卓　斌

(江蘇省宿遷市中小學教學研究室　223800)

1　問題的提出

教師評講時，首先指出學生沒有認真審題，隱含條件α<β沒有用到，因此答案錯誤.然后給出如下解法.

又因為2α-β=(α-β)+α，

課后交流時，筆者指出：按照您的思路，下面解法是否正確呢？

又因為2α-β=2(α-β)+β，

教師支吾不言！看來，解法一不但技巧性高，而且“有時候正確，有時候錯誤”.筆者進一步追問：您認為這是一道考查什么知識點的問題呢？有沒有一般性的解法呢？他思索后恍然大悟，給出了下面的做法.

這次教學調研的經(jīng)歷讓我深刻地認識到在數(shù)學解題教學中，一是要把握問題的數(shù)學本質，不能被表面現(xiàn)象所蒙蔽；二是要運用通解通法，避免繁難的解題技巧.一句話，數(shù)學解題教學應讓通解通法落地生根.

2　對于通解通法的理解

章建躍先生曾批評當下解題教學的現(xiàn)狀：搞“題型+技巧”，不重視“通性通法”，機械模仿多，獨立思考少，數(shù)學思維層次不高.有些解法“不自然”，強加于人，對于學生數(shù)學學習興趣與內部動機都有不利影響.章先生對于解題教學的看法可謂一針見血、入木三分.

史寧中先生在他的專著《數(shù)學思想概論》第3輯《數(shù)學中的演繹推理》一書旁注中指出：“求解個案問題表現(xiàn)的是技巧，而得到規(guī)律性表現(xiàn)的是技能.數(shù)學教育需要培養(yǎng)技巧，但是更重要的是培養(yǎng)技能”.并舉例說明，在韋達(F.Viete,1540—1603)之前，人們還是個案地求解一元二次方程，后來韋達發(fā)現(xiàn)了一元二次方程根與系數(shù)的關系，才給出了一般性的公式，即求解一元二次方程的通解通法.由此可見，史先生也是大力倡導數(shù)學教育要注重培養(yǎng)解決一類問題規(guī)律性的技能，即通解通法.

在數(shù)學解題方面，以經(jīng)歷一般化加工的高考試題為例，其解題基本思路以及知識點都是學生已掌握的，但是在問題情境上因題目是從數(shù)值過渡到字母的表示，在思維觀念上從正向思維變?yōu)槟嫦蛩季S，因此常常讓考生感到無從下手、無所適從.筆者認為數(shù)學解題的最高境界必然是“無招”.無招的背后，必然是有招，且招數(shù)的變化美妙了然于胸.無招的背后，必然是尋求以不變應萬變的本質，而達到這樣的境地，則必須熟悉復雜招數(shù)背后的本質.無招的背后，還是勤學苦練百次、萬次的結晶，揣摩萬千變化，才有可能接近無招勝有招的巔峰.數(shù)學解題中的“無招”，其實質應該是解題的“通解通法”.

那么，什么是數(shù)學解題中的“通解通法”呢？結合上述的觀點，我們認為，通解通法就是解決這一類問題的最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式、最普遍的操作程序.

筆者曾經(jīng)輔導過幾位數(shù)學后進生，他(她)們學習數(shù)學最大的障礙就是認為數(shù)學解題方法太靈活了，不難捉摸了，太難學會了.譬如，有的老師講題喜歡一題多解，讓他們有一種“霧里看花”的感覺，每一種方法都淺嘗輒止，不得要領；還有老師講題只講怎么做，不講為什么要這樣做，以及怎么想到的這樣做的，而且鞏固訓練也不到位，讓他們呈現(xiàn)出“一看就會，一做就錯”現(xiàn)象.實踐表明，通解通法教學不僅有利于學生快速抓住數(shù)學知識的本質,形成有效解決問題的策略,而且有利于消除學生對數(shù)學學科的畏懼心理,增強學生學好數(shù)學的自信心.

3　例談數(shù)學解題教學中的通解通法

3.1　分段函數(shù)問題，通解通法在于找準分段討論的臨界點.

對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).它是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù).分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)值域的并集.顧名思義，解決分段函數(shù)問題關鍵在于“分段”，通解通法就是找準分段討論的臨界點.

本題脫掉絕對值符號的關鍵點有兩處，一是lnx的正負號，臨界點是x與1的大小關系；二是x2-4的正負號，臨界點是x與2的大小關系.又因為隱含了x>0的條件，所以需要分成三段進行討論，即02.

令h(x)=lnx+2-x2，

可知f(x)+g(x)的極小值為

f(2)+g(2)=ln 2-2<-1.

結合圖象可知，

函數(shù)y=|f(x)+g(x)|與y=1的圖象交點個數(shù)為4個.

所以方程|f(x)+g(x)|=1實根的個數(shù)為4.

解析本題主要考查分段函數(shù)與復合函數(shù)的概念，以及函數(shù)零點等知識點，考查學生利用數(shù)形結合與分類討論的數(shù)學思想方法解決復雜函數(shù)的能力.

本題處理復合函數(shù)y=f(f(x))-1關鍵點是利用x<0與x≥0的解析式，由于x2-1≥0取決于是否x≥1，因此臨界點是x=0與x=1，所以需分三種情況進行討論：

(1)當x≥1時，因為f(x)≥0，

所以f(f(x))=[f(x)]2-1=1，

(2)當0≤x<1時，因為f(x)<0，

EFpdepth,j為j類土地的足跡深度，EFpdepth,reg為區(qū)域內各種土地利用類型所組成的生態(tài)足跡廣度。

所以f(f(x))=-f(x)+m=1，

解得f(x)=m-1.

又因為m>0，m-1<0，

所以0

(3)當x<0時，因為f(x)=-x+m>0，

所以f(f(x))=(f(x))2-1=1，

綜上可知，當且僅當0

函數(shù)y=f(f(x))-1有3個不同的零點，

3.2　基本不等式問題，通解通法在于運用消元法減少變量.

運用基本不等式求解最值問題有三個條件缺一不可：一正，二定，三相等.其中的關鍵點就是配湊或構造出定值，利用“積定和最小”“和定積最大”求出最值.實際問題中遇到的難點大多是“多變量函數(shù)”問題，通用的做法就是運用消元法減少變量.

案例3(2016年江蘇卷第14題)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanB·tanC的最小值是.

因為sinA=2sinBsinC，A=π-(B+C)，

所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.

兩邊同除以cosBcosC，

得2tanBtanC=tanB+tanC.

又因為tanA=-tan (B+C)

因為三角形ABC是銳角三角形，

所以tanA>0,tanB>0,tanC>0.

得tanBtanC-1>0.

設tanBtanC-1=t(t>0)，

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

3.3　平面向量問題，通解通法在于轉化為基底表征方式.

平面向量基本定理表明，任意一個平面向量可以用不共線的兩個非零向量來線性表示，而且這種表示是唯一的.這提醒我們解決平面向量問題的通解通法應該是選好一組不共線的基底向量，并運用它們表征其余向量.

圖1

且E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，

當然，平面向量數(shù)量積問題的另一種通解通法就是通過建立平面直角坐標系，把數(shù)量積轉化為坐標的運算.

圖2

案例7(自編問題)已知|2a-b|≤3，則a·b的最小值為.

解析本題考查平面向量數(shù)量積的最值問題，通解通法就是回歸數(shù)量積的定義：a·b=|a||b|·cosθ，利用|a·b|=||a||b|·cosθ|≤|a||b|，實現(xiàn)條件與解題目標的有效對接.

因為|2a-b|≤3，

平方得4a2+b2-4a·b≤9.

又因為4a2+b2≥4|a||b|≥-4a·b，

代入上式得-8a·b≤9，

3.4　不等式恒成立問題，通解通法在于引進函數(shù)模型.

案例8(2017屆南通市高三二模第14題)已知對任意的x∈R，3a(sinx+cosx)+2bsin 2x≤3(a，b∈R)恒成立，則當a+b取得最小值時，a的值是.

解析本題主要考查含有雙字母參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題，考查學生轉化與化歸、分類討論、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法.解題的關鍵在于把握問題的數(shù)學本質，采取各個擊破策略.本題是運用通解通法解決復雜數(shù)學難題的最典型案例.

則sin 2x=t2-1，

因此不等式2bt2+3at-2b-3≤0 恒成立，

令f(t)=2bt2+3at-2b-3.

(1)當b=0時，f(t)=3at-3≤0恒成立，

(2)當b>0時，

不等式2bt2+3at-2b-3≤0 恒成立，

由線性規(guī)劃，易得a+b無最小值，舍去.

(3)當b<0時，

由線性規(guī)劃，(a+b)min=0，a=0.

令a+b=t與9a2+16b2+24b=0相切，

所以a+b=-2.

4　讓通解通法落地生根的幾點建議

江蘇省中小學教學研究室董林偉先生倡導學生要整理好自己的“工具箱”，熟知自己擁有哪些工具，精通每個工具的功能，掌握每個工具使用的注意事項.解題就是自身擁有工具的調動與使用.我們認為，在解題教學中讓通解通法落地生根，就是要抓好以下四個關鍵詞.

4.1　說數(shù)學

一直以來，數(shù)學課堂教學僅限于聽課和紙筆練習，學生的口頭表達能力重視不夠，造成學生“心求通而意未得，口欲言而詞不達”，無法及時再現(xiàn)所學的數(shù)學知識，從而影響對所學知識的理解.說數(shù)學，就是讓學生用自己的語言描述所學的數(shù)學定義、定理、公式、法則，說出對所面臨數(shù)學問題的條件與結論的理解，說出解題方法的選擇，說出關鍵環(huán)節(jié)的突破與克服.實踐表明越能流暢表達的學生，對所學知識越熟悉，也容易理解知識中的隱喻內容，容易形成自己獨到、深刻的理解,快速找到解決問題的通解通法.

4.2　做數(shù)學

所謂做數(shù)學，就是扎扎實實地做題目.做題是數(shù)學學習的主要內容，也是促進學生數(shù)學理解的最直接途徑.做題的過程要精力集中、書寫規(guī)范、思路清晰，邏輯性強，講究速度與精度，會做的題目能夠拿到滿分，練好做題“童子功”.教師要給予學生充足的做數(shù)學的時間與空間，發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生親歷親為，體驗解題過程中的酸甜苦辣，積累成功的經(jīng)驗，也汲取失敗的教訓.同時，教師在解題教學中要率先垂范，板書工整、解題完整，小處強調步驟與程序，大處歸納解決一類問題的通解通法.

4.3　變式練習

變式練習是指對數(shù)學概念和數(shù)學問題進行不同角度、不同情景、不同設問的變換，凸顯數(shù)學概念的本質與外延，突出數(shù)學問題的結構特征，揭示數(shù)學知識的內在聯(lián)系，真正做到舉一反三，舉三而反一類.南師附中葛軍先生提出的生長教育：即由1生2，由1生4，由1生n，就是對于變式練習的最好詮釋.變式練習中變化的是題目，不變的是通解通法.因此，變式練習是幫助學生掌握一類數(shù)學問題通解通法的不二選擇.

4.4　畫思維導圖

畫思維導圖是由東尼·巴贊所創(chuàng)，這是一種將放射性思考具體化的方法.畫思維導圖是一種全新的思維模式，能夠幫助學生靈活地由一種思路轉換到另一種思路，從一個意境進入到另一個意境，多方位地試探問題的解決方法，讓思維過程具有很強的發(fā)散性與靈活性.譬如，面對一個陌生的數(shù)學問題，可以問問自己，這個問題的條件和結論是什么？能舉出幾個實例嗎？與哪個熟悉問題結構上相似？還可以追問自己，問題的反面是什么？逆命題成立嗎？更一般的問題是什么？等等.唯有如此，才能實現(xiàn)章建躍先生所極力倡導的解題教學三重境界：知其然；知其所以然；何由以知其所以然.唯有如此，才能讓通解通法落地生根，以不變應萬變.