李尚志

(北京航空航天大學(xué)　100083)

測(cè)試題1

5.平面上建立了直角坐標(biāo)系,A,B是平面上兩點(diǎn).將OB繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)直角到OB′.已知A,B′ 的坐標(biāo)分別是(3,1) 與(-2,2).則點(diǎn)B到直線OA的距離為_(kāi)_______.

圖1

解法1此題是這套題中第一個(gè)容易題, 既不像第1,2,4題那樣難以入門(mén), 也不像第3題設(shè)了陷阱.可以照章辦事求出點(diǎn)B坐標(biāo)再求出直線OA方程, 再利用點(diǎn)到直線距離公式算出B到直線OA的距離.

再寫(xiě)出直線OA的方程x-3y=0.于是B到直線OA的距離

6.將空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸繞某條直線旋轉(zhuǎn), 使Ox軸旋轉(zhuǎn)到Oy軸,Oy軸旋轉(zhuǎn)到Oz軸.則旋轉(zhuǎn)角度是________.(求最小正角)

解旋轉(zhuǎn)的效果是Ox→Oy→Oz→Ox.如果將這個(gè)旋轉(zhuǎn)動(dòng)作重復(fù)3次, 則Ox先旋到Oy再旋到Oz再回到Ox.而Oy先旋到Oz再到Ox再回到Oy.同樣地,Oz到Ox再到Oy再回到Oz.總之,重復(fù)三次之后Ox,Oy,Oz都轉(zhuǎn)了一圈回到原來(lái)位置, 都旋了360°.設(shè)每次旋α, 則3α=360°?α=360°÷3=120°.如圖2.

圖2

答案: 120°.

點(diǎn)評(píng): 容易犯的錯(cuò)誤是認(rèn)為Ox轉(zhuǎn)到Oy是旋轉(zhuǎn)90°.如果那樣,由Ox到Oy組成這個(gè)90°所在的平面就應(yīng)該垂直于轉(zhuǎn)軸, 轉(zhuǎn)軸就應(yīng)該是Oz軸.但既然Oy轉(zhuǎn)到了Oz,Oz就不是不動(dòng)而是轉(zhuǎn)到Ox.

7.在正方體ABCD-A′B′C′D′ 中,P是側(cè)面BB′C′C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若P到直線BC與直線C′D′的距離相等, 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是________.

圖3

解C′D′ 垂直于平面BB′C′C, 垂足為C′.平面BB′C′C內(nèi)任一點(diǎn)P到C′D′ 的距離就是|PC′|.P到兩條直線BC,C′D′ 距離相等,就是到點(diǎn)C′ 與直線BC距離相等, 軌跡是以C′ 為焦點(diǎn),BC為準(zhǔn)線的拋物線在正方形BB′C′C范圍內(nèi)的部分.

答案: 拋物線段.

數(shù)學(xué)建模: 舊知識(shí)攻克新問(wèn)題

書(shū)上明文定義了在同一平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.但本題是到兩條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡, 沒(méi)有現(xiàn)成的定義.考查的是你能否利用立體幾何知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為到定點(diǎn)與定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡.這種轉(zhuǎn)化的能力就是數(shù)學(xué)建模的能力, 利用現(xiàn)成知識(shí)解決不現(xiàn)成的問(wèn)題的能力, 是重要的核心素養(yǎng).不是考你敘述怎么轉(zhuǎn)化, 而是考你是否能通過(guò)這種轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題.

8.某商場(chǎng)抽獎(jiǎng), 中獎(jiǎng)率10%.以下第________件事發(fā)生的概率更大.

(1) 只抽一張就中獎(jiǎng).

(2) 連續(xù)抽20張, 全部都不中.

解(1) 只抽一張就中獎(jiǎng)的概率為10%.

(2) 抽一張不中獎(jiǎng)的概率為1-10%=0.9.連續(xù)抽20張都不中的概率為(1-10%)20=0.920≈0.12>0.1=10%.

答案: (2).

相信數(shù)學(xué)還是相信直覺(jué)

本題有現(xiàn)成計(jì)算公式, 學(xué)生都知道這個(gè)公式.我把這道題出成選擇題而不是計(jì)算題, 是考察學(xué)生相信數(shù)學(xué)還是相信“直覺(jué)”.按照許多人的直覺(jué), 中獎(jiǎng)率為10% 就是抽10 張就該中獎(jiǎng), 即使運(yùn)氣差一點(diǎn), 抽10張不中, 再多抽兩三張也該中獎(jiǎng)了, 不可能20張都不中.本套題其他題都需要計(jì)算, 只有這道題不逼迫學(xué)生計(jì)算, 考的是學(xué)生抗干擾的能力.故意給他一個(gè)偷懶的機(jī)會(huì), 看他是堅(jiān)決按計(jì)算公式辦事, 還是耍小聰明偷懶憑直覺(jué)猜測(cè), 得出錯(cuò)誤答案.嘗一嘗直覺(jué)的害處, 數(shù)學(xué)的好處.

這道題是受一個(gè)真實(shí)的案例啟發(fā)想出來(lái)的.邯鄲農(nóng)業(yè)銀行兩個(gè)工作人員挪用監(jiān)管的錢(qián)買體育彩票, 打的如意算盤(pán)是: 如果中了獎(jiǎng), 就把挪用的錢(qián)還回去, 獎(jiǎng)金就自己得了.開(kāi)始還真中了獎(jiǎng), 沒(méi)有賺也沒(méi)有賠,持平了.又繼續(xù)買下去, 連續(xù)買了很多張, 全都沒(méi)有中.于是就逃跑, 被抓回來(lái)判了死刑.執(zhí)行死刑之前電視臺(tái)采訪他, 問(wèn)他對(duì)連續(xù)買很多張全都不中獎(jiǎng)有何感想, 他的回答是: 太令人意外了.看來(lái), 如果下輩子投胎, 他一生下來(lái)就會(huì)馬上買彩票.到底連續(xù)很多張不中是令人意外的偶然現(xiàn)象, 還是概率并不小的正常現(xiàn)象? 這就啟發(fā)我想出了這個(gè)題.

本題數(shù)學(xué)難點(diǎn): 不用計(jì)算器怎樣算0.920? 如下算法比較快:

0.92=0.81; 0.94=0.812=0.6561,

0.98=0.65612>0.43,

0.916>0.432=0.1849,

0.920=0.916×0.94>0.184×0.656>0.12.

11.已知: 平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(a1,a2),(b1,b2).O是原點(diǎn).將OB沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)直角得到OB′.

(1) 求△OAB的面積.

(2) 求∠AOB的角平分線上全部點(diǎn)的坐標(biāo).

圖4

借題發(fā)揮: 向量運(yùn)算刻畫(huà)幾何性質(zhì)

(A) 外心; (B) 內(nèi)心; (C) 重心; (D) 垂心.

圖5

很多地方老師訓(xùn)練出來(lái)的學(xué)生的觀念是: 向量離了坐標(biāo)就活不成.他們習(xí)慣于一見(jiàn)向量就迫不及待變成坐標(biāo)運(yùn)算.本題如果也這樣干, 兩眼只看見(jiàn)一堆繁瑣的算式, 就誤入歧途難以自拔.反過(guò)來(lái), 假如首先想到的是向量運(yùn)算的幾何意義, 這道“難題”就迎刃而解了.

12.在一次智力測(cè)驗(yàn)中, 老師給出了某個(gè)數(shù)列的前兩項(xiàng)1,2, 讓學(xué)生填寫(xiě)第3項(xiàng)a3.有的學(xué)生填寫(xiě)a3=3, 有的學(xué)生填寫(xiě)a3=4, 老師均判為正確.另有一個(gè)學(xué)生填寫(xiě)a3=0, 你認(rèn)為正確嗎? 能否給出多項(xiàng)式f(x) 作為數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f(n) 使它的前3項(xiàng)f(1),f(2),f(3) 分別等于1, 2, 0.

如果數(shù)列的前99項(xiàng)依次為1, 2,…, 99, 能否給出多項(xiàng)式f(x) 作為通項(xiàng)公式an=f(n) 使第100項(xiàng)等于2013?

提示: 將數(shù)列(1, 2, 3,…, 99, 2013) 分解為兩個(gè)數(shù)列之和(1, 2, 3,…, 99, 100)+(0,…, 0, 1913).分別求通項(xiàng)公式再相加.

解(1) 只要能求出多項(xiàng)式通項(xiàng)公式an=f(n)滿足f(1)=1,f(2)=2,f(3)=0, 就說(shuō)明填a3=0 也是對(duì)的.

解法1用待定系數(shù)法求二次多項(xiàng)式f(x)=ax2+bx+c使

(2)式-(1)式得: 3a+b=1

(4)

(3)式-(2)式得: 5a+b=-2

(5)

解法2將數(shù)列U=(1, 2, 0)=(1, 2, 3)+(0, 0,-3) 分成兩個(gè)數(shù)列U1=(1, 2, 3),U2=(0, 0,-3) 之和.分別求通項(xiàng)公式f1(n),f2(n), 再相加得到U的通項(xiàng)公式an=f(n)=f1(n)+f2(n).

U1= (1, 2, 3) 有通項(xiàng)公式f1(n) =n.

U2= (0, 0,-3) 的通項(xiàng)公式f2(n) 應(yīng)滿足f2(1) =f2(2) = 0.

取f2(n) =λ(n-1)(n-2) 可滿足f2(1)=f2(2)=0.

求待定系數(shù)λ滿足f2(3)=λ(3-1)(3-2)=-3, 解之得

(2) 求U=(1, 2,…, 99, 2013) 的通項(xiàng)公式f(n) 滿足

(f(1),f(2),…,f(99),f(100)) = (1, 2,…, 99, 2013).

將數(shù)列U=(1, 2,…, 99, 2013) 分解為U1=(1, 2,…, 99, 100) 與U2=(0,…, 0, 1913) 之和, 分別求U1,U2的通項(xiàng)公式f1(n),f2(n) 相加即得U的通項(xiàng)公式an=f(n).

U1=(1, 2,…, 99，100) 的通項(xiàng)公式可以取f1(n) =n.

為了產(chǎn)生U2=(0,…, 0, 1913) 前99 個(gè)0, 取

f2(n)=λ(n-1)(n-2)…(n-99).

借題發(fā)揮: 線性映射

小學(xué)算術(shù)流行一種題目, 給幾個(gè)已知數(shù)讓學(xué)生猜規(guī)律, 預(yù)測(cè)下一個(gè)數(shù).本題的目的之一是消除這種題目的流毒: 已經(jīng)給了99 個(gè)數(shù)1, 2, 3,…, 99, 按照這些小學(xué)老師的“ 規(guī)律”, 下一個(gè)數(shù)無(wú)論如何都該是100.本題告訴學(xué)生, 下一個(gè)數(shù)可以是2013, 也可以是2014, 2015,…,無(wú)論你填哪個(gè)數(shù)a, 都可以在通項(xiàng)公式f2(n)=λ(n-1)(n-2)…(n-99) 中解出待定系數(shù)使a100=f(100)=a.

我不反對(duì)小學(xué)老師編造一個(gè)規(guī)律讓學(xué)生去猜.只反對(duì)把你自編的規(guī)律作為標(biāo)準(zhǔn)答案強(qiáng)加學(xué)生.應(yīng)該允許學(xué)生自己想出另外的規(guī)律.不管是老師想的還是學(xué)生想的, 不管是哪一種規(guī)律, 只要能夠言之成理, 就應(yīng)該被承認(rèn).真理不是由老師說(shuō)了算, 而是由道理說(shuō)了算.老師把道理教給學(xué)生, 最成功的教育就是學(xué)生會(huì)用這些道理來(lái)反駁老師.

很多中學(xué)老師上過(guò)大學(xué), 學(xué)過(guò)拉格朗日插值公式, 我很奇怪他們?yōu)槭裁床荒茏R(shí)破這種“猜規(guī)律”題目的荒謬.按照拉格朗日插值公式:任給100 個(gè)數(shù)y1,y2,…,y100, 都能夠找到多項(xiàng)式f(x)滿足f(1) =y1,f(2)=y2,…,f(100)=y100, 這說(shuō)明: 前99 個(gè)數(shù)y1,y2,…,y99根本不能確定第100個(gè)數(shù)y100.既然不能確定, 當(dāng)然就不能預(yù)測(cè).本題教的就是拉格朗日插值公式的基本思想.最基本的思想就是: 函數(shù)(即通項(xiàng)公式)f(x)到數(shù)列(f(x1),f(x2),…,f(xn)) 的映射保加法, 保數(shù)乘.也就是說(shuō): 兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式f1(x),f2(x) 之和也是數(shù)列和的通項(xiàng)公式, 數(shù)列通項(xiàng)公式的常數(shù)倍是數(shù)列常數(shù)倍的通項(xiàng)公式.按照線性代數(shù)的術(shù)語(yǔ): 通項(xiàng)公式到數(shù)列的映射是線性映射.

懂得這個(gè)道理不是為了打官腔炫耀概念, 而是可以用來(lái)求復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式: 將復(fù)雜數(shù)列U=(y1,y2,…,yn) 分解為最簡(jiǎn)單的數(shù)列ei= (0,…, 0, 1,…, 0) 的線性組合U=y1e1+…+ynen, 其中ei第i項(xiàng)是1, 其余各項(xiàng)都是0.為每個(gè)ei找一個(gè)通項(xiàng)公式fi(x), 組合得到的f(x) =y1f1(x) +…+ynfn(x) 就是復(fù)雜數(shù)列U的通項(xiàng)公式.為了使fi(x) 得到的數(shù)列(fi(1),…,fi(n))=ei中除了第i項(xiàng)以外所有的fi(j) 都是0, 只要使所有這些j≠i都是fi(x) 的根, 只要將所有這些x-j乘起來(lái)即可:fi(x)=λi(x-1)…[x-(i-1)][x-(i+1)]…(x-n)，再解方程fi(x)=λi(i-1)…1(-1)…(i-n) = 1 求出待定系數(shù)λi.得到的就是滿足條件(f(1),…,f(n))=(y1,…,yn) 的拉格朗日插值公式.同理可得對(duì)任意n個(gè)兩兩不相等的xi滿足(f1(x1),…,fn(xn)) =(y1,…,yn) 的拉格朗日插值公式.

很多人認(rèn)為線性代數(shù)的核心內(nèi)容是行列式與矩陣的運(yùn)算.其實(shí)線性映射、線性變換才是線性代數(shù)的核心目標(biāo).矩陣乘法是實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的工具.我的《線性代數(shù)啟蒙》慕課講線性映射就是從算數(shù)列(1, 2, 3,…, 99, 2012) 通項(xiàng)公式入門(mén), 也就是這道試題, 中學(xué)生都能懂.

本題還有一個(gè)相關(guān)問(wèn)題: 數(shù)列(1, 2, 3,…, 99, 2013) 的通項(xiàng)公式an=f(n) 是否唯一? 以h(n)=(n-1)(n-2)…(n-100) 為通項(xiàng)公式的數(shù)列的前100項(xiàng)全部為0, 將h(n) 乘任意多項(xiàng)式q(n)得到通項(xiàng)公式H(n)=q(n)(n-1)(n-2)…(n-100), 得到的數(shù)列0=(0, 0,…, 0) 的前100項(xiàng)仍然全是0.將U=(1, 2,…, 99, 2013) 的通項(xiàng)公式an=f(n)與H(n) 相加, 得到新的通項(xiàng)公式an=f(n)+H(n)=f(n)+q(n)(n-1)(n-2)…(n-100)的數(shù)列由U+0=U是U與0之和, 還是U.但選擇不同的q(n)就得到不同的通項(xiàng)公式f(n)+q(n)(n-1)…(n-100).這說(shuō)明了: 哪怕你限定用多項(xiàng)式作為通項(xiàng)公式, 有限數(shù)列的通項(xiàng)公式也不唯一.如果多項(xiàng)式是無(wú)窮數(shù)列的通項(xiàng)公式, 那么它是唯一的, 因?yàn)闊o(wú)窮零數(shù)列(0,…, 0,…) 的多項(xiàng)式通項(xiàng)公式f(n) 只能是零多項(xiàng)式(非零多項(xiàng)式不能有無(wú)窮多個(gè)不同的根1, 2, 3,…,n,…).但如果不限定多項(xiàng)式,仍然不唯一.例如,an=sinnπ 就是無(wú)窮零數(shù)列的通項(xiàng)公式, 但函數(shù)sin πx不是零函數(shù).

13.(英文加密) 將26 個(gè)英文字母a,b,c,…,y,z用0, 1, 2,…, 24, 25代表.設(shè)某個(gè)字母用整數(shù)X代表, 則3X+7 被26 除得到的余數(shù)代表的字母就是被加密后的字母.將英文原文的每個(gè)字母用這個(gè)方式加密, 就得到密文.

(1) 將原文day加密成密文.

(2) 根據(jù)密文zaj求原文.

解按照題目要求, 先將26 個(gè)英文字母從0 到25 編號(hào), 與前26個(gè)非負(fù)整數(shù)組成的集合Z26={0, 1, 2,…, 25} 建立一一對(duì)應(yīng):

0123456789

0abcdefghij1klmnopqrst2uvwxyz

其中第一行10個(gè)字母a,b,c,…,i,j依次編號(hào)0, 1, 2,…, 9, 第二行k,l,…,s,t依次為10, 11,…, 19, 第三行u,v,…,y,z依次為20, 21,…, 25.

(1)day三個(gè)字母編號(hào)分別為X= 3; 0; 24.算出3X+ 7 除以26的余數(shù)

3×3+7=16, 3×0+7=7,

3×24+7=79≡1 (mod 26 )

分別為16, 7, 1.對(duì)應(yīng)的字母分別是q,h,b.

day加密為qhb.

(2) 由密文求原文就是解密.需由密文字母的編號(hào)Y≡3X+7 (mod 26 ) 解方程求出原文字母的編號(hào)X.

由Y≡3X+7 得3X≡Y-7.以下需兩邊同除以3.整數(shù)Y-7除以3 很可能不是整數(shù)而是分?jǐn)?shù).為此, 不將Y-7 除以3, 而是將同余式3X≡Y-7 兩邊同乘某個(gè)整數(shù)a使3a≡1 (mod 26), 將3 消去.易驗(yàn)證9×3=27≡1 (mod 26).

3X≡Y-7 (mod 26 )?9(3X)≡X≡9(Y-7) (mod 26 )

根據(jù)解密公式X≡9(Y-7) (mod 26 ) 破譯zaj.

zaj三個(gè)字母的編號(hào)Y=25, 0, 9.原文字母編號(hào)X分別為

9(25-7)=162≡6 (mod 26),

9(0-7)=-63≡15 (mod 26),

9(9-7)=18,

對(duì)應(yīng)的字母分別是g,p,s.

密文zaj的原文為gps.

借題發(fā)揮: 仿射密碼與同余類算術(shù)

此題是在北京航空航天大學(xué)英語(yǔ)專業(yè)的自主招生數(shù)學(xué)試題.即使拿來(lái)選拔報(bào)考數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生, 難度也不算低.

考試的內(nèi)容是古代曾經(jīng)用過(guò)的仿射密碼的加密和解密.

按照某些迷信套路的中學(xué)老師, 要對(duì)付這個(gè)考題, 就必須預(yù)先訓(xùn)練學(xué)生的加密和解密.你預(yù)先不知道我要出什么題, 還不能只訓(xùn)練仿射密碼, 應(yīng)該把整個(gè)密碼學(xué)全部訓(xùn)練一遍.根本不可能做到.

本題的目的根本不是考察學(xué)生對(duì)密碼知識(shí)的掌握和熟練程度.根本不要求學(xué)生預(yù)先懂得密碼.要求什么呢?

首先要求的是學(xué)生的語(yǔ)文水平, 能夠讀懂這段題目, 并能依樣畫(huà)葫蘆照樣操作.能夠讀懂, 是考閱讀和理解能力, 這是語(yǔ)文的要求.還要懂一點(diǎn)小學(xué)和初中數(shù)學(xué): 能夠從0數(shù)到25, 認(rèn)識(shí)26個(gè)英文字母, 并能夠編號(hào).然后是會(huì)將編號(hào)乘3 加7 再除以26 求余數(shù).這些都是小學(xué)的基本算術(shù)運(yùn)算.小學(xué)老師都教過(guò)了.只不過(guò)老師沒(méi)教你用來(lái)做密碼, 考卷教你,看是否能夠把你教會(huì).要求你讀懂, 會(huì)操作.與其說(shuō)是考數(shù)學(xué)和英語(yǔ),不如說(shuō)是考語(yǔ)文.這就能夠做出第一個(gè)小題, 完成加密.

第2小題是解密, 難度大一些.不容易想到將3X≡Y-7 (mod 26 )兩邊同乘9 消去3 得到解密公式.但不難想到將3個(gè)密文字母逐一破譯.比如, 要破譯z, 想辦法湊一個(gè)X滿足

25=3X+7 (mod 26), 25=3X+7+26k,

湊一個(gè)整數(shù)k使18-26k是3的倍數(shù)就行了.其實(shí)k=0 就滿足要求.

容易想到一個(gè)更笨的辦法: 將26個(gè)字母全部依次加密, 列成對(duì)照表, 要解密查這張表就行了.不過(guò)耗費(fèi)的時(shí)間太長(zhǎng), 考試時(shí)間內(nèi)可能完不成.一個(gè)折中辦法是碰運(yùn)氣.不要全部加密, 隨便按什么順序?qū)ψ帜高M(jìn)行加密, 如果正好加密成了z,a,j, 你就成功了, 不見(jiàn)得需要把26 個(gè)字母全部加完.但可能還是不如湊方程的整數(shù)解更快.

有的學(xué)生參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的訓(xùn)練.不大可能訓(xùn)練密碼, 但很有可能訓(xùn)練方程的整數(shù)解.問(wèn)題在于學(xué)生是否能夠想到把那個(gè)訓(xùn)練用來(lái)做密碼題.如果想到了, 能夠把死記硬背或者強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)來(lái)的現(xiàn)成知識(shí)用來(lái)解決不現(xiàn)成的問(wèn)題, 這就是核心素養(yǎng)派上用場(chǎng)了.

我這篇文章給出這個(gè)解法, 卻不是讓考生和老師學(xué)會(huì)湊答案, 而是講解同余類環(huán)Z26中的可逆元的概念和求法.考試不是目的, 只是手段.目的是將你引進(jìn)下一個(gè)門(mén).我們的教育就是為了向?qū)W生展示知識(shí)的大廈中一扇一扇門(mén), 希望他們自己有興趣進(jìn)門(mén)探索奧妙.老子的道德經(jīng)說(shuō): “玄之又玄, 眾妙之門(mén).” 很多人怪老子故弄玄虛.玄虛不是老子弄出來(lái)的, 是大自然本來(lái)就有的.就好比生病不是體檢弄出來(lái), 而是你本來(lái)就生了病, 體檢給你檢查出來(lái), 提醒你去治病.老子告訴你: 玄虛背后風(fēng)景獨(dú)好, 希望你進(jìn)去.想進(jìn)去的不多.老子也不在乎, 愛(ài)進(jìn)就進(jìn), 不進(jìn)也不稀罕.

(第一套測(cè)試題解讀完)