連文瑜 ，劉 佳 ，張運喜 ，李偉勛

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學天津市信息傳感與智能控制重點實驗室，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學自動化與電氣工程學院，天津 300222；3.天津職業(yè)技術(shù)師范大學理學院，天津 300222）

隨著科學技術(shù)的發(fā)展和通訊技術(shù)的應用，多智能體系統(tǒng)的一致性在許多研究領域受到廣泛關(guān)注，如編隊控制、分布式計算和機器人系統(tǒng)等[1-3]。多智能系統(tǒng)是多個智能體的組合，它們通過相互間的合作協(xié)商來完成單個智能體不能完成的任務，多智能體系統(tǒng)的一致性即設計適合的控制協(xié)議使各個智能體達到相同的狀態(tài)。多智能體系統(tǒng)的編隊控制與一致性問題有著密切關(guān)系，在編隊控制時，智能體之間不僅要滿足某些狀態(tài)量使之達到一致，還需要和原來預先給定的隊形保持一致。有許多學者對多智能體系的編隊控制問題進行了研究，研究方法主要有基于領導-跟隨的方法[4]，基于行為的方法[5]，基于虛擬結(jié)構(gòu)式的方法[6]。文獻[7]針對一階多智能體系統(tǒng)，基于一致性方法來研究多智能體系統(tǒng)分布式編隊控制。文獻[8]針對一階系統(tǒng)設計控制協(xié)議，研究了離散多智能體系統(tǒng)在固定有向拓撲結(jié)構(gòu)中的分布式編隊控制。在考慮二階多智能體系統(tǒng)時，與一階多智能體系統(tǒng)有所不同，單個智能體的動力學模型不僅與位置有關(guān)，還與速度有關(guān)。文獻[9]研究二階動力系統(tǒng)的一致性問題，提出簡單的二階一致性協(xié)議，實現(xiàn)了多智能體系統(tǒng)的編隊控制。文獻[10]實現(xiàn)了二階多智能體系統(tǒng)的環(huán)形編隊控制研究。文獻[11]研究了多智能體的自適應算法。但在實際的應用過程中，多智能體系統(tǒng)具有非線性動力學特性[12-13]，因此，研究非線性多智能體系統(tǒng)的編隊控制十分必要。文獻[14]對含有非線性特性的二階多智能體系統(tǒng)，給出了一致性控制的研究。本文基于一致性協(xié)議，研究二階多智能體系統(tǒng)的編隊控制問題。

1 分析工具

1.1 圖論知識

代數(shù)圖論為重要的研究工具，將多智能體系統(tǒng)中的每個智能體看作一個質(zhì)點，它們之間的關(guān)系可以用圖論的方式描述。

令 G（Q，E，A）為有向圖，其中 Q={q1，q2，…，qn}表示n個節(jié)點的集合，E∈Q×Q表示有向邊的集合，A表示鄰接矩陣。記eij=（qi，qj）∈E為有向邊，qi為邊的父節(jié)點，qj為邊的子節(jié)點，邊的方向為由qi到qj。通常用鄰接矩陣來描述各節(jié)點之間的關(guān)系，鄰接矩陣為：

式中：如果第j個節(jié)點能接收到來自第i個節(jié)點的相關(guān)信息，則aij＞0，?i≠j。aij為邊（qi，qj）的權(quán)值。否則，aij=0，而對角線上的元素aii=0，則說明該有向圖中不含有閉自環(huán)。在圖中，節(jié)點qi的入度用degin（qi）表示，出度用degout（qi）表示。

圖的Laplacian矩陣用另外一種方式描述了所對應的圖的所有信息，定義如下：

式中：D為圖G的入度矩陣，D=diag（degin（q1），degin（q2），degin（qn））；A為鄰接矩陣。

1.2 相關(guān)數(shù)學工具

矩陣的Kronecker積是一種重要的矩陣乘積，在矩陣理論的研究中具有廣泛應用，同時也是在研究控制系統(tǒng)理論時的重要數(shù)學工具。

定義 1[15]設 A=[aij]∈Rm×n，B=[bij]∈Rp×q，則分塊矩陣

稱為矩陣A與矩陣B的Kronecker積，記為A?B。

下面介紹本文用到的相關(guān)引理：

引理1[16]（Schur補引理）給定的對稱矩陣S=以下2個條件為等價的：

引理2[17]對于任意的常向量a，b∈Rn和正定矩陣Φ∈Rn×n，以下不等式成立：

2 問題描述與分析

2.1 系統(tǒng)描述

本文所研究的多智能體系統(tǒng)是由1個領導者和n個跟隨者組成的。領導者用0來標記，跟隨者用1，2，…，n來標記。

假設所考慮的跟隨者智能體的動態(tài)模型為：

式中：xi（t）∈Rm為第i個智能體的位置向量；vi（t）∈Rm為速度向量；ui（t）∈Rm為控制輸入；f：Rm×R→Rm為連續(xù)可微的函數(shù)向量。

領導者智能體的動態(tài)模型為：

式中：x0（t）∈Rm為領導者的位置向量；v0（t）∈Rm為速度向量。

假設1非線性動態(tài)f（vi（t），t）（i∈{0，1，2，…，n}）是連續(xù)可微的函數(shù)向量，存在非負常數(shù)ρ，對于任意的t≥0滿足下列條件：

定義2為多智能體系統(tǒng)領導-跟隨編隊控制問題可解的定義。

定義2考慮所給出的多智能體系統(tǒng)，在任意的初始狀態(tài)xi（0），vi（0）下，領導者和跟隨者的位置和速度應該滿足下列要求：

式中：hi∈Rm為第i個智能體與領導者之間期望的隊形常向量。

根據(jù)所給出的多智能體系統(tǒng)，控制器設計如下：

式中：Ni為第i個智能體在圖G中的鄰居集合；k＞0為速度增益；hi為第i個智能體與領導者之間期望的隊形向量；hj為第j個智能體與領導者之間期望的隊形向量；aij＞0為第i個智能體與第j個智能體的連接權(quán)值；bi為第i個智能體與領導者之間的連接權(quán)值，分別定義為：

將式（10）代入系統(tǒng)（5）中，得：

通過Kronecker積，可以把誤差系統(tǒng)（14）轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

式中：L為圖G的Laplacian矩陣；B為跟隨者與領導者之間的連接矩陣，記作 L=diag（b1，b2，…，bn）。

2.2 主要結(jié)果

定理1針對具有非線性特性的多智能體系統(tǒng)，對于給定的正常數(shù)ρ，存在適當維數(shù)的正定矩陣P，R滿足下列的線性矩陣不等式：

證明選取Lyapunov函數(shù)

對 V（t）沿著系統(tǒng)（15）求導，可得：

將式（21）代入式（20）中，可以得到：

又由假設1可以得到：

將式（23）代入式（22），可以得到：

3 數(shù)值仿真

3.1 仿真例子

例1考慮該多智能體系統(tǒng)由4個跟隨者與1個領導者智能體所組成，智能體之間的拓撲結(jié)構(gòu)關(guān)系如圖1所示。

圖1 智能體拓撲結(jié)構(gòu)

假設智能體之間的連接權(quán)值為0或1，則跟隨者之間所對應的Laplacian矩陣為：

跟隨者與領導者之間的連接矩陣為：

假設多智能體系統(tǒng)是在二維平面上的系統(tǒng)，且非線性動態(tài)為：

由假設1可得ρ=0.2，期望的隊形向量分別為：

令k=2，通過Matlab中的LMI工具箱，可以求解定理1中的線性矩陣不等式（18），求得可行解為：

3.2 仿真結(jié)果

通過仿真圖來描述多智能體的狀態(tài)軌跡及位置誤差和速度誤差的變化趨勢，智能體的狀態(tài)軌跡如圖2所示，位置誤差狀態(tài)軌跡如圖3所示，智能位置誤差狀態(tài)軌跡如圖4所示，速度誤差狀態(tài)軌跡如圖5所示，智能體的速度誤差狀態(tài)軌跡如圖6所示。

圖2 智能體的狀態(tài)軌跡

圖3 智能體的位置誤差i1狀態(tài)軌跡

圖4 智能體的位置誤差ˉi2狀態(tài)軌跡

圖5 智能體的速度誤差ˉi1狀態(tài)軌跡

圖6 智能體的速度誤差ˉi2狀態(tài)軌跡

從圖2中觀察4個智能體與領導者的運動軌跡，可以發(fā)現(xiàn)智能體能夠達到所期望的隊形；從圖3和圖4這兩個圖中可以看出在二維平面下，多智能體系統(tǒng)的位置誤差在隨著時間的變化最終都會趨近于零，即跟隨者與領導者的位置可以達到一致；從圖5和圖6可以看出在經(jīng)過一段時間后，多智能體系統(tǒng)的速度誤差會趨于零，即跟隨者的速度可以滿足領導者的速度，多智能體系統(tǒng)達到穩(wěn)定的狀態(tài)，也就是說多智能體系統(tǒng)既能夠滿足期望的隊形，跟隨者又能夠與領導者的速度達到一致。因此，證明了所得理論的有效性。

4 結(jié)語

本文研究了二階多智能體系統(tǒng)的編隊控制，在具有非線性動態(tài)特性的情況下，設計了合適的分布式編隊控制協(xié)議，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和基于線性矩陣不等式的方法對控制協(xié)議進行穩(wěn)定性分析，得出多智能體系統(tǒng)能夠按照所期望的隊形運動，而且位置誤差和速度誤差在經(jīng)過一段時間后趨于零，達到穩(wěn)定狀態(tài)，通過數(shù)值仿真實例驗證了所得結(jié)論的有效性，即多智能體系統(tǒng)不僅能夠得到所期望的隊形，而且跟隨者的速度和領導者智能體的速度能夠達到一致。