曹 瑜，張玉娟*，呂 謙

(1.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，遼寧 鞍山114007；2.鞍山市第三中學(xué)，遼寧 鞍山 114012)

在中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解題與對(duì)習(xí)題的反思是其中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié).學(xué)生通過(guò)解題，鞏固所習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)，訓(xùn)練自身的數(shù)學(xué)思維能力；通過(guò)對(duì)習(xí)題進(jìn)行反思整理，學(xué)生可以對(duì)解題的思路進(jìn)行重新整合，不斷鍛煉解題能力，提升數(shù)學(xué)水平.因此，在教師教學(xué)的過(guò)程中，往往重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)解題后的整理與反思.對(duì)于常見(jiàn)的錯(cuò)誤，有經(jīng)驗(yàn)的教師會(huì)在課堂教學(xué)中有針對(duì)性地進(jìn)行講解與分析，以避免學(xué)生再次出現(xiàn)該類錯(cuò)誤.而對(duì)學(xué)生解題時(shí)還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，有的教師將其簡(jiǎn)單歸咎于粗心大意或者知識(shí)點(diǎn)掌握不足.這導(dǎo)致教師在講解習(xí)題時(shí)，直接重復(fù)正確答案，忽略學(xué)生真正的出錯(cuò)點(diǎn)；學(xué)生在聽(tīng)課時(shí)不能找到自己出現(xiàn)錯(cuò)誤的本質(zhì)原因，從而在一節(jié)習(xí)題課后依舊對(duì)問(wèn)題存疑，無(wú)法正確地進(jìn)行解題，使這種錯(cuò)誤不斷出現(xiàn).教師認(rèn)為自己講清楚了，但學(xué)生依舊什么也沒(méi)有聽(tīng)懂，不能起到習(xí)題課的真正作用.造成這種現(xiàn)象的真正原因是教師不能充分地重視學(xué)生出錯(cuò)的原因，成功解題除了依賴于智力品質(zhì)和充足的知識(shí)儲(chǔ)備外，學(xué)生本身的心理因素往往起到更大的作用.在同樣的課堂教學(xué)中，基礎(chǔ)水平相當(dāng)?shù)膶W(xué)生在解題上也會(huì)出現(xiàn)較大的差異，此時(shí)錯(cuò)誤的出現(xiàn)與心理因素密切相關(guān).因此，教師分析學(xué)生解題的心理性錯(cuò)誤[1～5]，對(duì)于提高教學(xué)效率、改進(jìn)教學(xué)策略有重要意義.

1 心理能力不足

心理能力即人們從事心理活動(dòng)所需要的能力.高中生解題過(guò)程中常因心理能力的限制導(dǎo)致在識(shí)別題目、對(duì)習(xí)題的信息加工及短期的工作記憶等方面出現(xiàn)錯(cuò)誤.識(shí)別能力是指學(xué)生接觸到題目之后，將問(wèn)題模式與大腦中已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，找出求解的方法.高中生常常對(duì)面對(duì)的問(wèn)題感到茫然無(wú)措，百無(wú)頭緒，這就是識(shí)別能力不足，無(wú)法將問(wèn)題與知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)接.識(shí)別方面常見(jiàn)的典型錯(cuò)誤為學(xué)生對(duì)已做過(guò)多次的習(xí)題無(wú)法再次識(shí)別辨認(rèn)，對(duì)于解題過(guò)程中用到的公式感到陌生等.

分析學(xué)生采用換元的方法嘗試，但所得結(jié)果無(wú)法進(jìn)行進(jìn)一步的處理.這是屬于識(shí)別能力缺乏的錯(cuò)誤.

正解b2=2-2a2，則

即

解題過(guò)程中的記憶能力的不足主要是工作記憶能力不足.在此過(guò)程中，學(xué)生不斷接收處理數(shù)據(jù)，這對(duì)他們暫時(shí)貯存信息的能力提出了一定的要求.解復(fù)雜的分類討論問(wèn)題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)此種情況，解題后期忘記之前的分類，或是忘記求交集還是并集.

例2不等式x2-2ax+a+2≥0在x∈[1,3]時(shí)恒成立，求a的取值范圍.

錯(cuò)解設(shè)f(x)=x2-2ax+a+2，函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=a，對(duì)此進(jìn)行分類討論:

若a≤1,則

f(1)=1-2a+a+2≥0,

解得a≤3；

若1

f(a)=a2-2a2+a+2≥0，

解得-1≤a≤2；

若a≥3，則

f(3)=9-6a+a+2≥0，

分析學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中將參數(shù)的取值分為3個(gè)部分，a≤1，1

正解設(shè)f(x)=x2-2ax+a+2，則函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=a，對(duì)此進(jìn)行分類討論.

若a≤1,對(duì)稱軸在定義域的左邊，x>a時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，只需f(1)=1-2a+a+2≥0則f(x)≥0在x∈[1,3]時(shí)恒成立,解得a≤3，與大分類求交集，得a≤1；

若1

f(a)=a2-2a2+a+2≥0，

解得-1≤a≤2，求交集得1

若a≥3，對(duì)稱軸在定義域右側(cè)，x

f(3)=9-6a+a+2≥0

因此，可以得到參數(shù)的范圍a∈(-,2].

2 錯(cuò)誤的心理勢(shì)態(tài)

2.1 順序心理導(dǎo)致的錯(cuò)誤

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)具備固定的順序，這種順序影響了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的編碼，形成順序心理.常見(jiàn)的順序心理所導(dǎo)致的錯(cuò)誤為：

例3已知ΔABC中，A∶B∶C=1∶2∶3，求sinA∶sinB∶sinC.

錯(cuò)解根據(jù)題目所給的A∶B∶C=1∶2∶3，直接得出sinA∶sinB∶sinC=1∶2∶3.

2.2 停留性錯(cuò)誤

停留性錯(cuò)誤建立在學(xué)生解相關(guān)類型題的經(jīng)驗(yàn)上，是一種對(duì)于經(jīng)驗(yàn)的呆板套用.

例4等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-8，n∈N+.n為何值時(shí)，該數(shù)列的前n項(xiàng)和最小？

分析在求解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最值時(shí)，由于以往求二次函數(shù)最值只能得到一個(gè)解，學(xué)生不能及時(shí)地進(jìn)行調(diào)整導(dǎo)致錯(cuò)誤.這是學(xué)生停留在二次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)中所產(chǎn)生的錯(cuò)誤，屬于停留性錯(cuò)誤.

停留性錯(cuò)誤很多情況下被認(rèn)為與順序心理相同，但二者有很大的區(qū)別.順序心理更多的是題目本身的形式導(dǎo)致學(xué)生片面沿用所學(xué)，是客觀條件給出的錯(cuò)誤判斷；而停留性錯(cuò)誤則是學(xué)生過(guò)往經(jīng)驗(yàn)的停留，是主觀經(jīng)驗(yàn)的直接影響.

2.3 忽視隱含條件

在數(shù)學(xué)習(xí)題中，題目給出了各種各樣的條件以供學(xué)生取用，此時(shí)學(xué)生傾向于發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單直接的表面條件，而對(duì)于隱含在題目背后的條件則無(wú)法全面地找出來(lái).在進(jìn)行解不等式的教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生忽略分母不為0，而在解分式不等式時(shí)擴(kuò)大了解集，將導(dǎo)致分母為0的解納入解集范圍.這種心理勢(shì)態(tài)更多地被教師認(rèn)為是馬虎，將其歸咎為單純的學(xué)生個(gè)人問(wèn)題，從而忽視了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不足的問(wèn)題.

錯(cuò)解原式化為x(x+2)(3-x)≥0，根據(jù)“穿根法”得到解集為x∈[-2,0]∪[3,+).

分析錯(cuò)解出現(xiàn)的原因有：一是忽略了“穿根法”的應(yīng)用條件：自變量的系數(shù)為正值；二是忽略了分母不為0這一隱含條件.

正解原式化為

x(x+2)(3-x)≥0 (x≠3)

后，整理為

x(x+2)(x-3)≤0 (x≠3)，

根據(jù)“穿根法”得到解集為

x∈(-,-2]∪[0,3).

錯(cuò)解利用均值不等式

因此

的最小值為4.

分析忽略均值不等式等號(hào)成立的條件，直接重復(fù)套用.

正解首先對(duì)原始式子進(jìn)行展開(kāi)變形，為

然后再套用均值不等式

2.4 潛在假設(shè)

相較于對(duì)隱含條件的忽視，學(xué)生更多出現(xiàn)的一種情況則是增加補(bǔ)充新的條件，這種心理現(xiàn)象稱之為潛在假設(shè)——題目中并未給出條件，且并沒(méi)有相關(guān)的隱含推導(dǎo)，學(xué)生依據(jù)過(guò)往經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣性認(rèn)知添加條件，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.這種錯(cuò)誤的產(chǎn)生原因有：一是學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)掌握過(guò)于死板僵化；二是學(xué)生對(duì)題目重視不足，將其視為簡(jiǎn)單的鞏固性練習(xí).

分析學(xué)生直接認(rèn)為ΔABC是銳角三角形.這是潛在假設(shè)錯(cuò)誤.

分析潛在假設(shè)認(rèn)為題中所給的f(n)是一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和，但實(shí)際上它是通項(xiàng)公式.

正解分別列出f(n+1)與f(n)

因此

例10不等式x2+ax+1≥0在x∈R時(shí)恒成立，求a的取值范圍.

分析運(yùn)用參變分離的思想求解，潛意識(shí)認(rèn)為x是一個(gè)正數(shù).這是學(xué)生的潛在假設(shè).

3 其他心理情況

適當(dāng)?shù)慕忸}焦慮有助于促進(jìn)學(xué)生的解題亢奮情緒，而過(guò)度的焦慮則適得其反.學(xué)生在長(zhǎng)期解題錯(cuò)誤的過(guò)程中形成的緊張、逃避的心理態(tài)度，反映在習(xí)題上主要表現(xiàn)為試卷上解答題、應(yīng)用題的大量留空，疲于思考，只接受直接答案，拒絕寫出詳細(xì)的解題步驟；有的學(xué)生將解題及整理視為形式化的重復(fù)，機(jī)械性地依照教師指示完成練習(xí)；有的學(xué)生則走向另一個(gè)極端，他們認(rèn)為日常的解題訓(xùn)練并沒(méi)有什么作用，從而輕視作業(yè)、練習(xí)，認(rèn)為考試時(shí)解題正確即可，結(jié)果往往不如人意.

面對(duì)這樣的情況，教師應(yīng)當(dāng)提起重視，首先從學(xué)生本身的情緒入手，在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)史等材料，耐心培養(yǎng)他們的解題興趣，形成正確的解題觀念.在解題教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)擺脫無(wú)意義的重復(fù)行為，將教學(xué)重點(diǎn)轉(zhuǎn)移至解題方法的深入闡述，包括其應(yīng)用條件、適合的習(xí)題模式等，使學(xué)生真正理解練習(xí)的意義.

4 總結(jié)

在解題錯(cuò)誤的產(chǎn)生過(guò)程中，各心理因素并非獨(dú)立作用.學(xué)生的解題過(guò)程中心理性錯(cuò)誤是逐步產(chǎn)生的，每一步所蘊(yùn)含的心理因素各不相同，最終導(dǎo)致的錯(cuò)解也是各因素綜合作用影響的結(jié)果.

例11計(jì)算1+a+a2+…+an.

分析學(xué)生首先認(rèn)為題目所給的等比數(shù)列可以直接應(yīng)用公式，這是忽略a可能為1這一隱含條件所導(dǎo)致的錯(cuò)誤.在計(jì)算過(guò)程中又由于題目所給的形式，認(rèn)為這是n項(xiàng)之和，這是相關(guān)類型題的經(jīng)驗(yàn)所導(dǎo)致的停留性錯(cuò)誤.

綜上所述，在解題過(guò)程中，學(xué)生的心理因素變化多樣，多重因素綜合導(dǎo)致了解題的失誤.在教師進(jìn)行教學(xué)時(shí)，不能簡(jiǎn)單認(rèn)為解題的教學(xué)僅發(fā)生于習(xí)題課上，將糾正錯(cuò)誤作為目標(biāo)，重復(fù)正確答案.而應(yīng)對(duì)題目和學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行針對(duì)性的分析，從學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)開(kāi)始，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)概念和公式的掌握，活躍學(xué)生的解題思想，打破思維慣性；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)審題的習(xí)慣，在解題過(guò)程中做到每一步驟有理有據(jù)，清晰明確，如此才能在心理層面逐步糾正學(xué)生的不良習(xí)慣.

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