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        一類矩陣的行列式及應(yīng)用

        2018-07-14 02:48:48劉碧鐸胡永建
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2018年2期
        關(guān)鍵詞:行列式表達(dá)式結(jié)論

        劉碧鐸            胡永建

        (北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100871)  (北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

        本文研究n階矩陣:

        (1)

        假定zi,wj≠0 (i,j=1,…,n),并記

        則Δ(x)為次數(shù)不超過(guò)n-1的多項(xiàng)式,且Δ(zi)=0 (i=1,…,n-1).因此,Δ(x)=c(x-z1)…(x-zn-1),其中c為常數(shù).令x=0,則c=(-1)n-1·(z1…zn-1)-1Δ(0). 注意到,

        (2)

        根據(jù)遞推式(2),我們可證明如下結(jié)論:

        定理1設(shè)矩陣Pn由(1)式給出.則Pn的行列式為

        (3)

        證明由定理1前面的分析知,當(dāng)zi,wj≠0 (i,j=1,…,n)時(shí),遞推式(2)成立,由此不難得到(3)式成立. 當(dāng)某兩個(gè)zi或某兩個(gè)wj等于0時(shí),則Pn的兩行或兩列相同,從而|Pn|=0,此時(shí)(3)式仍然成立. 當(dāng)某個(gè)zi或wj等于0時(shí),(3)式等號(hào)左右兩邊的表達(dá)式關(guān)于zi,wj在zi=0或wj=0處連續(xù).那么,令zi→0或wj→0,可以推出當(dāng)zi=0或wj=0時(shí)(3)式也成立.證畢.

        由定理1知,矩陣Pn總是非奇異的. 特別地,如果zi(i=1,…,n)是復(fù)平面單位開圓盤內(nèi)互異的點(diǎn),則Pick矩陣

        為Hermite正定矩陣.

        k,l=1,…,n.

        于是,我們有下面的結(jié)論:

        plk=(-1)n-1·

        l,k=1,…,n.

        利用定理1的結(jié)論,可以得到美國(guó)數(shù)學(xué)月刊第11969號(hào)問題的一個(gè)簡(jiǎn)單解答.

        (4)

        由定理1知,

        眾所周知,Cauchy矩陣是如下形式的矩陣:

        (5)

        其中x1,…,xn與y1,…,yn分別互異,且xi≠-yj(i,j=1,…,n). 由定理1還可以得到Cauchy矩陣Cn的行列式表達(dá)式、可逆性的證明和逆矩陣的表示[3].

        推論1設(shè)Cn由(5)式給出,則Cn的行列式為

        (6)

        證明首先假定x1,…,xn≠0,則

        由定理1的結(jié)論可知,

        當(dāng)某兩個(gè)xi=0時(shí),Cn中出現(xiàn)兩行相同,則|Cn|=0,(6)式成立. 當(dāng)某個(gè)xi=0時(shí),注意到(6)式等號(hào)兩邊的表達(dá)式在xi=0處有定義且連續(xù),令xi→0,則(6)式仍然成立. 證畢.

        由定理3知,Cauchy矩陣Cn總是可逆的. 容易發(fā)現(xiàn),Cn中每個(gè)元素的余子陣是n-1階Cauchy矩陣.據(jù)此可以得到Cn的逆矩陣的如下表示.

        clk=

        l,k=1,…,n.

        例2設(shè)矩陣

        證明:A為可逆矩陣且A-1為整數(shù)矩陣.

        =(-1)k+l·

        故結(jié)論成立. 證畢.

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