同　非　郭　磊　連　豪

(西安電子工程研究所　西安　710100)

0　引言

空間信號到達(dá)方向(Direction of Arrival, DOA)估計[1]是陣列信號處理面臨的基本問題，也是雷達(dá)、聲納與電子對抗等領(lǐng)域的重要任務(wù)之一，在實際工程中具有十分現(xiàn)實的意義。DOA估計的任務(wù)是測量處在某個區(qū)域內(nèi)多個具有威脅的輻射源的空間位置，即各個輻射源到達(dá)陣列天線的方位和俯仰角，簡稱波達(dá)方向角。傳統(tǒng)DOA估計的分辨力取決于陣列長度，陣列長度確定后，其分辨力也隨之確定，稱之為瑞利限[2]。超瑞利限的方法稱為超分辨方法，最經(jīng)典的超分辨DOA估計方法是多重信號分類(MUSIC)[3]方法，該方法本質(zhì)上是一種基于特征結(jié)構(gòu)的子空間方法，即若傳感器的個數(shù)比信源個數(shù)多，則陣列數(shù)據(jù)的信號分量一定位于一個低秩的子空間，在一定條件下，該子空間將唯一確定信號的波達(dá)方向，并可以使用奇異值分解精確地確定波達(dá)方向。

1　基于MUSIC算法的DOA估計

多重信號分類(Multi-signal classification, MUSIC)旨在通過在空域內(nèi)進(jìn)行譜峰搜索求出信號源的方向,與最大似然(ML)、加權(quán)子空間擬合(WSF)等多維搜索算法相比，MUSIC算法具有運算量小、復(fù)雜度低等優(yōu)勢[4]。

1.1　MUSIC算法原理

(1)

根據(jù)式(1)可得：

A(θ)RSAH(θ)UN=0

(2)

矩陣RS為滿秩非奇異矩陣，所以有逆存在。則上式可變?yōu)锳H(θ)UN=0，說明矩陣AH(θ)中的各列向量與噪聲子空間正交，因此有

(3)

由噪聲特征向量和信號向量的正交關(guān)系，得到陣列空間譜函數(shù)：

(4)

通過式(4)可知，使θ變化，通過搜尋波峰可估計到達(dá)角，因此式(1-4)亦可表示為：

(5)

其中，Pa=a(θ)(aH(θ)a(θ))-1aH(θ)為a(θ)的投影矩陣。

綜上，可將MUSIC算法的步驟歸納如下：

1)根據(jù)N個接收信號矢量得到協(xié)方差矩陣的估計值

(6)

對上式得到的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解

R=U∑UH

(7)

2)按特征值的大小順序，將與信號個數(shù)K相等的最大特征值對應(yīng)的特征向量看作信號子空間，將剩下的(M-K)個特征值對應(yīng)的特征向量看作噪聲子空間，推出

(8)

1.2　MUSIC算法仿真分析

仿真中假設(shè)采用均勻線陣進(jìn)行DOA估計。線陣含有8個陣元，陣元間距為半波長，假設(shè)存在三個信源，來波方向分別為10°、30°和60°。

仿真一：信噪比為10dB，快拍數(shù)分別為50和500時得到基于MUSIC算法的DOA估計仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1　快拍數(shù)分別為50和500時利用MUSIC算法得到的DOA仿真結(jié)果

仿真二：快拍數(shù)分別為500，信噪比分別為0dB和10dB時得到基于MUSIC算法的DOA估計仿真結(jié)果如圖2所示。

從圖1和圖2的仿真結(jié)果可知，當(dāng)系統(tǒng)處于高信噪比和大快拍數(shù)條件下時將得到較好的DOA估計結(jié)果。但工程應(yīng)用中，大快拍數(shù)將增加系統(tǒng)的軟硬件復(fù)雜度，提高系統(tǒng)成本，且實戰(zhàn)過程中，敵方偵察源常采用低截獲概率信號，系統(tǒng)所處的電磁環(huán)境也較為復(fù)雜，因此往往無法獲得理想的信噪比。因此，在工程設(shè)計中，應(yīng)選擇合理的快拍采樣數(shù)，并采用高質(zhì)量低噪放、匹配濾波等手段盡可能提高信噪比，在滿足指標(biāo)要求和設(shè)計成本的情況下獲取較高的DOA估計精度。

圖2　信噪比分別為0dB和10dB時利用MUSIC算法得到的DOA仿真結(jié)果

2　相干信號源的DOA估計

由于信號在空間中傳播的復(fù)雜性，實際工程中入射到陣列天線上的信號通常包括同頻干擾和由于背景物體反射等造成的多路徑傳播信號，造成信號源相干[5]。信號源相干會導(dǎo)致其協(xié)方差矩陣的秩的虧缺，使信號特征向量發(fā)散到噪聲子空間，造成基于傳統(tǒng)MUSIC算法的DOA估計方法失效[6]，在雷達(dá)和電子對抗系統(tǒng)的實際應(yīng)用中表現(xiàn)為目標(biāo)漏警或信源定位錯誤。因此，研究有效的相干信號處理方法是DOA估計面臨的一個重要問題。

2.1　基于空間平滑的改進(jìn)MUSIC算法原理

空間平滑技術(shù)[7]是解決相干或者強相關(guān)信號的有效方法，其基本思想是將等距線陣劃分為幾個相重疊的子陣列，若各子陣列的陣列流形相同，則子陣列協(xié)方差矩陣可以相加后取平均取代原算法中的RS。如圖3所示，將M元的等距線陣用滑動方式分成L個子陣每個子陣列有N個單元，其中M=M-L+1，定義第l個前向子陣列的輸出為：

(9)

其中，AM為N×K維的方向矩陣，其列為N維的導(dǎo)向矢量aM(θi)(i=1,2,…,k)。

所以，第l個前向子陣列的協(xié)方差矩陣為：

(10)

則前向空間平滑協(xié)方差矩陣為：

(11)

另外，考慮直線陣列的倒序陣，同理可得到后向空間平滑的協(xié)方差矩陣為：

(12)

根據(jù)矩陣論相關(guān)性質(zhì)，可知Rb是Rf的共軛倒序陣，具有共軛倒序不變性[8]，因此可定義前后向平滑協(xié)方差矩陣為：

(13)

空間平滑算法通過共軛倒序不變性，利用子陣列協(xié)方差矩陣相加后的平均值取代原算法中的RS，解決了相干源協(xié)方差矩陣的秩的虧缺問題，將協(xié)方差矩陣的秩恢復(fù)到了與信號源個數(shù)相等。

圖3　空間平滑示意圖

基于空間平滑的MUSIC算法[9-10]旨在對陣列輸出信號的協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理，使信號協(xié)方差矩陣的秩恢復(fù)為rank(R)=K，解決相干源協(xié)方差矩陣的秩的虧缺問題，因此能夠得到有效的DOA估計結(jié)果。

陣列信號的協(xié)方差矩陣為：

R=E[x(n)x(n)H]

(14)

其中，x(n)=AS(n)+n(n),n=1,2,…,N;x(n)=[x1(n),…,xM(n)]T為M個陣元輸出，A=[a(θ1),…,a(θk)];a(θi)=[1,exp(-jwi),…,exp(-j(M-1)wi)]T。

wi=2πdsinθi/λ，λ為載波波長，S(n)=[S1(n), …,SK(n)]T;Si(n)為第i個平面波的復(fù)振幅；n(n)=[n1(n),…,nM(n)]T；ni(n)是零均值、方差為σ2的白噪聲，且與信號源統(tǒng)計不相關(guān)；N為采樣快拍數(shù)。令I(lǐng)V為M×M反單位矩陣，即：

(15)

令RX=R+IVR*IV，其中R*為R的共軛，因此，根據(jù)矩陣論的相關(guān)性質(zhì)，可知RX為Hermite的Toeplitz矩陣。

陣列輸出矢量的N次采樣數(shù)據(jù)組成矩陣X=[x(1),…,x(N)]，它的協(xié)方差矩陣估計值可表示為R=XXH/N。根據(jù)Toeplitz矩陣的性質(zhì)[11]，對R進(jìn)行修正，得到Toeplitz協(xié)方差矩陣的估計值為RX=R+IVR*IV，并且可知RX是R的無偏估計。再對RX進(jìn)行分解，得到噪聲子空間。經(jīng)過處理后的噪聲子空間利用噪聲的特征向量再次帶入MUSIC算法中，即可去掉相干源的相關(guān)性，得到準(zhǔn)確的DOA估計結(jié)果。

2.2　基于空間平滑的改進(jìn)MUSIC算法仿真與分析

仿真中假設(shè)采用均勻線陣進(jìn)行DOA估計。線陣含有8個陣元，陣元間距為半波長，假設(shè)存在三個相干信源，來波方向分別為0°、30°和60°，信噪比為10dB，快拍數(shù)為500，利用傳統(tǒng)MUSIC算法和基于空間平滑改進(jìn)MUSIC算法的DOA估計仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4　傳統(tǒng)MUSIC算法和基于空間平滑的改進(jìn)MUSIC算法對相干信號源的DOA估計示意圖

由圖4可知，對于相干信號源，傳統(tǒng)MUSIC算法已失效，無法得到正確的DOA估計結(jié)果。改進(jìn)的MUSIC算法基于空間平滑原理，利用子陣列協(xié)方差矩陣相加后的平均值代替原來的滿陣協(xié)方差矩陣，解決了相干源協(xié)方差矩陣的秩的虧缺問題，達(dá)到去相干信號源相關(guān)的目的，從而得到了正確的DOA估計結(jié)果。

值得注意的是，基于空間平滑的改進(jìn)MUSIC方法以犧牲陣列的有效孔徑資源為代價，實現(xiàn)了信號源去相關(guān)的目的。因此在實際工程設(shè)計中，應(yīng)根據(jù)DOA估計精度的指標(biāo)要求，合理確定子陣列的規(guī)模和子陣列的數(shù)目。

3　結(jié)束語

本文首先介紹了基于MUSIC算法的DOA估計的原理，對不同快拍數(shù)和信噪比條件下的MUSIC算法性能進(jìn)行了仿真分析和討論，提出了DOA估計系統(tǒng)在工程設(shè)計中需要注意的問題和解決辦法；隨后，研究了一種基于空間平滑的改進(jìn)MUSIC算法的原理和步驟，并對傳統(tǒng)MUSIC算法和基于空間平滑的改進(jìn)MUSIC算法對相干信號源的DOA估計性能進(jìn)行了仿真對比和分析。分析結(jié)果表明，基于空間平滑的改進(jìn)MUSIC方法能夠去除相干信號源的相關(guān)性，解決了傳統(tǒng)MUSIC方法對相干信號源DOA估計失效的難題。