夏永紅，匡華星，姚　遠，丁　春

(中國船舶重工集團公司第七二四研究所，南京 211153)

0　引　言

目標跟蹤濾波是主動雷達數(shù)據(jù)處理中最為重要的環(huán)節(jié)。Kalman濾波算法具有收斂速度快、存儲量小等優(yōu)點，是目前廣泛應(yīng)用于雷達跟蹤系統(tǒng)中的一種自適應(yīng)濾波算法。[1-2]現(xiàn)有針對Kalman濾波器跟蹤性能的研究工作大多關(guān)注如何提高其跟蹤精度或運算速度，如擴展Kalman濾波算法[3-4]、針對機動目標跟蹤改進的Kalman濾波算法等[5-10]，而對于基于Kalman濾波的雷達目標跟蹤持續(xù)時間分析較少。

本文首先描述實際工程應(yīng)用中雷達目標航跡維持或終止的物理過程，提出一種目標航跡平均跟蹤周期數(shù)計算方法，并對兩坐標雷達Kalman濾波跟蹤性能進行了分析和仿真。仿真結(jié)果表明，影響目標航跡平均跟蹤周期數(shù)的主要因素包括點跡級目標檢測概率、虛警概率、雷達測量精度、數(shù)據(jù)周期以及探測距離。本文的研究成果可為復雜背景下目標跟蹤濾波算法流程和參數(shù)優(yōu)化設(shè)計提供理論支撐。

1　跟蹤持續(xù)時間計算

1.1　數(shù)學模型假定

主動雷達目標跟蹤持續(xù)時間取決于關(guān)聯(lián)波門與測量結(jié)果的關(guān)系，即波門內(nèi)是否存在真實量測、虛假量測數(shù)量或密度、預測位置與波門內(nèi)所有測量結(jié)果的幾何關(guān)系等。大量仿真研究和試驗結(jié)果分析表明，在跟蹤過程中如果目標回波被成功檢測提取，即波門內(nèi)有真實目標點跡存在，則幾乎不會出現(xiàn)航跡跟蹤丟失情況。因此，目標航跡持續(xù)時間的計算可進行如下物理描述：

(1) 假設(shè)在目標跟蹤過程中，如該周期有目標檢測點跡存在則目標點跡位于關(guān)聯(lián)波門之內(nèi)。

(2) 如果該周期有目標點跡存在，無論關(guān)聯(lián)波門內(nèi)是否存在虛假點跡，均認為該周期點航跡能夠成功關(guān)聯(lián)，目標航跡延續(xù)。

(3) 如果該周期沒有檢測到目標點跡，且關(guān)聯(lián)波門內(nèi)也沒有虛假點跡存在，則航跡外推，目標航跡延續(xù)。對于由于目標點跡級檢測概率低、航跡連續(xù)多周期未關(guān)聯(lián)更新導致航跡消失的情況本文不予考慮。

(4) 如果該周期沒有檢測到目標點跡，且關(guān)聯(lián)波門內(nèi)存在虛假點跡，則目標航跡在該周期終止。

(5) 以上所述的周期是指雷達當前工作模式下設(shè)定的數(shù)據(jù)周期。

1.2　航跡持續(xù)時間計算

根據(jù)前文所述，目標航跡在當前周期能夠延續(xù)的條件是關(guān)聯(lián)波門內(nèi)有目標點跡存在或目標點跡與虛假點跡均不存在，目標航跡終止的條件是當前周期關(guān)聯(lián)波門內(nèi)沒有目標點跡存在且有虛假點跡存在。設(shè)目標點跡級檢測概率為PD且各周期檢測結(jié)果相互獨立，同時假設(shè)關(guān)聯(lián)波門內(nèi)有虛假點跡存在的概率為Pf且各周期相互獨立，則目標航跡持續(xù)跟蹤周期數(shù)概率分布如表1所示。

表1　目標航跡跟蹤周期數(shù)概率分布

表1中，X表示觀測周期；p表示航跡在第X周期終止的概率；Pf=1-(1-Pf_plot)Nres≈Nres×Pf_plot(Pf_plot較小時成立)，Pf_plot為點跡級虛警概率，定義為每個檢測凝聚分辨單元形成虛假點跡的概率，Nres為關(guān)聯(lián)波門內(nèi)檢測凝聚分辨單元個數(shù)(向上取整)。檢測凝聚分辨單元是指點跡提取過程中能夠滿足點跡凝聚準則所要求的最小單元大小，根據(jù)雷達分辨力確定。在實際應(yīng)用中，點跡級虛警概率可以近似為一定區(qū)域范圍內(nèi)虛假點跡個數(shù)與分辨單元個數(shù)之比。

目標航跡平均跟蹤周期數(shù)為

(1)

目標航跡持續(xù)時間定義為

(2)

其中T為當前數(shù)據(jù)周期。

可以看出，在檢測凝聚分辨單元大小、目標點跡級檢測概率和虛警概率確定的前提下，目標航跡跟蹤周期數(shù)僅取決于關(guān)聯(lián)波門的大小，而關(guān)聯(lián)波門則是在Kalman濾波遞推迭代過程中動態(tài)地計算和調(diào)整。

2　Kalman濾波跟蹤波門計算

2.1　Kalman濾波算法簡介

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

X(k+1)=F(k)X(k)+Γ(k)v(k)

(3)

式中，X(k)為狀態(tài)向量；F(k)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γ(k)為系統(tǒng)過程噪聲輸入矩陣；v(k)為系統(tǒng)過程噪聲，假定為零均值高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Q(k)。

系統(tǒng)量測方程為

Z(k)=H(k)X(k)+W(k)

(4)

式中，Z(k)為量測值；H(k)為量測矩陣；W(k)為量測噪聲，也假定為零均值高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為R(k)。

步驟2預測協(xié)方差矩陣P(k+1|k)=F(k)P(k|k)FH(k)+Γ(k)Q(k)ΓH(k)；

步驟4新息協(xié)方差矩陣S(k+1)=H(k+1)P(k+1|k)HH(k+1)+R(k+1)；

步驟5Kalman濾波增益K(k+1)=P(k+1|k)HH(k+1)S-1(k+1)；

步驟7預測協(xié)方差矩陣更新P(k+1|k+1)=[I-K(k+1)H(k+1)]P(k+1|k)。

預測協(xié)方差矩陣和新息協(xié)方差矩陣均為對稱陣。前者用于衡量預測的不確定性，值越小說明預測越精確；后者用于衡量新息的不確定性，值越小說明量測值越精確。

2.2　關(guān)聯(lián)波門大小計算

為了便于跟蹤濾波過程中的運動狀態(tài)外推，目標在空間中的運動狀態(tài)一般采用直角坐標系進行描述。此時常用的關(guān)聯(lián)波門為矩形波門，當預測誤差滿足

(5)

(6)

(7)

計算直角坐標系下量測的期望為

(8)

(9)

偏差修正后，其方差和互協(xié)方差分別為

(10)

(11)

(12)

對于采用扇形關(guān)聯(lián)波門和圓形關(guān)聯(lián)波門的Kalman濾波算法也可以采用本文方法計算目標航跡跟蹤時間。

3　仿真分析

以勻速模型為例，狀態(tài)向量為X(k)=[x(k)vx(k)y(k)vy(k)]T，觀測向量為Z(k)=[zx(k)zy(k)]T，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、過程噪聲輸入矩陣和量測矩陣分別為

(13)

量測噪聲協(xié)方差矩陣為

(14)

狀態(tài)向量和預測協(xié)方差矩陣初始化為

(16)

固定方位45°，仿真計算不同數(shù)據(jù)周期不同作用距離時矩形關(guān)聯(lián)波門大小，統(tǒng)計如表2所示。從表中可以看出，距離越遠關(guān)聯(lián)波門越大，周期越長關(guān)聯(lián)波門越大。

數(shù)據(jù)周期距離50 km距離100 km距離150 km距離200 km距離250 km2 s1 520 m×1 520 m2 820 m×2 820 m4 130 m×4 130 m5 450 m×5 450 m6 780 m×6 780 m4 s1 680 m×1 680 m3 000 m×3 000 m4 350 m×4 350 m5 700 m×5 700 m7 030 m×7 030 m6 s1 850 m×1 850 m3 200 m×3 200 m4 580 m×4 580 m5 950 m×5 950 m7 320 m×7 320 m8 s2 030 m×2 030 m3 420 m×3 420 m4 830 m×4 830 m6 230 m×6 230 m7 620 m×7 620 m10 s2 230 m×2 230 m3 660 m×3 660 m5 090 m×5 090 m6 520 m×6 520 m7 930 m×7 930 m12 s2 450 m×2 450 m3 910 m×3 910 m5 370 m×5 370 m6 820 m×6 820 m8 260 m×8 260 m

以4 s數(shù)據(jù)周期、距離100 km、方位45°、方位測量誤差標準差0.3°為例，關(guān)聯(lián)波門大小為Sxy=3 000 m×3 000 m，檢測凝聚分辨單元設(shè)置為200 m×1.5°，計算關(guān)聯(lián)波門內(nèi)檢測凝聚分辨單元個數(shù)為Nres=[Sxy/(200 m×1.5°×π/180°×100×103m)]=18，設(shè)置點跡級虛警率為Pf_plot∈[10-3,10-2]，不同點跡級檢測概率下目標航跡平均跟蹤周期數(shù)隨點跡級虛警概率變化曲線如圖2(a)所示。從圖中可以看出，虛警概率越高，目標航跡平均跟蹤周期數(shù)越小；目標檢測概率越高，平均跟蹤周期數(shù)越大。

以距離100 km、點跡級虛警概率Pf_plot=10-3為例，在其他參數(shù)不變的情況下，目標航跡平均跟蹤周期數(shù)隨數(shù)據(jù)周期變化曲線如圖2(b)所示。從圖中可以看出，隨著數(shù)據(jù)周期增加，關(guān)聯(lián)波門變大，波門內(nèi)出現(xiàn)虛假的概率增加，航跡被虛假帶偏從而跟丟的概率增加，平均跟蹤周期數(shù)減少。

假設(shè)檢測概率不隨距離增加而變化，在4 s數(shù)據(jù)周期、點跡級虛警概率Pf_plot=10-3時，跟蹤周期數(shù)隨距離變化曲線如圖3(a)所示。假定目標由近向遠運動時，檢測概率和虛警概率逐漸減小，從50 km運動到100 km，點跡級檢測概率從0.9減小到0.7，點跡級虛警概率從10-3減小到0.7×10-3。此時跟蹤周期數(shù)變化曲線如圖3(b)所示。

4　結(jié)束語

本文在設(shè)定雷達目標跟蹤過程中航跡維持或終止的條件下提出了一種目標跟蹤周期數(shù)的近似評估方法，并對基于兩坐標雷達勻速目標運動模型的Kalman濾波器跟蹤性能進行了分析。仿真結(jié)果表明，在雷達數(shù)據(jù)周期和探測距離確定的情況下，目標航跡平均跟蹤周期數(shù)主要取決于點跡級目標檢測概率、虛警概率和雷達方位測量精度。檢測概率越高，平均跟蹤周期數(shù)越大；虛警概率越低，平均跟蹤周期數(shù)越大；雷達精度越高，平均跟蹤周期數(shù)越大。本文提出的基于Kalman濾波的目標跟蹤周期數(shù)計算方法可為復雜背景下目標跟蹤濾波算法參數(shù)優(yōu)化提供理論支撐，對于兩坐標雷達目標跟蹤加速運動模型和三坐標雷達目標跟蹤周期數(shù)的計算也可以采用本文的思路和方法進行分析。