王東明

(皖西學院 金融與數(shù)學學院，安徽 六安 237012)

高等幾何是師范類數(shù)學專業(yè)的一門重要課程，在培養(yǎng)人才方面的作用是不容置疑的[1].然而，學生對這門課的印象是：比較抽象、枯燥.特別是在一些基本概念的認識和理解上有一定困難.高等幾何中的作圖向來是幾何教學的重點內容與幾何學習的重要方法，在幾何教學中一直發(fā)揮著不可替代的作用.高等幾何的大部分內容都和一些很有特色的作圖問題有關.可以說，作圖問題涉及高等幾何課程的幾乎所有內容，從作圖問題入手來主導高等幾何課程教學改革，能夠取得事半功倍的教學成效.本文列舉了多種類型的幾何作圖問題，并指出了它們在高等幾何課程教學中所發(fā)揮的不同作用，從而為高等幾何課程的教學改革提供一點啟示.

1 以作圖問題激發(fā)學生學習興趣，讓學生帶著問題去學習

疑問、矛盾、問題是思維的“啟發(fā)劑”，它能使學生的求知欲從潛伏狀態(tài)轉入活躍狀態(tài)，有力于調動學生思維的積極性和主動性，是開啟學生思維器官的金鑰匙.但是創(chuàng)設問題一定要跟學生的固有知識結構相聯(lián)系，要在學生原有的知識體系上進行提升和發(fā)展.以下的這個問題，都是建立在學生已經(jīng)有了平面幾何與解析幾何的基礎知識之上的.作圖問題以其簡潔明了、直觀形象的特點，在激發(fā)人們的興趣和求知欲上面發(fā)揮著獨特的魅力.

圖1 直線與橢圓相交

以下的三個作圖問題，表面上都很淺顯易懂，直觀明了，學生一看就會理解問題本身的要求，從而產(chǎn)生濃厚的興趣.所以在介紹完高等幾何的歷史、現(xiàn)狀和主要內容之后，給即將要學習高等幾何的同學們留下這樣的3個幾何作圖問題就很合適.

問題1[2]給定橢圓E的長軸AA′和短軸BB′如圖1，試作出已知直線l和橢圓E的交點.

問題2已知四條直線a,b,c,d，如圖2，設a與b交于點P，c與d交于點Q，要求在不作出點P和Q的情況下作出過P,Q的直線l.

問題3[3]作與三個已知圓都相切的圓(如圖3).

解說學生在得到問題1時的思維過程是：怎樣利用橢圓的兩個軸來作出橢圓？如果有了這個橢圓E，那么直線l和橢圓E的交點就沒問題了.雖然利用幾何畫板可以在很多不同的條件下作出橢圓[4]，但是如果規(guī)定只能是尺規(guī)作圖的話，則有點小困難.問題1的解決如果用到了仿射幾何的知識，就比較容易，大約在第三次課就能為同學們講解答案.這個作圖問題的有趣之處就在于，在沒有橢圓E的條件下能得到直線l和E的交點.這個問題可激發(fā)學生對高等幾何的初期學習興趣.

問題2是一個比較難的問題，需要同學們對笛沙格定理掌握得比較熟練才能整理出思路.同學們對問題2的興趣是“要求不作出點P和點Q”，這種附加條件很有挑戰(zhàn)性，同時又比較有實際意義：由于實際問題的復雜性，可能無法得到理想的直線a,b，從而想得到它們的交點P就受到了時間或空間的限制，但又要提前得到過P的直線，怎么辦？這個問題能提升學生對高等幾何的中長期學習興趣.

圖2 作直線PQ

問題3是著名的阿波羅尼奧斯問題(Apollonius’ Problem)的最后一問，具有深厚的歷史既視感，能激發(fā)學生對高等幾何的長期興趣.問題3的解決要用到一種特殊的射影變換——反演變換，而且要分多種情況討論，適合學生自己查閱相關的資料，做研究性學習.

2 用作圖問題來引出相關知識教學

圖3 阿波羅尼奧斯問題

知識點的教學歷來是教學的重點，學生不掌握一定數(shù)量的概念和知識點就不能形成知識結構和知識體系，在這之上的邏輯思考和靈活運用也就無從談起了.然而，傳統(tǒng)的知識點的教學采用的羅列式、填鴨式的方法比較枯燥乏味，沒有貫徹學以致用的思想，容易讓學生產(chǎn)生困惑和厭倦的情緒.所教的知識也不容易形成體系，不容易被學生記住和理解.例如，如果我們只是教授什么是二次曲線，什么是極點、極線，什么是調和共軛等知識點，學生則會被搞得云里霧里不知所云：我們?yōu)槭裁匆涀∵@些人為的規(guī)定，這些東西相互之間有沒有什么聯(lián)系，能幫助我們干什么.

高等幾何中的幾乎所有知識點都和一定的作圖問題相關，可以借助作圖問題來引出相應知識點，來幫助學生鞏固所學知識.先讓學生思考相應的作圖問題，學生就會產(chǎn)生要解決這些問題的沖動，并且總是有種躍躍欲試的感覺.但是，如果沒有相應的概念和知識點還是無從下手.這時候教給學生相應的知識和方法是非常有效的，能立竿見影，學生就不再困惑，能夠立刻學以致用，既解決了老師提出的作圖問題，又學會了相應的知識和方法.這方面的作圖題較多，限于篇幅，這里也僅舉3個例子：

問題4已知平面仿射變換的三對對應點A,B,C與A′,B′,C′(都不共線)，作出平面上任何一點D的像點D′.

解說這個作圖問題既可以用來引出平面仿射基本定理的教學，也可以用來檢驗學生對平面仿射基本定理的掌握程度.同樣，對于平面到自身的射影變換的基本定理的教學，可以給定平面上無任意三點共線的成射影對應的四對對應點，然后要求作出第五點的像點.

問題5已知直線l上的三點A,B,C，在此直線上作出點D，使得交比(AB,CD)=-1.

解說本問題本來可以用交比和簡比的定義解決，但是這個作圖題用來引出完全四點形的教學是最合適不過了.只要跟同學們提到：這個問題在學習了完全四點形的調和性質之后將有一個全新的、非常簡潔的解答，同學們就會對這個作圖問題和完全四點形的調和性質產(chǎn)生興趣.

問題6已知二次曲線Γ及其外一點P，作出Γ的過點P的切線.

解說此問題可以引出關于二次曲線的極點和極線的教學.另外，問題1也可以引入仿射變換的教學，問題2也可以用來引出笛沙格定理的教學，下面的問題8可以引出Pascal定理的教學，等等.

3 結合幾何畫板，用作圖練習來鍛煉學生的動手能力

“有效的數(shù)學學習活動，不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方法，教師應幫助他們在自主探索和交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學體驗[5].”

幾何畫板是一個動態(tài)幾何的研究設計工具，可以幫助學生在動態(tài)中去觀察、探索和發(fā)現(xiàn)對象之間的數(shù)量變化關系與結構關系，是一種新型有效的教學工具，使學生從“聽數(shù)學”轉變?yōu)椤白鰯?shù)學”，是加強傳統(tǒng)教學、優(yōu)化教學過程、提高課堂教學效率和學生培養(yǎng)質量的重要手段，是計算機輔助教學( CAI )中的一種新型的教學技術[6].

其實，所有的作圖問題都能鍛煉學生的動手能力.但是常規(guī)的紙上作圖費時費力，效率低下，對鍛煉學生的動手能力效果有限.這里借助幾何畫板的好處則是顯而易見的，可以節(jié)省時間、提高效率，并讓學生熟悉簡單的電腦操作.特別是幾何畫板作出的結果可以是動態(tài)的，這樣就可以在作圖的過程中隨時調整已經(jīng)作成的圖形.例如，作到第三條直線的時候可能發(fā)現(xiàn)前兩條直線的位置不合適，這時候如果是在紙上畫圖的話就必需擦掉前兩條直線從頭再來，而且從頭再來也不能保證再次畫出來的東西就是正好在合理滿意的位置上.而用幾何畫板就不存在這個問題了，你只要隨時把前兩條直線的位置做一個調整，一直調整到滿意為止.另外，這個滿意本身就是相對的動態(tài)的，可能到了第四步作圖又發(fā)現(xiàn)前兩步不滿意了，那還可以繼續(xù)調整.總之，結合幾何畫板作圖能讓學生在“動”的過程中提升興趣、獲得成就感.如果再利用幾何畫板的軌跡功能，還可以作出一些以往用傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖在紙上所不可能完成的作圖問題.

問題7已知一維射影對應a→a′的三對對應點A,B,C∈a，A′,B′,C′∈a′，作出第四點D∈a的像點D′.

解說本問題可以在教授一維射影幾何的基本定理時給出.一維射影幾何的基本定理說：三對對應點決定了一個直線到直線的射影對應.于是問題就來了：既然這個一維射影對應由三對對應點唯一決定，那么在給定三對對應點的條件下怎樣得到其余點的像點或原像點就很值得思考了.在本問題的結束還可以預告一下二級曲線的射影定義：射影對應點列對應點的連線的全體構成一條二級曲線.如果這個射影對應是透視對應的話，同學們已經(jīng)知道了對應點的連線是交于一點的，而且這點當時還稱為透視中心；如果這個射影對應不是透視的，則像點與原像點的連線就再共點了，這時候像點與原像點的連線的全體就可以用幾何畫板的跟蹤功能顯示出來.當學生們看到變動的直線DD′所生成的曲線是一個橢圓或雙曲線或拋物線的時候所產(chǎn)生的震撼是不可估量的.

問題8已知二次曲線上的五個點，作出其余的任一點.

解說此作圖題是源于二次曲線方面的一個定理：平面上任意三點不共線的五個點確定一條二次曲線.那么現(xiàn)在給你五個點，這個二次曲線不就確定了嗎？怎樣作出這條二次曲線上其它的點自然就成了一個問題了.這個問題的解決要用到關于二次曲線的Pascal定理，可以在教完Pascal定理之后由學生自己動手解決.這樣既能鞏固所學的知識，又能鍛煉學生的動手能力，同時還能激發(fā)學生的學習興趣.

問題9已知三角形ABC，作出其外接橢圓中面積最小的一個[7].

解說這是一個綜合的問題，來自《100個著名初等數(shù)學問題》的第98個.這個問題可以這么引導學生思考：假如三角形ABC是正三角形，讓學生證明這時候其外接圓是所有外接二次曲線中所圍面積最小的一個.然后把正三角形和一般三角形之間所相差的一個仿射關系畫出來，問題就解決了.原因是仿射變換保持圖形的面積比不變.當然，本文所說的作出二次曲線，都是指能作出二次曲線上的任意一個點(除圓以外)，要想作出整個二次曲線，還要用到幾何畫板的軌跡功能.

4 作圖問題的一題多解能夠強化知識之間的聯(lián)系

學習是一個系統(tǒng)工程，掌握知識之間的聯(lián)系與掌握知識本身同等重要.理解和掌握知識之間的聯(lián)系，可以有效幫助學生建立知識架構，使得所學的內容形成一個整體.否則，學生對一門課的感覺就是支離破碎的、不易把握.而一題多解則是解決這一問題的有效途徑.同樣一個問題，方法不同所用到的理論不同.但能殊途同歸地解決一個問題，這本身就會給人留下深刻的印象：這些理論和知識之間肯定具有某種關系.例如，前面的問題5，如果能用3種方法作出直線上已知三點的第四調和共軛點，則把圓的切割弦定理、交比的定義和性質以及完全四點形的調和性質聯(lián)系起來了.因此，教師要幫助學生有意識地加強理解和思考各個知識點之間的聯(lián)系.這里僅舉兩例：

問題10已知A1,A2,B1,B2為一直線上的四點，在此直線上求作兩點C1,C2，使得兩個交比(A1A2,C1C2)與(B1B2,C1C2)同時為-1.

解說要求交比為-1并不難，但是同時要求兩個交比都為-1就比較有難度.本題表面上看不到任何對合的影子，但是如果沒有想到對合對應方面的知識就很難找到突破口.這其實要求學生能在知識點的聯(lián)系上有深度認知，能從調和比想到高等幾何中所有與調和比有關的內容.本題既可以用共軸圓來解決，也可以用笛沙格對合定理來做，還能想到其對偶問題和完全四點形的調和性質.這些思路綜合起來，就從不同角度加深了學生對知識之間聯(lián)系的程度.

問題11已知二次曲線上的三個點A,B,C和兩條切線a,b，求作此二次曲線上其余的點.

解說這是一個系列性的問題，從五點確定一條二次曲線想到并不一定要剛好五個點，也可以是四個點加一條切線，也可能是三個點加兩條切線，等等.反正是給定五個條件確定了二次曲線的五個自由度就可以了，那么此二次曲線上的其余的點和切線就確定了.怎樣作出這些點或切線自然也就成為我們的問題了.

本文的所有例子幾乎都有一定的綜合性，都能在一定程度上幫助學生理解相關知識點之間的聯(lián)系.特別是前面的問題5，可以有多種完全不同的思路和方法，所用到的知識表面上有很大區(qū)別，但它們之間還有更多的聯(lián)系.

5 通過作圖問題鍛煉學生思維的嚴密性

嚴密性是數(shù)學學科的重要特點之一，鍛煉思維的嚴密性是學習數(shù)學的出發(fā)點，是數(shù)學教育的首要任務.雖然有時候受到學生所學內容的限制，還不能做到完美和極致，但是至少要讓學生知道：這個地方以后還大有文章可做.

問題12已知二次曲線Γ及其上一點P，作出以P為切點的曲線Γ的切線.

解說很多同學在作二次曲線(包括圓)的切線的時候，只是拿著尺子比劃出好像是相切的位置就把切線給畫出來了，但這是很不合理的，沒有任何理由說明這就是切線.如果這么做久了，學生就會把這種想當然的做法和思維遷移到別的地方，這將造成不可估量的壞影響.我們借助這個問題說明很多以前習以為常的事情，以后都得三思而后行，每一步都要有充分的理由才能進行下去.

6 用附加限制的幾何作圖問題提升學生的發(fā)展?jié)摿Γl(fā)掘學生的創(chuàng)新能力

幾何作圖的問題本身就是在只用直尺和圓規(guī)的限制下來解決問題，那么是否可以進一步限制只用直尺或只用圓規(guī)來作圖呢？這種有額外附加條件的作圖問題對學生和老師處理問題和解決問題的能力提出了更高的要求，并且要求有寬廣的知識面，能結合各方面的資源突破限制，特別能考驗一個人的創(chuàng)新能力.沒有創(chuàng)新的意識就不大可能有創(chuàng)新的能力，能力不是天生的，都是有意識地培養(yǎng)出來的.另外，現(xiàn)實世界的任何結論都是有附加條件的，例如我們的問題都是已知什么，證明什么或者計算什么.其實，這個已知就是限制條件，要充分地利用這些已知的限制條件才能作出更加符合要求的結論.當然，有些問題已經(jīng)被研究得很清楚了，這里提出兩個問題也只是用來拓展學生的視野、激發(fā)學生的發(fā)展?jié)摿蛦⒌蠈W生的創(chuàng)新意識.

問題13已知直線a,b平行，P為其外一點，只用直尺作出過點P的直線a,b的平行線.

解說本題要用到笛沙格定理.學生如果對笛沙格定理很熟練，這個問題應該能被解決的.

問題14已知兩點A,B，只用圓規(guī)作出線段AB的中點C.

解說本題其實是基于這樣一個結論：能用直尺和圓規(guī)完成的幾何作圖問題可以只用圓規(guī)完成.本問題有一定的難度，要求能深刻理解圓規(guī)作圖的本質并有很強的動手動腦能力.

[1] 周俊東,黃映雪,湯忠斌.卓越教師人才培養(yǎng)視閾下高等幾何課程的作用研究[J].中國市場,2016(28):197，203.

[2] 朱德祥，朱維宗.高等幾何[M].2版.北京：高等教育出版社，2007.

[3] Gisch D,Ribando J M.Apollonius’ Problem:A Study of Solutions and Their Connections[J].American Journal of Undergraduate Research,2004，3(1)：15-25.

[4] 楊永良,孔德宏.幾何畫板條件下橢圓的25種典型作法[J].楚雄師范學院學報,2016(6):5-14.

[5] 郭飛，周興和.《高等幾何》“立體式”教學模式的探索[J].數(shù)學教育學報，2008(6):75-77.

[6] 王繼順,周明旺.利用幾何畫板優(yōu)化高等幾何課堂教學的研究[J].懷化學院學報,2008(11):130-133.

[7] H Dǎrrie.100個著名初等數(shù)學問題——歷史和解[M].羅保華譯.上海：上?？茖W技術出版社，1982.