abc=4Rrp，a3+b3+c3=2p(p2-6Rr-3r2)，

故(2)式等價于

(3)

?3R3≥2r(p2-6Rr-3r2)

?3R3+12Rr+6r2≥2rp2，

由上式和Gerretsen不等式p2≤4R2+4Rr+3r2可知，只需證明

3R3+12Rr+6r2≥2r(4R2+4Rr+3r2)

(4)

?3R3-8R2r+4Rr2≥0

?3R2-8Rr+4r2≥0

?(3R-2r)(R-2r)≥0，

而由Euler不等式R≥2r可知上式顯然成立，

從而(4)成立，故(3)式成立，即(2)式成立.

(5)

?(a3+b3+c3)3≥(a2+b2+c2)3abc

(6)

而冪平均不等式和均值不等式可得

(a3+b3+c3)3=(a3+b3+c3)2(a3+b3+c3)

=(a2+b2+c2)abc，

即(6)式成立，故(5)式成立.

(7)

?3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2

而由冪平均不等式上式顯然成立，因此(7)式成立.

(8)

由(2)，(4)，(7)，(8)四式可知(1)式成立.

2018年5月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2421已知a,b,c,d∈R+,且a+b+c=3,求證：

(安徽省六安第二中學(xué)陶興紅237005 )

2422以Rt△ABC中直角邊BC為長軸的橢圓

E與斜邊AB交于點P和B，證明：以AC為直徑的圓ω是△PF1F2的旁切圓，其中F1和F2為橢圓E的焦點.

(河南省輝縣市一中賀基軍453600)

(湖北省谷城縣第三中學(xué)賀斌441700)

2424如圖，點D、E、F分別在△ABC三邊上，滿足EB=ED=FD=FC,G為△ABC的外心，求證：A、E、G、F共圓.

(江西師范高等?？茖W(xué)校王建榮335000)

2425已知a,b,c為正實數(shù)且abc=1,n∈N+，求證：

(安徽省岳西中學(xué)儲百六246600)