沈中宇　汪曉勤

(1.華東師范大學數(shù)學系　200241; 2.華東師范大學教師教育學院　200062)

平面概念與公理是高中立體幾何的起始內(nèi)容，是聯(lián)結(jié)平面幾何與立體幾何的紐帶，也是學生學習后續(xù)立體幾何知識的基礎.現(xiàn)行人教版和滬教版高中數(shù)學教科書都是從現(xiàn)實情境出發(fā)，抽象出平面概念，然后基于生活經(jīng)驗給出三個公理，其中人教版給出的三個公理如下：

公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)；

公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；

公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

為何將平面作為不加定義的原始概念？平面的三個公理從何而來？公理與公理之間有何聯(lián)系？對于這些問題，教科書沒有作出任何交待.從歷史上看，自希爾伯特(D. Hilbert, 1862-1943)將點、線、面視為幾何公理體系中不加定義的原始概念之后，人們在接受希爾伯特公理體系的同時，也往往誤將點、線、面視為易于理解的簡單概念.然而，教學實踐表明，平面概念以及相關(guān)公理因為其抽象性而成了學生的學習難點.

有關(guān)研究表明，學生對平面的理解具有歷史相似性[1].那么，如何在教學中讓學生更好地理解平面概念的本質(zhì)以及相關(guān)公理，從而順利跨越他們的認知障礙？我們希望從HPM視角來實施教學，以實現(xiàn)上述目的.為此，我們需要從前人的教科書中汲取思想的養(yǎng)料.另一方面，由于在高中數(shù)學教科書開始修訂之際，我們也需要對西方早期教科書進行研究，以便獲取有用的素材.

本文就平面概念這一主題，對幾何原本、歷史上數(shù)學家的論述以及20世紀中葉之前的西方立體幾何教科書進行考察，試圖勾勒出平面概念與公理的歷史發(fā)展脈絡，為教學和教科書編寫提供參考.

1　古希臘時期的平面定義

早在公元前5世紀，古希臘哲學家巴門尼德(Parmenides)對平面概念已作過刻畫.根據(jù)普羅克拉斯(Proclus, 412-485)的記載[1]，巴門尼德將幾何對象(一維、二維和三維)分成“直的”、“曲的”和“混合的”三類.如果一個二維對象是直的表面，那么它就是一個平面，直線可在任意方向與之相合.這里，巴門尼德將“直”作為平面的本質(zhì)特征.

歐幾里得(Euclid, 前3世紀)并未沿用巴門尼德的定義，他將平面定義為“與其上直線一樣平放著的面”[2]，該定義中出現(xiàn)了若干模糊的詞語，如“一樣”、“平放”.關(guān)于平面，《幾何原本》卷11給出了三個命題.

命題1一條直線不可能一部分在平面內(nèi)，而另一部分在平面外.

圖1

如圖1，設直線ABC的一部分AB在一個平面上，而另一部分BC在該平面外，則在該平面上就有一條直線BD與AB在同一直線上.于是，AB是兩條直線ABC，ABD的公共部分，這是不可能的，假設不成立，命題得證.

命題2若兩條直線彼此相交，則它們在同一平面內(nèi)；它們構(gòu)成的三角形也都位于同一平面內(nèi).

圖2

如圖2，設直線AB和CD交于點E，在EC和EB上分別取點F，G.聯(lián)結(jié)CB，F(xiàn)G；引FH，GK.首先證明△ECB在同一平面上，假設它的一部分FHC或GBK在一個平面內(nèi)，而余下部分在另一平面內(nèi)，則直線EC或EB的一部分在一個平面內(nèi)，余下部分在另一平面內(nèi).這是不可能的.同樣可證其余部分也都在一個平面內(nèi)，故△ECB在一個平面內(nèi).但△ECB所在平面也是EC和EB所在平面，又EC和EB所在平面也是AB和CD所在平面，命題得證.

命題3若兩平面相交，則它們的交線是一條直線.

圖3

如圖3，設平面α和β相交，AB是其交線.若AB不是直線，設A和B在平面α上的連線為a，在平面β上的連線為b.因直線a和b有相同端點，它們圍成一個面片，這是不可能的，故假設不成立，命題得證.

可見，今日人教版教科書中的平面三公理最初是在《幾何原本》中以命題形式出現(xiàn)的，其中命題1的形式與人教版中的公理1有較大的不同，不是取直線上兩點，而是直線的一部分.歐幾里得的定義存在一定的問題，首先，平面需要一個更加清晰的定義.其次，平面的存在性需要通過構(gòu)造被保證.而且在證明上述三個命題時，并未用到平面的定義.針對歐幾里得平面定義的問題，隨后的數(shù)學家和評論者嘗試給出平面更為清晰的定義，首先值得注意的是古希臘數(shù)學家海倫(Heron, 約公元1世紀)，他給出了平面的新定義：“平面是具有以下性質(zhì)的面，它向四周無限延伸，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點與之相合，則整條直線在任意位置與之相合.”[1]，這實際上就是人教版中的公理1.

我們可以看到此階段對平面的定義都關(guān)注平面“直”的特征并試圖去刻畫它.

2　構(gòu)造性定義階段

17世紀，德國數(shù)學家萊布尼茲(G. W. Leibniz, 1646～1710)做了很多嘗試消除歐幾里得邏輯上的不完美，他也批評海倫的定義，因為他覺得這一定義是“重復判斷的”，也就是說，這一定義包含過多的需要描述平面的事物.因此他給出了一個更簡單的定義：“平面是一組這樣的點，它們到兩定點的距離相等”[1].顯然的，萊布尼茲在空間中考慮幾何對象并定義它們，同時，他實質(zhì)上也給出了一個平面的構(gòu)造.

18世紀，英國數(shù)學家辛松(R. Simson,1687～1768)給出了平面的新定義：“平面是具有下列性質(zhì)的面，通過其上任意兩點的直線完全包含在該面上.” 辛松的定義實際上與海倫的定義等價，被稱為“辛松定義”[1].

法國數(shù)學家傅里葉(B. J. Fourier, 1768～1830)給出了平面的下列構(gòu)造性定義：“平面由經(jīng)過直線上一點且與直線垂直的所有直線構(gòu)成”[2]，傅里葉定義的優(yōu)勢在于通過這一定義，利用全等三角形可以推出辛松定義中的平面的性質(zhì).但傅里葉的定義采用了“垂直”這一概念，“垂直”先于平面給出，受到人們的質(zhì)疑.

19世紀，德國數(shù)學家克雷爾(A. L. Crelle, 1780～1855)認為，一個好的定義必須簡潔且可用于推理，因此，一個合適的定義是很難找的.在以上這些定義中，不管是簡單的還是復雜的，都包含了一些多余的假定.以辛松的定義為例，如圖4，假設一個平面上有三角形ABC，D和E是BC和AC上任意兩點，連接AD和BE，根據(jù)辛松的定義，AD和BE都在平面上，則AD和BE必定相交于點F，不然在問題中就存在兩個平面，而不是一個，但實際上，沒有任何證據(jù)說明AD和BE一定相交.克雷爾給出平面的另一個定義：“平面是包含所有通過空間中一個定點并與另一條直線垂直的直線的面”.克雷爾的定義也有類似問題，他自己也承認從這一定義推不出一些必要的性質(zhì)[2].

圖4

德國數(shù)學家迪納(F. Deahna, 1815～1844)給出平面的另一種構(gòu)造方法：“將一個球繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)，球面上所有的點旋轉(zhuǎn)成一條封閉的曲線，即圓，其中一條將球面分成全等的兩半，連接球心與圓的直線形成平面”[2]，這一定義避免使用了“垂直”這一概念，Becker在此基礎上提出直角的一條邊繞著另一條邊旋轉(zhuǎn)也可形成平面.

著名數(shù)學家如高斯(C. F. Gauss, 1777～1855)、W·波爾約(W. Bolyai, 1775～1856)及其子J·波爾約(J. Bolyai, 1802～1860)、羅巴切夫斯基(N. I. Lobachevsky, 1792-1856)也相繼給出了平面的構(gòu)造性定義.高斯認為辛松的定義被稱為定義來說太強了，他認為這應該被一個更弱的定義替代，然后再證明辛松的性質(zhì).高斯將平面定義為“過一個定點，且垂直于一條直線的所有直線構(gòu)成的面”，W·波爾約將平面定義為“一條直線繞著另一條與之垂直的直線旋轉(zhuǎn)而成的面”[2],J·波爾約利用對稱來構(gòu)造平面.如圖5，已知不共線三點A，B和C，點D分別繞AB、AC和BC旋轉(zhuǎn)，所形成的三個圓相交于點E，該點是點D關(guān)于點A，B和C所確定平面的對稱點，J·波爾約將平面定義為點D和點E重合的那些點.羅巴切夫斯基構(gòu)造平面如下：“以空間中兩點為球心，半徑相同且不斷增長，則兩個球的交線(即圓)形成平面.”[1]

圖5

因此，在此階段，針對歐幾里得與海倫定義的不足，數(shù)學家給出了很多構(gòu)造性定義，這些定義大致可以將其分成兩類：一類是萊布尼茲的傳統(tǒng)，利用對稱來構(gòu)造平面，一類是傅里葉的傳統(tǒng)，利用相互垂直的直線平移或旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造平面.

3　包含式定義階段

雖然出現(xiàn)了一些構(gòu)造性定義，辛松的定義還是為18-19世紀的絕大多數(shù)幾何教科書所采用，由于其中突出了直線包含在平面內(nèi)的特征，我們稱之為“包含式定義”.在此階段，人教版的公理1被用作平面的定義，其余兩個公理皆以定理的形式由此定義推出，因此，平面的定義開始真正用于平面有關(guān)性質(zhì)的證明.接下來，我們對此階段幾何教科書中的平面定義與有關(guān)命題進行考察.

3.1　1800—1850：平面定義開始應用于相關(guān)定理

從這一時期開始，平面的定義被真正用于相關(guān)命題的證明.18世紀法國數(shù)學家勒讓德(A. M. Legendre, 1752～1833)在其《幾何與三角學基礎》(1800)[3]中將平面定義為：“一個面，如果其上兩點的連線全部在面上，則稱其為平面”，與辛松的定義相同.利用該定義，勒讓德證明了歐幾里得的三個定理.

定理1一條直線不能部分在平面上，而部分不在上面.

根據(jù)平面的定義，當一條直線有兩個點在平面上時，它全部在平面上，因此命題成立.同時說明了，想要檢驗一個面是否為平面，可以將一條直線用不同方式與面相合，觀察其是否完全與面相合.

定理2兩條相交直線位于同一平面上，且確定它的位置.

圖6

如圖6所示，兩直線AB和AC交于點A，與AB相合的平面繞AB旋轉(zhuǎn)，直到通過點C，根據(jù)定義，AC全部在平面上.因此，平面位置由直線AB和AC所確定.勒讓德給出定理2的兩個推論：

推論1不共線的三點確定一個平面.

推論2兩條平行直線確定一個平面.

定理3如果兩個平面相交，則它們的交線是直線.

假設有除直線之外的點同時在兩個平面上，則有三個點不在同一直線上，根據(jù)定理2推論1，三點確定一個平面，所以假設不成立.

在定理3的證明中，勒讓德沒有說明為什么兩個平面的交線為直線，因此存在缺陷，蘇格蘭數(shù)學家普雷菲爾(J. Playfair, 1748-1819)在《幾何學基礎》(1829)[4]中說明，設有兩點為它們的公共點，根據(jù)平面定義，這兩點的連線也是公共的，從而讓證明變得更加完整，后世的很多教科書中都采用了此種方法.

以上可見，定理1可以直接用定義來證明，定理2先用旋轉(zhuǎn)的方式，然后又用到了平面的定義，定理3先用了定理2再用了平面的定義.Hayward在《幾何學基礎》(1829)[5]中先證明定理3，再證明定理2，此種順序?qū)е露ɡ?的證明只能說明交線有一條直線，但未能說明為什么直線之外沒有其他公共部分.但也有教科書雖然沿用勒讓德的順序，但也缺少了交線之外沒有其他公共部分的證明，如Davies的《幾何學基礎》(1841)[6].有些教科書對這一模式進行一定的微調(diào)，Peirce在其《平面與立體幾何基礎》(1837)[7]中直接證明“不共線三點確定一個平面”，而不是將其作為定理2的推論.很多教科書并未將定理1作為單獨的定理列出，如Walker的《幾何學基礎》(1829)[8]，這也成為后世教科書的普遍做法.

3.2　1850—1880：定理2的證明的不斷改進

勒讓德利用旋轉(zhuǎn)來確保定理2中的平面的唯一性，顯得不夠嚴謹.因此，這一時期的一些教科書開始采用不同的方式來解決該問題.

Tappan在其《平面與立體幾何》(1864)[9]中用傳統(tǒng)幾何的方式來證明平面的唯一性.如圖7，假設不共線三點A，B，C在兩個平面α和β上，根據(jù)平面的定義，AB，AC和BC都在平面α和β上.在平面α上任取一點D，過D作直線交AC于E，因D和E都在平面α上，故直線ED在平面α上，從而必與AB或BC相交.不妨設ED與AB交于點F，因F和E都在平面β上，故直線FD也在平面β上，從而點D也在平面β上.因此，三點A，B，C確定唯一的平面.

圖7

圖8

Schuyler在其《幾何基礎》(1876)[10]中采用了另一方式.他首先證明：經(jīng)過一條直線有無數(shù)個平面.事實上，在一個平面上作一條直線，以它為軸，平面可以旋轉(zhuǎn)到任何位置.

Wilson在其《立體幾何與圓錐曲線》(1880)[11]中利用旋轉(zhuǎn)確定平面的存在性，然后用反證法證明平面的唯一性.如圖8，若有兩個平面經(jīng)過點A，B，C，則對于AB上的任一點P，從C點可以作兩條直線CP，每個面上各一條，這是不可能的，從而證明了唯一性.

但上述方法似乎也不能完全讓人滿意，數(shù)學家還需要尋找更好的方法來處理這一問題.

4　從定理到公理轉(zhuǎn)變的階段

19世紀末，一個顯著的進步在幾何中發(fā)生，希爾伯特在其《幾何基礎》中建立了完全公理化的歐氏幾何.在這之前，意大利數(shù)學家皮亞諾(G. Peano, 1858～1932)創(chuàng)立數(shù)學學派，對算術(shù)和幾何的公理化做出了巨大的貢獻，其中的一名重要成員、意大利數(shù)學家皮埃里(M. Pieri, 1860～1913)利用點、線段和運動對幾何進行公理化.他將平面定義為：“給定不共線三點A，B和C，則面ABC可以由A與BC上各點，B與CA上各點，C與AB上各點所連接的直線全部填滿.”另一方面，希爾伯特可能受數(shù)學抽象化和公理化趨勢的影響，并沒有定義平面，而將其作為一個基本的概念，像點和直線一樣，公理決定了基本概念之間的聯(lián)系，概念的意義只有在公理中得到體現(xiàn)，因此，公理就起到了定義的作用.希爾伯特的公理被大部分數(shù)學家所接受，同時也被數(shù)學教育界所接受，從而影響了大多數(shù)教科書.在這一階段，開始出現(xiàn)將平面概念作為原始概念，將平面的有關(guān)命題作為公理的趨勢，平面包含式定義和勒讓德的定理2變成了公理，今日人教版教科書中的公理1和公理2開始出現(xiàn).

Newcomb在《幾何學基礎》(1884)[12]中不再定義平面，轉(zhuǎn)而直接給出以下公理：

公理1如果直線上有兩點在平面上，則整條直線在平面上.

公理2經(jīng)過一條直線有無數(shù)個平面，且平面可以直線為軸旋轉(zhuǎn).

公理3只有一個平面可以經(jīng)過一條直線和直線外一點.

圖9

接下來，Newcomb利用上述公理證明：“兩條相交直線確定一個平面”.如圖9，AB和CD交于點O.讓任意平面經(jīng)過直線AB，將平面繞AB旋轉(zhuǎn)直到經(jīng)過點C(Newcomb的公理2)，因點C和O在直線CD上，故CD也在同一平面上(Newcomb的公理1).由Newcomb的公理3可知，這個平面是唯一的.Newcomb又證明：“兩平面的交線為直線.”證法與普雷菲爾等的方法相同.

圖10

Halsted在《幾何基礎》(1885)[13]中給出了與克雷爾類似的定義：如圖10，一個平面是由經(jīng)過定點與定直線上的點的直線運動而形成的.

需要指出的是，人教版中的公理1和公理2在這一時期的大部分教科書仍未以公理形式出現(xiàn).Bartol在其《立體幾何基礎》(1893)[14]中仍采用平面的包含式定義.先證明定理：“過一條直線有無數(shù)個平面”，由此推出勒讓德的定理2和定理3.Thompson在其《立體幾何和測量幾何基礎》(1896)[15]中仍采用與Tappan類似的方法證明平面的唯一性.

不同教科書采用的公理也互有不同.Keigwin在《幾何基礎》(1897)[16]中將“不共線三點確定一個平面”作為公理.Hart和Feldman在《平面與立體幾何》(1912)[17]中將“直線與平面最多交于一點”作為公理.Richardson在《立體幾何》(1914)[18]中將“若兩平面有一個公共點，則它們有第二個公共點”作為公理.此外，Durell在《立體幾何》(1904)[19]中將公理稱為平面在空間中的基本性質(zhì)或立體幾何的公設，而不稱為公理.

5　三大公理的最終形成階段

從1920到1960，到了這一時期，平面作為不加定義的概念，平面公理已經(jīng)普遍出現(xiàn)于幾何教科書中.值得注意的是，這一時期，在勒讓德定理3的證明中，“為什么兩個平面相交有兩個交點”這一問題開始出現(xiàn)，因此，該定理逐漸被當作公理.Hawkes，Lucy和Touton在《立體幾何》(1922)[20]中，首先將“若兩平面有一個公共點，則它們有第二個公共點”作為公設，然后再證明定理3，Cowley的《立體幾何》(1934)[21]中將“兩平面相交，交線為直線”作為公理，從而《幾何原本》中的三個命題終于都成了公理.

可以看出，希爾伯特的公理化方法對這一時期平面概念的呈現(xiàn)方式產(chǎn)生了深刻的影響，且人教版教科書中平面的三公理在這一時期的教科書中有了基本的雛形.

6　結(jié)語

從以上考察中我們可以發(fā)現(xiàn)，平面的概念與公理有著漫長的歷史發(fā)展過程，初步發(fā)展時期巴門尼德和歐幾里得等對平面的認識接近于我們的直觀感受，定義中有很多模糊的詞語，因此不能將定義用于命題的推理中，到了平面的構(gòu)造性階段，辛松、克雷爾、傅里葉等人基于定義的簡潔性與可推理的特征給出一些平面的構(gòu)造性定義，最后辛松的定義被之后的大部分教科書認可，平面有關(guān)的命題開始采用這一定義進行了初步的證明，但其中仍然具有一些邏輯上的問題，因此，不少數(shù)學家在辛松定義的基礎上嘗試各種辦法加以改善，但總是不能完全解決疑問，最后在歷史的趨勢下，希爾伯特的公理化方法出現(xiàn)，定義與邏輯的問題最終得到解決，平面的定義與公理也終于出現(xiàn)了現(xiàn)代定義的雛形.

今日教科書中的平面三公理也經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程，其雛形首先在《幾何原本》中以命題形式出現(xiàn).之后，人教版中的公理1以定義形式出現(xiàn)，其余兩個公理由該定義推出.之后，包含式定義和勒讓德的定理2率先以公理形式出現(xiàn)，即人教版的公理1和公理2.最后，勒讓德的定理3成了今天的公理3.

平面概念的歷史有著重要的教育價值.今日教科書將平面視為原始概念，并不是由于這是一個易于理解的簡單概念，而是漫長歷史演進的結(jié)果.在教學中，讓學生經(jīng)歷這一過程有利于他們對平面概念本質(zhì)的理解.歷史表明，平面三公理與平面概念是互相促進、共同發(fā)展的，可以說，正是由于平面這三個公理的各種問題促進了平面概念的不斷完善，在教學中可以有效利用這一點促進學生對平面概念的深刻理解.同時，在歷史上，這三個公理作為定理時，它們之間存在一定的邏輯關(guān)系.作為公理之后，邏輯關(guān)系似乎消失了，讓學生了解這一點，可以讓學生更深刻地解三個公理之間的聯(lián)系.