王芝平

(北京宏志中學(xué)　100013)

函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí)．它覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)，極易與其它知識(shí)建立聯(lián)系，通過(guò)相互滲透和交融形成新穎靚麗、解法靈活的試題，從而有效全面地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

當(dāng)含有參數(shù)的不等式恒成立時(shí)，求其參數(shù)的取值范圍是一類(lèi)較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題．一個(gè)基本的想法就是將其上升為含有參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，在此基礎(chǔ)上通過(guò)確定函數(shù)極(最)值點(diǎn)予以解決．在這個(gè)過(guò)程中若能恰當(dāng)、靈活地運(yùn)用充分條件與必要條件的邏輯關(guān)系將會(huì)使問(wèn)題的解決有效簡(jiǎn)化．

例1(2010高考年國(guó)標(biāo)卷理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2．

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍．

這是試卷中必作題目的最后一題，由文獻(xiàn)[1]知，該題難度為0.317，屬于較難的試題．

利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容的基本要求．?dāng)?shù)學(xué)課標(biāo)教材涉及到了與函數(shù)相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題，如人教A版選修2-2第32頁(yè)B組第一題：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過(guò)函數(shù)圖像直觀(guān)驗(yàn)證：(1)sinx0，x∈(0，1)；(3)ex≥1+x(x≠0)；(4)lnx0．這些問(wèn)題的解決一般需要通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值來(lái)處理．

例1可以認(rèn)為是上述第(3)小題的變式拓展，表現(xiàn)在對(duì)函數(shù)表達(dá)式的設(shè)計(jì)上，其中第(Ⅰ)問(wèn)既考查學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解，又為問(wèn)題(Ⅱ)的解決做了鋪墊；另一方面在運(yùn)算過(guò)程中，考查學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的掌握和運(yùn)算求解能力以及推理論證能力．

方法1[1]：

(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，0)．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知ex≥1+x，

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，

故f′(x)=ex-1-2ax≥x-2ax=(1-2a)x，

而f(0)=0，于是當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0．

由ex>1+x(x≠0)，可得e-x≥1-x(x≠0)，

f′(x)

故當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，f′(x)<0，

而f(0)=0，于是當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，f(x)<0．

對(duì)于第(Ⅱ)問(wèn)，上述方法靈活利用第(Ⅰ)問(wèn)中的結(jié)論和不等式的不同方向的放縮，不僅利用ex≥1+x，還要利用換元法巧妙地轉(zhuǎn)化出e-x≥1-x．這既要學(xué)習(xí)新知識(shí)，又要靈活應(yīng)用新知識(shí)，對(duì)學(xué)生能力要求較高．那么能否有簡(jiǎn)單、自然、水到渠成的解題途徑呢？

“鴛鴦繡出憑君看，愿把金針度與人”，下面介紹我們解決這類(lèi)問(wèn)題的一些基本想法，請(qǐng)讀者體會(huì)并積累其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

1　謀定思路有方向

第(Ⅱ)問(wèn)的條件是“x≥ 0時(shí)，f(x)≥0”．這是真的嗎？(敢于質(zhì)疑一個(gè)結(jié)論是優(yōu)秀數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的表現(xiàn))我們不妨利用特殊值試一試．從簡(jiǎn)單情形開(kāi)始，無(wú)疑x=0是值得試一試的特殊值：f(0)=0．這個(gè)結(jié)果對(duì)我們有什么啟發(fā)嗎？顯然，如果能證明當(dāng)x≥ 0時(shí)，f(x)是單調(diào)增函數(shù)，那么f(0)=0是f(x)的最小值，那么此時(shí)a的取值范圍A0應(yīng)該是答案A的子集．也就是說(shuō)，我們找到了使“x≥ 0時(shí)，f(x)≥0”成立的一個(gè)充分條件．接下來(lái)應(yīng)該再對(duì)a∈RA0時(shí)進(jìn)行討論，即便是無(wú)功而返，從“功利性”(高考)的角度講，也會(huì)得到本題的絕大部分分?jǐn)?shù)．若能繼續(xù)證明此時(shí)f(x)≥0不恒成立，那么就間接得到使f(x)≥0成立的必要條件是a∈A0.進(jìn)而知a的取值范圍是集合A0.

討論f(x)的單調(diào)性，實(shí)際上是考察函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=ex-1-2ax的值是正還是負(fù)？這是容易想到的、也是能做到的．

讓我們重新表述下一階段的目標(biāo)：

若當(dāng)x≥ 0時(shí)，f′(x)=ex-1-2ax≥0，求a的取值范圍．

下面，我們將這些想法整理成一個(gè)符合邏輯的有序解題過(guò)程：

2　規(guī)范解答不失分

(Ⅱ)方法2——先找充分條件，再證明這個(gè)條件也是必要條件．

注意到f(0)=0，考察f(x)在區(qū)間[0，+∞)上的單調(diào)性．

3　解后反思收獲大

另外方法2避開(kāi)了第(Ⅰ)問(wèn)獲得的結(jié)論，更沒(méi)有不等式的兩次不同方向的放縮，幾乎沒(méi)有什么靈活的技巧，是值得大家品味的．

解題的價(jià)值不僅在于答案本身，而在于弄清楚解題思路是怎樣想到的？?jī)?yōu)化解題過(guò)程也并不依賴(lài)于神秘的技巧．但需要指出的是，要讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)基本概念分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣，要有優(yōu)化解題途徑的求簡(jiǎn)意識(shí)．

例2(2017年高考全國(guó)Ⅱ卷文科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex．

(Ⅰ) 略；

(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍．

解析：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1等價(jià)于g(x)=ax+1-f(x)≥0恒成立．

注意到g(0)=0，則結(jié)論成立的一個(gè)充分條件是g(x)為增函數(shù)，這只需要g(x)的導(dǎo)數(shù)非負(fù)即可．

令g′(x)=a-f′(x)=a+(x2+2x-1)ex≥0，得a≥f′(x)=(1-x2-2x)ex．

下面求f′(x)的最大值．

f″(x)=-(x2+4x+1)ex=-[(x+2)2-3]·ex<0，所以f′(x)是減函數(shù)，所以f′(x)的最大值為f′(0)=1．所以，當(dāng)a≥1時(shí)，g′(x)≥0，所以g(x)是區(qū)間[0，+∞)上的增函數(shù)，所以當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≥g(0)=0，即x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1恒成立．所以a≥1是f(x)≤ax+1(x≥0) 恒成立的一個(gè)充分條件．

下面再證明a<1不合題意．注意到g(0)=0，這只需證明g(x)在(0，δ)(δ>0)上是減函數(shù)，也就是證明g′(x)在(0，δ)上是非正即可．

因?yàn)間′(x)=a-f′(x)=a+(x2+2x-1)·ex，所以當(dāng)a<1時(shí)，g′(0)=a-1<0．

由于函數(shù)g′(x)的圖像是“連續(xù)不斷的”，所以可以猜測(cè)到在0的“附近”g′(x)<0，但這是需要證明的，這里要用到函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．

綜上，a的取值范圍為[1，+∞)．

例3(2013年高考遼寧數(shù)學(xué)試卷理科第21題)

(Ⅱ)若f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(Ⅰ)略.

(Ⅱ)解析：待證不等式集基本初等函數(shù)之大成，直接證明困難較大，不妨先尋找使其成立的充分條件，再證明這個(gè)充分條件也是必要條件．

注意到(Ⅰ)的結(jié)果：f(x)≥1-x，那么使1-x≥g(x)成立的a一定也使f(x)≥g(x)成立，即找到了一個(gè)使f(x)≥g(x)成立的充分條件．下面求當(dāng)1-x≥g(x)恒成立時(shí)a的取值范圍．

至此，我們得到了f(x)≥g(x)恒成立的一個(gè)充分條件：a≤-3．

如果我們?cè)倌茏C明a>-3不合題意，那么就得到了原不等式成立的必要條件：a≤-3．從而原不等式成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞，-3]．

所謂a>-3不合題意，就是此時(shí)f(x)≥g(x)不恒成立，即f(x)

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3]．

“沒(méi)有最好，只有更好！”一個(gè)問(wèn)題可以有不止一種解法，而且也不存在一種解法是絕對(duì)最好的．文[5]曾針對(duì)近幾年的若干高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的解法指出，“它們還有更自然、更簡(jiǎn)單的解法” ．事實(shí)上，2010年高考課標(biāo)卷文科第21題、2015年高考北京卷理科第18題、2016年高考全國(guó)Ⅱ卷文科第20題與Ⅲ卷文科第21題、2017年高考全國(guó)三套試卷的理科第21題等都可以借助充分條件與必要條件的邏輯關(guān)系得到簡(jiǎn)單、自然的解法．真可謂：充分與必要解題總需要!

題目千千萬(wàn)，解法萬(wàn)萬(wàn)千；年年都考試，今年似不同．在解貌似陌生的高考“新題”時(shí)，要相信一個(gè)基本的道理：很多同類(lèi)試題只是對(duì)以前的問(wèn)題稍加“變式”，以一個(gè)嶄新的面目出現(xiàn)在我們面前，如果能揭開(kāi)題目的“面紗”就可看穿題目的“真面目”，使問(wèn)題獲得解決．

回顧上述問(wèn)題的解決，我們深刻地感受到：“數(shù)學(xué)推理表其外，理性思維蘊(yùn)其中”，只有充分暴露解題思維過(guò)程的教學(xué)，才有可能使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地生根，只有多想，方能少算．

“大道至簡(jiǎn)”，數(shù)學(xué)的目的之一在于揭示被千變?nèi)f化的表象所掩飾的本質(zhì)，還數(shù)學(xué)以本源．