焦青松 ，劉 佳

（1.天津職業(yè)技術師范大學天津市信息傳感與智能控制重點實驗室，天津 300222；2.天津職業(yè)技術師范大學自動化與電氣工程學院，天津 300222）

無人駕駛飛機簡稱無人機，它是一種可通過遠程遙控和自身程序控制裝置操作，能夠在無人控制下實現(xiàn)自主飛行同時可執(zhí)行一定任務的飛行器。四旋翼飛行器作為極具代表性的無人機，因其結構簡單，成為了廣大科研愛好者在控制領域研究的焦點。其4個旋翼作為飛行器所需動力的直接來源，均勻分布在機體的前后左右4個方向，并以對稱的方式固定安裝在剛性十字形交叉結構上。為使四旋翼飛行器在飛行過程中產生的反扭力矩得到進一步消除，在轉動時應遵循“同一對角線上的旋翼具有旋轉方向相同的轉速，鄰近的旋翼具有旋轉方向相反的轉速”這一基本原則。相比于普通飛機而言，四旋翼飛行器最突出的優(yōu)點是體積小、質量輕、控制簡單且機動性能靈活，可實現(xiàn)平移和旋轉等飛行動作，廣泛應用于影視、消防、電力、農業(yè)和快遞等行業(yè)以及軍事相關領域[1]。四旋翼飛行器在空間上，沿3個坐標軸平移3個線自由度和繞3個坐標軸旋轉3個角自由度作為四旋翼飛行器的6個自由度，通過較強的耦合關系體現(xiàn)在相應的動力學模型中，同時姿態(tài)角對其位置坐標的變化起著決定性作用，從而直接影響其控制效果。近年來，隨著現(xiàn)代控制理論的不斷涌現(xiàn)并趨向于成熟化，相當多的控制理論和算法被應用到四旋翼飛行器控制系統(tǒng)中。例如，美國賓夕法尼亞大學對四旋翼飛行器控制系統(tǒng)進行了精確的建模分析，同時提出采用線性反饋控制法和反步控制法來控制四旋翼飛行器控制系統(tǒng)[2]。此外，自適應控制、滑模控制、自抗擾控制、模糊控制[3-6]等控制方法也被成功地應用于四旋翼飛行器控制系統(tǒng)。非線性控制領域對于四旋翼飛行器動力學模型的建立有較高的精確性，而PID控制器可有效解決其在建模過程中存在的穩(wěn)態(tài)誤差這一難點。本文通過對其位置和姿態(tài)角進行PID控制器的設計，進而對四旋翼飛行器的3個位置坐標和3個姿態(tài)角進行有效控制。

1 四旋翼飛行器模型及分析

考慮到四旋翼飛行器在運動過程中存在多種物理效應，直接影響著其受力分析，其原始動力學模型是相當復雜的[7]。為使控制系統(tǒng)的設計過程進一步簡化，需要忽略四旋翼飛行器原始動力學模型的陀螺效應項和摩擦阻力項，對其非線性動力學模型做進一步簡化處理，最終被簡化處理后的非線性動力學模型[8]為：

式中：（x，y，z）為在地面坐標系下四旋翼飛行器空間的位置；（φ，θ，ψ）為在其坐標系下四旋翼飛行器在空間的姿態(tài)，分別代表滾轉角、俯仰角和偏航角；Ui（i=1，2，3，4）為飛行器動力學模型的4個獨立虛擬控制輸入量；Ki（i=1，2，3，4，5，6）為阻力系數(shù)；Ii（i=1，2，3）為飛行器分別繞x軸、y軸和z軸旋轉時的轉動慣量；m為飛行器機體的質量；l為飛行器機體質心與其旋翼旋轉軸二者之間的距離；g為地球表面的重力加速度。

在控制工程的實際應用方面，通過四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的 6 個控制輸出量（x，y，z，φ，θ，ψ），可描述四旋翼飛行器在三維空間內的具體飛行狀態(tài)。在每個旋翼上安裝電動機轉子的目的是為四旋翼飛行器提供運動過程中所需要的升力和滾轉力矩、俯仰力矩以及偏航力矩，分別用 U1、U2、U3和 U4表示，將（U1，U2，U3，U4）直接輸入到四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的動力學模型中。根據四旋翼飛行器動力學模型“輸入量與輸出量個數(shù)的大小關系”這一判斷準則可知，四旋翼飛行器控制系統(tǒng)可被視為一個典型的4輸入、6輸出的欠驅動系統(tǒng)[9]。

在控制四旋翼飛行器控制系統(tǒng)時必然存在變量之間的耦合現(xiàn)象。針對其變量之間存在相互耦合關系的控制系統(tǒng)的PID控制器設計問題，需分別設計位置和姿態(tài)這2個控制回路。

2 四旋翼飛行器控制系統(tǒng)PID控制

2.1 PID控制理論

PID控制器是以抑制控制系統(tǒng)所產生的干擾和系統(tǒng)誤差為控制目標而進行設計的。其控制系統(tǒng)的控制原理如圖1所示。

圖1 PID控制系統(tǒng)的控制原理

由圖1可知，r為控制系統(tǒng)的控制輸入；y為控制系統(tǒng)的控制輸出；e為控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，通過對比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)進行線性疊加即可得到控制量u，進而控制其被控對象。表達式為：

式中：KP為比例系數(shù)；K1為積分系數(shù)；KD為微分系數(shù)。此3個參數(shù)均對控制系統(tǒng)的性能起著決定性作用。

PID控制器的控制作用主要包括比例控制、積分控制和微分控制[10-11]。

2.2 四旋翼飛行器PID控制器的設計

2.2.1 四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的結構

對四旋翼飛行器的結構呈十字模式或X模式。在運動過程中，通過改變4個旋翼上電動機的轉速來對其4個旋翼的轉速進行調節(jié)，進而使其在飛行過程中的升力發(fā)生變化，從而可有效實現(xiàn)其位置坐標（x，y，z）控制以及姿態(tài)角（φ，θ，ψ）控制。在四旋翼飛行器控制系統(tǒng)中，其線自由度和角自由度二者之間存在較強的耦合作用。所以，在對四旋翼飛行器進行控制時需充分考慮各個輸出量之間的耦合關系。在設計PID控制器時，需設計位置環(huán)和姿態(tài)環(huán)，這2個控制環(huán)分別作為該控制系統(tǒng)的外環(huán)和內環(huán)。通過位置環(huán)和姿態(tài)環(huán)分別設計PID控制器，使控制器可有效控制其位置和姿態(tài)。四旋翼飛行器控制系統(tǒng)結構如圖2所示。

圖2 四旋翼飛行器控制系統(tǒng)結構

由圖2可知，四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的輸入為位置（x，y，z）的期望值（xd，yd，zd）與其偏航角 ψ 的期望值ψd；水平PID控制器和高度PID控制器的輸入為位置坐標的期望值與實際輸出值的差值；姿態(tài)子系統(tǒng)PID控制器的輸入為姿態(tài)角的期望值與實際輸出值的差值；輸出為（U1，U2，U3，U4），這 4 個控制量被輸入到四旋翼飛行器動力學模型中，最終3個位置坐標（x，y，z）和 3個姿態(tài)角（φ，θ，ψ）作為四旋翼飛行器的動力學模型的控制輸出量。具體地說，控制量U2為四旋翼飛行器的滾轉通道；U3為四旋翼飛行器的俯仰通道；U4為四旋翼飛行器的偏航通道；控制量U1為位置坐標（x，y，z）的控制輸入量。因此，控制該系統(tǒng)時，可將其分解為以U2、U3、U4為控制輸入的姿態(tài)控制和以U1為控制輸入的位置控制[12]。

2.2.2 姿態(tài)控制器設計

姿態(tài)角控制回路作為四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的內環(huán)，由滾轉角φ、俯仰角θ和偏航角ψ這3個獨立的控制回路組成，因此可將這3個獨立的姿態(tài)控制回路分別進行PID控制器的設計。

以滾轉角回路為例，其動力學方程為：

式中：設φd為滾轉角的期望值；φ為滾轉角的實際輸出值；誤差eφ為滾轉角的期望值與實際輸出值的差值，即：

因此，滾轉角回路的控制器可寫為：

同理，俯仰角回路控制器和偏航角回路控制器分別為：

式中：θd為俯仰角的期望值；ψd為偏航角的期望值；θ和ψ均為實際輸出值。

2.3 位置控制器設計

當控制四旋翼飛行器的位置時，可將其劃分為高度控制回路和水平位置控制回路，分別對這2部分獨立控制回路進行控制。高度控制滿足式（9），水平位置控制滿足式（10）和式（11）。

定義位置坐標（x，y，z）的期望值為（xd，yd，zd），垂直方向上和水平方向上的控制通道均采用PID控制法，其控制算法為：

根據式（9）和式（12）可得升力U1的表達式為：

根據式（10）與式（11）可反解出滾轉角φ和俯仰角θ的期望值φd和θd，滾轉角φ的期望值φd的表達式為：

俯仰角θ的期望值θd的表達式為：

3 仿真結果及分析

對圖2所設計的四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的結構進行Matlab/Simulink仿真平臺搭建，分別對其輸出的6個自由度進行理論結果的仿真實驗，以驗證基于PID的控制法對其控制系統(tǒng)進行控制的有效性。文獻[12]列出了四旋翼飛行器動力學模型的具體參數(shù)：

K1=K2=K3=0.10，K4=K5=K6=0.12，I1=I2=1.25，I3=2.5，m=2 kg，l=0.2 m，g=9.8 m/s2。

比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)在PID控制器的設計中起著決定性作用。在四旋翼飛行器控制系統(tǒng)中，由于位置坐標和姿態(tài)角之間存在耦合作用，因此在設計PID控制器時，需先調節(jié)內環(huán)的姿態(tài)PID控制器的參數(shù)，直到內環(huán)達到穩(wěn)態(tài)為止，再對外環(huán)位置PID控制器的參數(shù)進行調節(jié)。

PID控制方法被應用于四旋翼飛行器控制系統(tǒng)中的一個重要原因即該控制方法具有較強的魯棒性，為了有效地描述該控制方法，通過控制系統(tǒng)的位置坐標響應曲線和姿態(tài)角響應曲線說明使用該控制方法的有效性。

假設四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的位置坐標（x，y，z）的初始值為（0，0，0），期望值（xd，yd，zd）為（10，20，40），滾轉角和俯仰角的初始值分別為30°和20°，滾轉角和俯仰角最終收斂到0°，偏航角ψ的初始值為0°，偏航角的期望值ψd為45°。

經過調試可得到位置PID控制器和姿態(tài)PID控制器的參數(shù)：

Kpx=Kpy=10，Kix=Kiy=1，Kdx=Kdy=3；Kpz=30，Kiz=3，Kdz=10；Kpφ=Kpθ=15，Kiφ=Kiθ=0.1，Kdφ=Kdθ=25；Kpψ=40，Kiψ=0.1，Kdψ=20。

通過對四旋翼飛行器控制系統(tǒng)進行仿真得到控制系統(tǒng)的位置坐標響應曲線和姿態(tài)角響應曲線，分別如圖3和圖4所示。

圖3 位置坐標響應曲線

圖4 姿態(tài)角響應曲線

由圖3和圖4可知：位置坐標x、y、z的超調量分別為9.1%、10%和6.1%，達到穩(wěn)定所需的時間分別為33 s、40.5 s和41.5 s；姿態(tài)角φ和θ的超調量分別為16%和18.3%，偏航角的超調量為0，達到穩(wěn)定所需時間分別為7 s、6 s和3s。因此，從位置坐標和姿態(tài)角這二者的超調量和達到穩(wěn)定所需時間可以得出：位置坐標x、y、z的超調量在10%及以內，但是達到穩(wěn)態(tài)所需時間均大于30 s；姿態(tài)角φ、θ和ψ中除了偏航角的超調量為0外，其他2個角度均存在超調，超調量均大于15%，但是姿態(tài)角φ、θ和ψ三者達到穩(wěn)定所需時間均在10 s以內?？傊ㄟ^對四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的位置和姿態(tài)6個自由度的設計，可使其6個自由度最終的輸出值等于期望值。而在超調量和達到穩(wěn)態(tài)所需時間方面，位置坐標的超調量較小，達到穩(wěn)態(tài)所需的時間較長；而姿態(tài)角的超調量較大，很快就能達到穩(wěn)定狀態(tài)。因此，控制效果較為理想。

4 結語

本文對四旋翼飛行器的位置坐標和姿態(tài)角進行PID控制器的設計，進而對其飛行的位置和姿態(tài)進行有效控制，通過對PID控制器參數(shù)的調節(jié)得到該控制系統(tǒng)輸出的仿真結果。仿真結果表明，該控制算法能有效地對四旋翼飛行器進行位置控制和姿態(tài)控制，動態(tài)性能良好。