黃迪

摘 要：布魯納說過：“掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，領(lǐng)會基本數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的‘光明之路。”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)堅(jiān)持可接受性原則，根據(jù)小學(xué)生的接受能力把握好滲透的度，注意將抽象的數(shù)學(xué)思想方法與具體的教學(xué)內(nèi)容緊密整合，凸顯過程，滲透思想，在活動過程中使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法獲得初步認(rèn)識或感悟，并隨著認(rèn)知的發(fā)展，讓學(xué)生對這些思想方法的認(rèn)識更清晰，理解逐步深刻。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)活動；數(shù)學(xué)思想；優(yōu)化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將基本數(shù)學(xué)思想作為“四基”之一，提出了要在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中更加關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)思想方法的感悟。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，在數(shù)學(xué)中居于核心地位，具有深遠(yuǎn)的教育意義。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)習(xí)它的知識內(nèi)容，而且要學(xué)習(xí)它的精神和思想方法。“烙餅問題”是經(jīng)典的優(yōu)化問題，看似熱鬧的烙餅中究竟隱藏著怎樣的數(shù)學(xué)思想，如何凸顯過程，滲透優(yōu)化思想？針對以上思考，我在本課教學(xué)中進(jìn)行了以下嘗試。

【案例回顧】

片段一：建立烙2張餅的最優(yōu)模型，探究雙數(shù)張餅的最優(yōu)烙法

1.2張餅的最優(yōu)烙法

學(xué)生以書為鍋，利用圓紙片操作交流，展示。

師：剛才大家找到了6分鐘和12分鐘兩種方法，像這樣創(chuàng)造多種解決問題的方法，這個過程在數(shù)學(xué)上叫作“統(tǒng)籌”，統(tǒng)籌是為了選擇最優(yōu)方案，那對比兩種烙法，你會選哪一種？為什么？

生：選6分鐘更節(jié)省時間，因?yàn)轭}目說了“至少”。

師小結(jié)：哦，根據(jù)題目的具體需要“至少”來選擇，同學(xué)們，選擇最優(yōu)方案就是“優(yōu)化”，看來優(yōu)化有方向。

師：剛誰聽懂了6分鐘的烙法？請你上來烙一烙。

學(xué)生（上臺邊演示邊說）：同時把這兩張餅放進(jìn)去，烙3分鐘，再翻過來烙反面。

師（課件演示）：大家看明白了嗎？讓我們一起回顧一下6分鐘的烙法，請看！

師：6分鐘比12分鐘省時的秘密在哪里呢？

生：2張餅一起烙。

師：看來這個“一起”真重要，保證最多、不浪費(fèi)。

那每次鍋里放幾張餅才能保證最省時間？

生：2張。

師小結(jié)：看來想要節(jié)省時間，就要充分利用鍋的空間！

師（表格總結(jié)）：2張餅一起烙的這種方法叫作“2張同時烙”，也就是2張餅的最優(yōu)方法，烙了2次，一共6分鐘。

2.4張、6張餅的最優(yōu)烙法

師：有了剛才烙2張餅的經(jīng)驗(yàn)，那烙4張餅?zāi)兀?/p>

生：12分鐘，2張2張地烙。（師PPT同步演示，并表格小結(jié)）

師：烙完了2張餅和4張餅，那烙6張餅?zāi)兀?/p>

生：也是2張2張地烙，2+2+2，要烙6次，18分鐘。

3.總結(jié)雙數(shù)張餅的規(guī)律

師：請同學(xué)們觀察這張表，2張餅的最優(yōu)方法是這樣的，4張餅的最優(yōu)方法是這樣的，6張餅的最優(yōu)方法又是這樣的，你一定發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，想想烙8張餅的最優(yōu)方法是？

生：2+2+2+2。

師：次數(shù)和總時分別是多少？

生：8次，24分鐘。

師：看來同學(xué)們已經(jīng)找到規(guī)律了，烙像這樣的雙數(shù)張餅時怎樣分比較合理？

生：2張2張地烙。

師：同學(xué)們真聰明，把烙雙數(shù)餅問題轉(zhuǎn)化成了烙2張餅的問題，也就是說如果要烙餅的張數(shù)是雙數(shù)，可以2張2張地烙。

片段二：建立烙3張餅的最優(yōu)模型，探究單數(shù)張餅的最優(yōu)烙法

1.3張餅的最優(yōu)烙法

師：烙3張餅最少需要幾分鐘？同學(xué)們先靜靜地獨(dú)立思考，然后小組同學(xué)一起借助圓紙片擺一擺。

師：哪個同學(xué)愿意和大家分享一下你們小組的方法？

生1：要12分鐘，先同時烙2張，6分鐘。剩下一張單獨(dú)烙，6分鐘，共12分鐘。

生2：我們只要9分鐘，請看！先烙1號餅和2號餅的正面，再把烙一半的2號餅?zāi)贸鰜恚?號餅放進(jìn)去，3號的正面和1號的反面一起烙，最后再烙3號的反面和2號的反面。

師：剛剛我們利用集體的力量又做了一次統(tǒng)籌！找到了12分鐘和9分鐘兩種烙法。你會選哪一種？為什么？

生：9分鐘，更節(jié)省時間！

師：看來優(yōu)化有需要，這里需要是“至少”。誰聽懂了9分鐘的烙法？請你再說一說。

學(xué)生邊講教師邊板書，數(shù)形結(jié)合。

師：同學(xué)們，你們會烙了嗎？想不想再烙一次？

同桌邊烙邊說一說。

師：來，讓我們一起借助課件回顧這種非常有創(chuàng)意的烙法。如圖2。

師（表格總結(jié)）：我們把9分鐘的這種方法叫作“3張交替烙”，也就是烙3張餅的最優(yōu)方法，烙了3次，總時9分鐘。

師：剛剛為什么我們要在中間把一張半熟的餅取出來？

生：不取出來，就會剩下第3張餅自己單獨(dú)烙，鍋不滿，也就變成了12分鐘的烙法。

師：那看來節(jié)省時間的關(guān)鍵在哪里？

生：鍋里一直要有2張餅。

師小結(jié)：看來節(jié)省時間的關(guān)鍵是鍋里始終要烙2張餅，不讓鍋有空余，原來優(yōu)化的方法是充分利用資源！

2.5張和7張餅的最優(yōu)烙法

師：思考一下，5張、7張?jiān)趺蠢幼钍r？至少需要多長時間？下面小組合作探究，填寫探究單。

學(xué)生匯報。

生1：5張餅先2張2張地烙，剩下1張單獨(dú)烙，要18分鐘。

生2：我覺得2張、3張地烙更省時，3張餅的烙法我們剛才學(xué)過，是9分鐘，要15分鐘。

師：哪種更好？

生：第二種，更省時。

師：那7張餅?zāi)兀?/p>

生：7張餅可以2張、2張、3張地烙。

3.總結(jié)單數(shù)張餅的規(guī)律

請同學(xué)們觀察這張表，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

師：看！3張餅是交替烙，5張餅時分成2和3，7張餅分成2、2、3，那9張餅?zāi)?？怎么分?/p>

生：2+2+2+3。

師：那你發(fā)現(xiàn)了烙單數(shù)張餅的最優(yōu)方法是什么？

生：先2張2張地烙，最后剩下3張時，就用烙3張餅交替烙的最優(yōu)方法來烙。

師：同學(xué)們把烙單數(shù)餅的問題轉(zhuǎn)化成了烙2張餅和3張餅的問題，太厲害了！

片段三：拓展n張餅最優(yōu)烙法的規(guī)律

師：觀察PPT上表中張數(shù)、次數(shù)和時間，你有什么發(fā)現(xiàn)？討論一下。

生1：2×3=6，3×3=9，4×3=12…

生2：餅數(shù)×3=總時。

師：那烙1張餅?zāi)兀?/p>

生：1張餅要6分鐘，要除外。

師：也就是說總時=餅數(shù)×3（一張餅除外）。那為什么烙餅的次數(shù)和餅的張數(shù)一樣？這是巧合還是有內(nèi)在聯(lián)系呢？

……

生：以3張餅為例，3張餅共有2×3=6（個）面，鍋里每次能烙兩個面，而一張餅正好兩個面，就可以想象成一次正好烙了1張餅，所以烙幾張餅正好就需要烙幾次。

師：看來因?yàn)椤懊繌堬?個面”和“每次鍋里放著2張餅”的這個內(nèi)在聯(lián)系，使餅數(shù)和次數(shù)必然相同。

片段四：反思回顧研究過程

師：回顧剛才的研究過程，現(xiàn)在你知道優(yōu)化是什么意思了嗎？我們剛剛是怎樣優(yōu)化的？在優(yōu)化之前要干什么？優(yōu)化要注意什么？有方法嗎？

生1：要注意要求是“至少”。

生2：有可能有不同的方法，要比較。

生2：烙的時候不能讓鍋里有空余，要充分利用鍋的空間才行！

師小結(jié)：看來優(yōu)化有前提，是統(tǒng)籌，找出不同方法；優(yōu)化有方向，是需求，注意具體要求；優(yōu)化有方法，是充分利用資源。不管生活中還是學(xué)習(xí)中，當(dāng)同一件事有不同的安排方法時，我們需要對比分析，尋找最合理的安排，這就是“統(tǒng)籌學(xué)”，是由著名的數(shù)學(xué)家華羅庚提出來的。

【分析與思考】

由我執(zhí)教的“烙餅問題”設(shè)計幾經(jīng)修改，最終呈現(xiàn)出了較好的效果，教學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)扎實(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣盎然，原來“烙餅”中隱藏著這么大的學(xué)問。反思自己成功的關(guān)鍵在于，從體驗(yàn)操作到建立基本模型，再到發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后到回顧反思。學(xué)生經(jīng)歷了“感悟思想—提煉思想—明晰方法”這樣一個由淺入深的過程，在知識形成過程中初步感悟“優(yōu)化”，到解決問題中提煉“優(yōu)化”，最后在反思中明晰“優(yōu)化”。每個環(huán)節(jié)始終聚焦優(yōu)化三大要素，一是優(yōu)化有前提，讓學(xué)生在經(jīng)歷中找到多種解決問題的方案，感悟“統(tǒng)籌”；二是優(yōu)化有方向，讓學(xué)生在比較中選擇一種最優(yōu)方案，感受“至少”；三是優(yōu)化有方法，讓學(xué)生在思考中發(fā)現(xiàn)要充分利用鍋的空間，領(lǐng)悟“充分利用資源”。

一、凸顯知識的形成過程，感悟數(shù)學(xué)思想方法

將數(shù)學(xué)思維的教學(xué)與具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)有機(jī)地結(jié)合，即以思維方法的分析帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué)，才是更為重要的。[1]數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容始終反映著數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法這兩條主線，數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法始終緊密聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，也是數(shù)學(xué)思想方法發(fā)生和凸顯的過程。凸顯知識形成過程，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)鍵是應(yīng)讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的獲取過程有所經(jīng)歷和感悟，并在這一過程中抓住滲透數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會。[2]在“烙餅問題”中，有意識地在學(xué)生操作體驗(yàn)中滲透優(yōu)化思想，每個環(huán)節(jié)讓學(xué)生在經(jīng)歷中創(chuàng)造，呈現(xiàn)多種結(jié)果，體驗(yàn)優(yōu)化源于統(tǒng)籌；在比較中選擇，體會需要指引優(yōu)化；在突破中建構(gòu)，領(lǐng)悟資源在于利用。烙2張餅學(xué)生初步完整感受優(yōu)化思想過程：經(jīng)歷統(tǒng)籌（操作探究）、尋找需要（注意問題關(guān)鍵詞“至少”）、對比優(yōu)化（選擇最優(yōu)方案）、總結(jié)方法（充分利用鍋的空間）；烙3張餅時學(xué)生在合作中輕松探究出3張餅的最優(yōu)操作模型，過程中再次完整體驗(yàn)整個優(yōu)化的過程，從而初步感悟什么是優(yōu)化及其具體的三要素，尤其注重節(jié)省時間的關(guān)鍵是“鍋里始終烙2張餅”，從而再次凸顯優(yōu)化有方法，要充分利用資源（即鍋的空間）。

二、探究問題的解決過程，提煉數(shù)學(xué)思想方法

解決問題的過程既是對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的過程，也是學(xué)生進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)解決問題能力、提煉數(shù)學(xué)思想方法的過程。解決問題的過程，一方面，數(shù)學(xué)思想方法起著統(tǒng)攝、定向的作用；另一方面，通過對解決問題過程中所運(yùn)用到的方法策略進(jìn)行反思、總結(jié)和提煉，可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的具體方法策略向數(shù)學(xué)思想方法層面轉(zhuǎn)化的過程。建立2張餅最優(yōu)烙法的模型后，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)4張餅、6張餅的最優(yōu)烙法，從而探究烙雙數(shù)張餅的規(guī)律；建立烙3張餅的最優(yōu)模型后，學(xué)生自主探究5張、7張餅的最優(yōu)模型，從而發(fā)現(xiàn)單數(shù)張餅的規(guī)律，最后合二為一探究出烙n張餅的規(guī)律。這個過程中，烙2張、3張餅的最優(yōu)模型對后面的探究始終起著指引作用，學(xué)生借助這一舊經(jīng)驗(yàn)尋找解決問題思考的起點(diǎn)和方向，所以當(dāng)烙5張餅出現(xiàn)不同方法時，學(xué)生在比較中很快發(fā)現(xiàn)要滿足優(yōu)化的“需求”，即找到最省時的方法。最后發(fā)現(xiàn)無論烙多少張餅，都可以將當(dāng)前新的、復(fù)雜的問題向能利用已有知識經(jīng)驗(yàn)解決的舊問題及簡單問題轉(zhuǎn)化，突出優(yōu)化思想對探究新問題的指導(dǎo)作用，學(xué)生也在展示提煉中再次體悟優(yōu)化思想的美妙。

三、關(guān)注反思的認(rèn)識過程，明晰數(shù)學(xué)思想方法

反思是一種高級的認(rèn)知活動，即是對自己的思想認(rèn)識和心理感受的思考，也是對自己曾經(jīng)經(jīng)歷、體驗(yàn)過的事件的再次認(rèn)識和深度理解。學(xué)生反思數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，就是對經(jīng)歷的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法、認(rèn)知策略等多因素進(jìn)行再次認(rèn)識和深度理解，一方面可以加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，另一方面也可以使隱含在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想方法更加明晰化，提高這些數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的清晰度。在“烙餅問題”中，除了邊經(jīng)歷邊滲透，還注意經(jīng)歷之后及時反思小結(jié)，為了促使學(xué)生對優(yōu)化思想有一個更全面的整體思考，最后在全課學(xué)完也引領(lǐng)學(xué)生回顧反思研究過程，圍繞關(guān)鍵詞“優(yōu)化”進(jìn)行反思式的追問，一是讓學(xué)生對烙餅中的學(xué)問獲得清晰認(rèn)識的同時，進(jìn)一步理解優(yōu)化的含義，感受優(yōu)化的前提是統(tǒng)籌，優(yōu)化的方向是需要，優(yōu)化的方法是充分利用資源，促進(jìn)學(xué)生更加明晰優(yōu)化思想方法；二是讓學(xué)生認(rèn)識到通過烙餅可以對優(yōu)化思想獲得更清晰的認(rèn)識，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想方法的作用和價值。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)活動與小學(xué)數(shù)學(xué)[J].課程·教材·教法，2008（5）：37.

[2]陳祥彬.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法[J].課程·教材·教法，2010（7）：39.

編輯 張珍珍