張成兵

（江蘇省宿遷市文昌高級中學(xué)，江蘇 宿遷）

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)大綱以及高考的考查范圍內(nèi)，對于平面上動點(diǎn)的軌跡方程求解內(nèi)容都是十分重要的。軌跡也就是點(diǎn)的集合，方程則是實(shí)數(shù)對所構(gòu)成的集合[1]。基于某種條件來對某個動點(diǎn)的軌跡方程進(jìn)行求解，本質(zhì)上是找到不同變量之間的潛在關(guān)系，而這種關(guān)系的明確和求得則需要以已知點(diǎn)的特點(diǎn)為基礎(chǔ)，即需要充分利用已知的條件。在解決實(shí)際問題的過程中，因?yàn)閯狱c(diǎn)所呈現(xiàn)出的規(guī)律不同，因此也需要采用不同的方法[2]。

一、采用直接法求解軌跡方程

在實(shí)際求解過程中，如果題目當(dāng)中的動點(diǎn)自身是幾何量等量關(guān)系，這些條件表達(dá)起來十分簡單明了，這樣的情況下可以直接將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其變?yōu)橛蒟、Y等字母所形成的等式，這樣就可以得到動點(diǎn)的軌跡方程。

如：已知點(diǎn) A（-2，0），B（2，0），點(diǎn) P滿足條件為PA·PB=12，求p點(diǎn)軌跡方程。

在看到這個題目時應(yīng)當(dāng)遵循求軌跡方程的基本步驟，具體求解步驟如下所示：

（1）結(jié)合題目實(shí)際要求構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系；

（2）將運(yùn)動軌跡上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)置為n（X，Y）；

（3）找到關(guān)系式，需要滿足已知點(diǎn)和動點(diǎn)都滿足的關(guān)系式；

（4）將已知點(diǎn)和動點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程當(dāng)中；

（5）對方程進(jìn)行化簡處理；

（6）需要對曲線方程是否為軌跡方程進(jìn)行驗(yàn)證，但是在具體求解時第（3）步和第（5）步通常會被忽略。

根據(jù)這個求解思路，對以上問題進(jìn)行解決，解法如下：

設(shè) P（x，y），則PA=（-2-x，-y），PB=（2-x，-y），

所以PA·PB=（-2-x）（2-x）+（-y）（-y）=（x2-4+4y2）=12

對以上公式整理可以得到：x2+y2=16

二、采用定義法求解軌跡方程

該方法的應(yīng)用需要滿足動點(diǎn)軌跡符合基本軌跡的相關(guān)定義，這樣才可以根據(jù)已有的定義來直接得到某個動點(diǎn)的軌跡方程。通常情況下可以滿足的定義為拋物線、橢圓、雙曲線以及圓等，這些可以直接采用定義法來求得相應(yīng)的軌跡方程[3]。

例 2：三角形△ABC 周長為 18，且 B（-4，0），C（4，0），求 A 的軌跡方程。

解：根據(jù)題中已有條件可知，BC=8，所以 AC +BC =10＞（ BC）

從點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡來看，是橢圓，且運(yùn)動焦點(diǎn)為B點(diǎn)和C點(diǎn)。具體軌跡如圖所示：

A點(diǎn)運(yùn)動軌跡圖

根據(jù)公式b2=a2-c2可得b點(diǎn)值

三、采用相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程

在一些求解運(yùn)動軌跡方程的問題當(dāng)中，動點(diǎn)所滿足的條件不一定都可以使用等式的形式列出，但是動點(diǎn)必然會隨著另一個點(diǎn)的移動而發(fā)生相應(yīng)的變化，我們將其稱之為相關(guān)點(diǎn)，如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件可以被分析或者十分明顯，那么在這種情況下就能夠得到與運(yùn)動點(diǎn)相關(guān)的動點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得動點(diǎn)的軌跡方程。采用這種方式得到軌跡方程的方法就被稱之為相關(guān)點(diǎn)2法。

例3：已知P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線上運(yùn)動，求△F1F2P的重心G的軌跡方程。

解：根據(jù)題中已有條件可得：a=4.b=3.

再結(jié)合相關(guān)公式a2+b2=c2可以得到c值。c=5.

由此可知F1，F(xiàn)2=5

在當(dāng)中，G點(diǎn)為重心，根據(jù)重心坐標(biāo)公式，可以得到x與 x0，y 與 y0的關(guān)系。即

因?yàn)閜點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動，所以即

根據(jù)整理可以得到最終軌跡方程為

四、采用參數(shù)法求解軌跡方程

在一些動點(diǎn)軌跡方程求解的過程中，容易遇見一些動點(diǎn)所滿足的幾何條件不容易被得出的情況，甚至也無法找到一些相關(guān)點(diǎn)。但是卻能夠發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)的運(yùn)動會受到其他相關(guān)變量的影響，比如時間、斜率、角度和比值等相關(guān)因素的制約。隨著動點(diǎn)坐標(biāo)的變化，另外的某個變量也會隨著動點(diǎn)的變化而發(fā)生變化，我們就可以將這個變量當(dāng)做是參數(shù)，再結(jié)合參數(shù)的實(shí)際情況構(gòu)建參數(shù)方程，這就是在軌跡方程當(dāng)中比較常見的一種解決方法，為參數(shù)法。其應(yīng)用范圍比較廣泛，如果可以選擇比較合適的參數(shù)，這種方法就會變成一種比較簡便的方法。

參數(shù)法具體應(yīng)用在軌跡方程求解的過程中，應(yīng)當(dāng)按照以下步驟開展，具體為：

（1）建立專門的坐標(biāo)系，然后再將設(shè)動點(diǎn)p，其坐標(biāo)為（x，y）；

（2）結(jié)合與軌跡運(yùn)動相關(guān)的已知條件，選擇更為合適的參數(shù)；

（3）以動點(diǎn)p為基礎(chǔ)，構(gòu)建參數(shù)關(guān)系式，也就是我們說的參數(shù)方程；

（4）需要對參數(shù)進(jìn)行消減，繼而得到普通的方程；

（5）在整個參數(shù)方法應(yīng)用的過程中，最為重要的環(huán)節(jié)就是應(yīng)用參數(shù)方程。在實(shí)際運(yùn)用時，如果某個動點(diǎn)是繞著直線某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，此時的參數(shù)可以選擇斜率k。

例 4：平面坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為 O，A 點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為如果點(diǎn) C 滿足以下條件其中α，β∈R，且 α+β=1，求點(diǎn) C 軌跡方程。

解：設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），那么1，3）

由題可知，（x，y）=α（3，1）+β（-1，3）

所以 x=3α-β，y=α+3β

且α+β=1，消參數(shù)α，β之后可以得到C點(diǎn)的軌跡方程

即：x+2y-5=0.

總之，軌跡方程的求解在高中數(shù)學(xué)大綱以及高考考點(diǎn)當(dāng)中都占據(jù)著十分重要的位置，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，必須得到足夠的重視。在本文當(dāng)中，筆者主要對當(dāng)前高中軌跡方程求解過程中幾種最為常見的方法進(jìn)行分析探討，并以實(shí)例作為例證，使方法理解起來更通俗易懂。但是在實(shí)際應(yīng)用的過程中要根據(jù)題目的具體情況選擇合適的求解方法，避免出現(xiàn)照抄照搬現(xiàn)象。

［1］代紅英.高中數(shù)學(xué)軌跡方程解法［J］.中國校外教育，2016（27）：116，155.

［2］趙林.例談點(diǎn)的軌跡方程的求法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（27）：41-42.

［3］楊建茹.高中數(shù)學(xué)探求軌跡方程的常用技法［J］.科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2014，11（15）：256.