(羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育系 廣東羅定 527200)

0 引 言

1982年的文獻(xiàn)[1]中首次提出關(guān)于粗糙集的概念。自從1992年以來，國際上許多重要學(xué)術(shù)會議和研討班也把粗糙集理論的研究列入會議和討論班的主要內(nèi)容之一，這些都極大地促進(jìn)了該理論的發(fā)展及其在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用。從2001年開始國內(nèi)每年都舉辦粗糙集與軟計算學(xué)術(shù)會議。粗糙集發(fā)展三十多年來，無論是理論研究還是應(yīng)用研究都取得了很多優(yōu)秀成果，如粗糙集的近似及相關(guān)的數(shù)據(jù)分析和推理方法與算法、基于數(shù)據(jù)等價關(guān)系的數(shù)據(jù)分析方法等[2～7]。此外，關(guān)于粗糙集的內(nèi)測度、可能性測度等可測性結(jié)構(gòu)的一些研究見文獻(xiàn)[4]。以粗糙集與拓?fù)錇檠芯勘尘?，主要研究粗糙集與拓?fù)涞囊恍╆P(guān)系，在此基礎(chǔ)上探究粗糙集中的導(dǎo)集拓?fù)浼靶再|(zhì)。

1 粗糙集與拓?fù)淇臻g的關(guān)系

∪{Y∈U/R|Y∩X≠φ}

式中，[x]R={y|(x,y)∈R}是x關(guān)于R的等價類，U/R={[x]R|x∈U}是全部R等價類的集合。

定理1[8]設(shè)(U,R)是一個Pawlak近似空間，X,Y?U是R的可定義集(也就是R的可等價類之并)，(X,Y)是粗糙集的充分必要條件是X?Y且(Y-X)∩S=φ。

對任一X∈PS(U)，定義PS(U)到PS(U)的算子：

設(shè)N={XA,X∈PS(U)}，那么N是U上全體粗糙集的集合。如果X是R的可定義集，那么一定會有XA=X，故有PS(U)?N。

定理3[8,9]如果(U,R)是一個Pawlak近似空間，那么N是U上的一個拓?fù)淇臻g。

證明：(1)顯然φ,U∈PS(U)?N。

從而XA∩YA∈N。

因此

綜合上面定理3的證明(1)、(2)、(3)點可知N是U上的一個拓?fù)淇臻g。

2 粗糙集中的導(dǎo)集運算

為了敘述和計算方便，引入一些符號：令G?N，記2G={V|V?G}為G的冪集，g在拓?fù)淇臻g(G,T)中的鄰域系為Vg，即Vg={V|V是g的鄰域，g∈G,V?G}。E在拓?fù)淇臻g(G,T)中的閉包記為m(E)，E在拓?fù)淇臻g(G,T)中的導(dǎo)集記為d(E)，即d(A)={g|g是E的聚點，E?G}[10]。

定義1[10]假設(shè)G為非空集，如果映射m*:2G→2G滿足條件：

(1)m*(φ)=φ

(2)E?m*(E)

(3)m*(E∪F)=m*(E)∪m*(F)

(4)m*(m*(E))=m*(E)

那么稱映射m*:2G→2G為G的閉包運算。

引理1[10]設(shè)G為非空集，映射m*:2G→2G為G的閉包運算，那么存在G的唯一拓?fù)銽，使得對任一E?G，有式子m(E)=m*(E)成立，其中m(E)是E在拓?fù)淇臻g(G,T)中的閉包。

引理2[10]若(G,T)為拓?fù)淇臻g，那么有式子g∈d(E)?g∈d(E-{g})g∈m(E-{g})成立。

證明(1)對于任一g∈d(E)，由聚點定義可知，對于任一V∈Vx，必有E∩(E-{g})≠φ成立，于是

E∩((E-{g})-{g})=E∩(E-{g})≠φ成立，故有g(shù)∈d(E-{g})。

反之，對于任一g∈d(E-{g})，由聚點定義可知，對于任一V∈Vx，必有E∩((E-{g}))≠φ成立，于是E∩(E-{g})=E∩((E-{g}-{g})≠φ成立，從而有g(shù)∈d(E)，所以g∈d(E)?g∈d(E-{g})。

(2)對于任一g∈d(E-{g})，由于d(E-{g})?m(E-{g})，因而g?m(E-{g})。反之，對任一g?m(E-{g})，由于m(E-{g})=E-{g}∪d(E-{g})。但是g?E-{g}，由此可知g∈d(E-{g})。于是g∈d(E-{g})?g∈m(E-g)。

3 粗糙集中的導(dǎo)集拓?fù)?/h2>

定義2[10]設(shè)G為非空集，如果映射d*2G→2G滿足條件：對?E?G,F?G，有

(1)d*(φ)=φ

(2)d*(E∪F)=d*(E)∪d*(F)

(3)d*(d*(E))=E∪d*(E)

(4)g∈d*(E)?g∈d*(E-{g})

那么稱映射d*:2G→2G為G的導(dǎo)集運算。

定理4 假設(shè)d*為非空集G的導(dǎo)集運算，作映射m*:2G→2G，對于任一E?G，做運算定義m*(E)→E∪d*(E)，那么映射m*:2G→2G是G的上的閉包運算。

證明(1)由定義1及其條件(1)，那么有

m*(φ)=φ∪d*(φ)=φ∪φ=φ

(2)根據(jù)定義1，m*(E)=E∪d*(E)，從而有E?m*(E)。

(3)根據(jù)定義1及其條件(2)，那么有

m*(E∪F)=(E∪F)d*(E∪F)=

(E∪F)∪(d*(E)∪d*(F))=

(E∪d*(E))∪(F∪d*(F))=

m*(E)∪m*(F)

從而有m*(E∪F)=m*(E)∪m*(F)。

(4)根據(jù)定義1及其條件(2)和(3)，那么有

m*(m*(E))=m*(E∪d*(E))=

(E∪d*(E))∪d*(E∪d*(E))=

(E∪d*(E))∪(d*∪(d*(E)))=

E∪d*(E)=m*(E)

所以，m*(m*(E))=m*(E)。

綜合證明，結(jié)合閉包運算的定義1便知，映射m*:2G→2G是G上的閉包運算。

定理5 假設(shè)d*為非空集G的導(dǎo)集運算，那么存在G的唯一拓?fù)銽，使得對于任一E?G,均有d(E)=d*(E)。

證明假設(shè)d*為非空集G的導(dǎo)集運算，可以作運算d*:2G→2G，對于任一E?G，m*(E)=E∪d*(E)。

根據(jù)定理4便知，映射m*:2G→2G是G的一個閉包運算。再根據(jù)引理1便知，存在G的唯一拓?fù)銽，使得對于任一E?G,均有m(E)=m*(E)。

接下來證明，對于任一E?G,均有d(E)=d*(E)。由于在拓?fù)淇臻g(G,T)中有式子m(E)=E∪d(E)成立，且對于任一E?G,均有m(E)=m*(E)，再根據(jù)定義1和引理2，對于任一g?d(E),均有

g∈m(E-{g})=m*(E-{g})=(E-{g})∪d*(E-{g})

由于g?E-{g},從而g∈d(E-{g}),根據(jù)定義1中的條件(4)，便知g∈d*(E),故有d(E)?d*(E)。

對于任一g∈d*(E),根據(jù)定義1中的條件4，便有g(shù)∈d*(E-{g}),

又因為d*(E-{g})?(E-{g})∪d*(E-{g}),

所以有g(shù)∈(E-{g})∪d*(E-{g})=m*(E-{g})=m(E-{g}),

于是再根據(jù)引理2可以知道，g∈d(E),從而d(E)?d*(E)。

綜上證明，可得d(E)=d*(E)。

在拓?fù)淇臻g(G,T)中，若對于任一E?G,均有d(E)=d*(E)。于是可得

m(E)=E∪d(E)=E∪d*(E)=m*(E)

因為對于任一E?G,均有m(E)=m*(E)的拓?fù)銽是唯一的，那么對于任一E?G,均有d(E)=d*(E)拓?fù)湟彩俏ㄒ坏摹?/p>

4 結(jié) 語

根據(jù)定理5中的唯一性便知，如果還有其他的拓?fù)淇臻g(G,T)，使得對于任一E?G,均有d(E)=d*(E)，其中d(E)是E在拓?fù)淇臻g(G,T)中的導(dǎo)集，這說明了一是用開集公理建立的拓?fù)浜陀脤?dǎo)集運算建立的拓?fù)涫堑葍r的；二是在粗糙集中同樣滿足導(dǎo)集運算；三是在粗糙集中同樣滿足拓?fù)淇臻g閉包運算；四是粗糙集中確實是存在導(dǎo)集拓?fù)洹?/p>

參考文獻(xiàn):

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