廣西南寧市上林縣三里鎮(zhèn)中心學校韋寺教學點 覃小玉

1.利用函數(shù)的冪級數(shù)的展開式求函數(shù)近似值

冪級數(shù)是無窮級數(shù)的一種，它是以某個冪級數(shù)展開式為基礎，把所需要求的量表達成無數(shù)級數(shù)的和，并依據(jù)要求，選取部分和作這個量的近似值，誤差用余項 估計。比如許多初等函數(shù)如 ex，sinx，cosx，lnx，(1 + x )α(α ∈ Z ,α ≠0)，arcsin x，arctan x在一定的實區(qū)間上都可以進行冪級數(shù)展開，進行近似計算，通過控制取冪級數(shù)項數(shù)的多少來達到我們需要的精確度。

例1：計算ln2的值，精確到小數(shù)第四位。

利用對數(shù)的冪級數(shù)展開式，作對數(shù)的近似計算.根據(jù)對數(shù)的特征，只要計算出正整數(shù)的特征，那么由對數(shù)的運算，其它有理數(shù)的對數(shù)也就知道了.

以ln(1+x)的邁克勞林級數(shù)發(fā)點

如要精確到小數(shù)第四位，則取n=4，這時

最終求得對數(shù) 的精確到小數(shù)第四位為0.6931。

2.利用函數(shù)的冪級數(shù)的展開式求定積分的近似值

利用冪級數(shù)不僅可以計算一些函數(shù)的近似值，而且還可以計算一些定積分的近似值，具體地說，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開成冪級數(shù)，那么把這個冪級數(shù)逐項積分，用積分后的級數(shù)就可計算出定積分的近似值。

這是收斂的交錯級數(shù)，其誤差，取n=3，有，故

3.利用泰勒級數(shù)計算函數(shù)值的近似值

目前解決非線性問題的一種有效工具是泰勒級數(shù)，即利用泰勒展開式一階近似，將非線性問題線性化，達到近似求解的目的。如若一階近似達不到近似精度標準的話，還可以在泰勒級數(shù)展開式中取更高的階，在實際問題中我們經常會使用級數(shù)的二階多項式求復雜問題的近似解。

例3：在我們日常生活中的路面結構中，路面結構是在不斷遭受載荷的重壓而產生振動，以致遭受破壞的，研究發(fā)現(xiàn)其振動是以非線性的形式進行的.

4.交錯級數(shù)在近似計算中是應用

給定項數(shù)，求近似值并估計精度，通過估計余項，確定精度或項數(shù)，若余項是交錯級數(shù)，則可用余和的首項來解決。

5.幾何級數(shù)的某些應用

利用幾何級數(shù)，我們也可以把一些函數(shù)級數(shù)和定積分級數(shù)變換成另一種形式，然后再利用冪級數(shù)或者泰勒公式來對這個級數(shù)進行求解，從而算出這個級數(shù)的近似計算。如:

6.調和級數(shù)的近似計算

自然數(shù)的倒數(shù)組成的數(shù)列，稱為調和數(shù)列，即通

其中0.57721566490153286060651209叫做歐拉常數(shù)。

7.總結

級數(shù)理論和微積分學兩個分支共同組成是分析學的，這兩個分支一起作為基礎知識和工具出現(xiàn)在其余各分支中。本文是對級數(shù)在近似計算中應用的研究，主要通過各類級數(shù)在近似計算中的應用做研究，首先是對級數(shù)的定義、性質做出論述，然后分別從冪級數(shù)的展開式、泰勒級數(shù)、傅里葉級數(shù)、無窮級數(shù)、正項級數(shù)、交錯級數(shù)等對函數(shù)、定積分求近似值。在求解的過程中證明級數(shù)在近似計算中有廣泛的作用。