唐劍鋒,高 珍,黃 杰

（同濟(jì)大學(xué) 軟件學(xué)院，上海 201804）

0 引 言

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)一級(jí)學(xué)科的核心課程,被稱為計(jì)算機(jī)專業(yè)第一核心主干課程,由此可看出該課程在計(jì)算機(jī)學(xué)科的重要地位。

離散數(shù)學(xué)以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系為主要目標(biāo),其研究對象是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)元素,因此它充分描述了計(jì)算機(jī)科學(xué)離散性的特點(diǎn)。通過該課程教學(xué),學(xué)生理解并掌握計(jì)算機(jī)科學(xué)中離散數(shù)學(xué)部分的一些基本概念、基本思想、基本方法,同時(shí)具備解決離散問題的基本能力,并培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力,為后續(xù)課程(如程序設(shè)計(jì)語言、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯原理、人工智能、數(shù)據(jù)庫、算法設(shè)計(jì)與分析、理論計(jì)算機(jī)科學(xué)基礎(chǔ))的學(xué)習(xí)及碩士博士生階段的科學(xué)研究提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

在本科計(jì)算機(jī)專業(yè),離散數(shù)學(xué)的授課范圍一般分為6個(gè)部分:數(shù)理邏輯(包括命題邏輯和一階邏輯)、集合論、關(guān)系和函數(shù)、圖論(含樹)和代數(shù)系統(tǒng)以及可選講的初等數(shù)論部分[1]。這6個(gè)部分是一個(gè)有機(jī)整體,如數(shù)理邏輯和集合論是圖論的基礎(chǔ),二元關(guān)系是函數(shù)的基礎(chǔ),函數(shù)是代數(shù)系統(tǒng)的基礎(chǔ),圖論是一類特殊的代數(shù)系統(tǒng)等。每個(gè)部分都有大量的概念、定理和相應(yīng)的證明,抽象程度高。

離散數(shù)學(xué)各部分間的內(nèi)容與聯(lián)系如圖1 所示[2]。

相應(yīng)地,離散數(shù)學(xué)的教學(xué)安排見表1。

圖1 離散數(shù)學(xué)各部分之間的內(nèi)容與聯(lián)系

1 存在的問題

從以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和效果來看,學(xué)生的學(xué)習(xí)效果沒有達(dá)到理想狀態(tài),主要原因在于:①離散數(shù)學(xué)的概念繁多,且普遍比較抽象,學(xué)生理解起來有困難;②離散數(shù)學(xué)是其他許多后續(xù)專業(yè)課程的基礎(chǔ),如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、組合數(shù)學(xué)、編譯原理、信息安全等,離散數(shù)學(xué)要跟這些課程很好地銜接起來,現(xiàn)有課時(shí)不夠;③離散數(shù)學(xué)是一門以理論學(xué)習(xí)為主的課程,學(xué)生的實(shí)踐學(xué)習(xí)時(shí)間不足,這將導(dǎo)致課程結(jié)束以后,學(xué)生對該課程的整體印象仍不夠深刻。

表1 離散數(shù)學(xué)教學(xué)安排

2 教學(xué)改革方案

具體的教學(xué)改革措施有:①端正學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度,使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到學(xué)好離散數(shù)學(xué)的重要性;②在理論課時(shí)之外,補(bǔ)充難度等級(jí)不同的大量編程題,難度中等的作為必答題,難度較大的作為選答題,為后續(xù)課程(如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu))鋪墊;③教師授課以外,引入課堂討論時(shí)間,甚至讓部分優(yōu)秀學(xué)生上臺(tái)講授,通過師生互動(dòng),加深學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的理解;④布置大量課外作業(yè)和習(xí)題,補(bǔ)充一些(國外的)教科書,拓展學(xué)生的知識(shí)深度和廣度;⑤進(jìn)行全面的考試制度改革,嚴(yán)格實(shí)行課程任課教師、試卷命題教師和試卷審閱教師三級(jí)責(zé)任制;⑥建立健全對主講教師授課質(zhì)量的考核機(jī)制,建立離散數(shù)學(xué)授課質(zhì)量的全程化管理機(jī)制。

離散數(shù)學(xué)一般是為計(jì)算機(jī)及相關(guān)專業(yè)開設(shè)的一門基礎(chǔ)課,有部分學(xué)生錯(cuò)認(rèn)為離散數(shù)學(xué)是一門數(shù)學(xué)課,與本專業(yè)學(xué)習(xí)沒有直接聯(lián)系[3],產(chǎn)生無所謂的態(tài)度,學(xué)習(xí)積極性不夠高,主動(dòng)性不夠強(qiáng)。

事實(shí)上,離散數(shù)學(xué)課程是計(jì)算機(jī)及相關(guān)專業(yè)本科階段為數(shù)不多的計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)課程緊密聯(lián)系的橋梁課程。在這門課里面,學(xué)生不僅可以學(xué)習(xí)到一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)(這在代數(shù)系統(tǒng)和擴(kuò)充講解的初等數(shù)論等部分尤其如此),更重要的是能為后續(xù)的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課和專業(yè)課打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。因此,在課程開始,就很有必要跟所有學(xué)生講清楚這一點(diǎn)。

為培養(yǎng)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科下的優(yōu)秀本科生,學(xué)生的編程能力培養(yǎng)至關(guān)重要。雖然離散數(shù)學(xué)主要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和數(shù)學(xué)推理能力,但其很多后續(xù)課程,包括數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計(jì)與分析、編譯原理、數(shù)據(jù)庫等,都需要學(xué)生具有很強(qiáng)的編程能力,因此,為了做好前后銜接,在離散數(shù)學(xué)課程中布置編程作業(yè)很有必要。

拿離散數(shù)學(xué)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程的聯(lián)系舉例:①圖論(含樹)這一章與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系最為緊密,包括圖的連通性、圖的矩陣表示(主要著重于鄰接矩陣)、幾種特殊的圖(主要著重于二部圖和哈密頓圖)、圖的最短路徑問題以及樹中的霍夫曼樹和最小生成樹問題;②離散數(shù)學(xué)的集合論部分講述了集合的概念和運(yùn)算,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有集合的并、交、補(bǔ)、對稱差等源代碼實(shí)現(xiàn)以及基于集合的許多復(fù)雜數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu);③離散數(shù)學(xué)的關(guān)系部分講述了等價(jià)關(guān)系與等價(jià)類,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的集合與搜索部分會(huì)詳細(xì)論述確定等價(jià)類的鏈表方法及源代碼實(shí)現(xiàn)。這些跟編程相關(guān)的內(nèi)容都可在離散數(shù)學(xué)課程中提前涉及,如果課時(shí)不允許,可以布置作業(yè)讓學(xué)生在課后完成,這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)這門內(nèi)容繁雜、知識(shí)體系龐大的課程時(shí)會(huì)有很好的課前準(zhǔn)備。

除了要非常重視學(xué)生的實(shí)踐環(huán)節(jié),留出充分的課堂討論和互動(dòng)時(shí)間也很重要。教師切忌采取填鴨式教學(xué)模式,一堂課從頭講到尾,要留出足夠的時(shí)間讓學(xué)生思考,甚至辯論和質(zhì)疑。要大膽請學(xué)生上臺(tái)講授自己對離散數(shù)學(xué)的理解,在黑板上演示對某個(gè)定理的推導(dǎo)過程,教師可以在一旁予以指導(dǎo)。教師可以設(shè)定情境、提出問題,然后組織學(xué)生猜想或作出假設(shè)性的解釋,進(jìn)而進(jìn)行全面完整的驗(yàn)證并總結(jié)出規(guī)律。這對搞活課堂氣氛、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性是很有幫助的。

不經(jīng)過學(xué)生的獨(dú)立思考并多做練習(xí),離散數(shù)學(xué)的知識(shí)是無法牢固掌握的,因此一定要給學(xué)生留出一定數(shù)量的課堂習(xí)題和課后習(xí)題。如果學(xué)生不能在課堂上及時(shí)完成,要督促學(xué)生利用課后時(shí)間不折不扣地完成,這對學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容、提高自身的自學(xué)能力至關(guān)重要。教師要仔細(xì)批閱學(xué)生的課后習(xí)題,對習(xí)題中暴露出來的問題,要利用課堂時(shí)間重點(diǎn)講解,以統(tǒng)一澄清錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。

為了加大學(xué)生補(bǔ)充課外知識(shí)的力度,我們挑選了離散數(shù)學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)典教材《離散數(shù)學(xué)與應(yīng)用》[4]。該書是截至目前各高校采用率最高的離散數(shù)學(xué)教材,僅在美國就被600多所高校用作教材,獲得了極大的成功。對于學(xué)有余力的學(xué)生,該書是滿足他們深入學(xué)習(xí)需求的最好教材。

此外,要嚴(yán)格實(shí)行任課教師、試卷命題教師和試卷審閱教師三級(jí)責(zé)任制,即任課教師負(fù)責(zé)把課程的核心知識(shí)傳授給學(xué)生,命題教師負(fù)責(zé)出期末考試A、B卷,審核教師負(fù)責(zé)對試題的難易程度、知識(shí)點(diǎn)涵蓋和可能的錯(cuò)誤進(jìn)行嚴(yán)格把關(guān)。任課教師事先并不知道考試題目,不可能將期末試題事先透露給學(xué)生,有利于考試公平公正。學(xué)生的最終成績由平時(shí)成績(包括平時(shí)簽到點(diǎn)名成績和課后習(xí)題成績)和期末考試組成,按3:7的比例組成。對于參加補(bǔ)考的學(xué)生,同樣嚴(yán)格要求,試卷難度不降低。對于補(bǔ)考仍不及格的學(xué)生,全部參加下一年課程的重修。

最后,離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革成敗的關(guān)鍵是任課教師,要實(shí)行主講教師教學(xué)質(zhì)量負(fù)責(zé)制。離散數(shù)學(xué)是一門比較難以講授的課程,主講教師要實(shí)行競爭上崗,重點(diǎn)考核教師的知識(shí)儲(chǔ)備和授課能力。要建立暢通完善的反饋機(jī)制,對學(xué)生的課堂評(píng)價(jià),學(xué)校和相關(guān)學(xué)院教學(xué)督導(dǎo)的旁聽記錄,都可以按不同的權(quán)重作為評(píng)價(jià)教師授課質(zhì)量的依據(jù),作為課時(shí)費(fèi)和年終考核的參考。對學(xué)生網(wǎng)上的評(píng)價(jià)和督導(dǎo)聽課的反饋,分管教學(xué)院長、教研室和任課教師應(yīng)及時(shí)予以響應(yīng),有問題要及時(shí)進(jìn)行整改,切忌等到課程全部結(jié)束后才發(fā)現(xiàn)問題。

3 結(jié) 語

近5年的教學(xué)實(shí)踐表明,這些多管齊下的教學(xué)改革舉措能取得良好效果。離散數(shù)學(xué)是本科一年級(jí)的基礎(chǔ)課,根據(jù)學(xué)生入學(xué)后幾年的口頭和書面反饋,表明離散數(shù)學(xué)對他們的后續(xù)課程幫助和啟示很大,為他們后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)掃清了障礙,以至于到了碩士和博士階段,仍有學(xué)生在繼續(xù)學(xué)習(xí)和鉆研這門課程,甚至發(fā)表相關(guān)學(xué)術(shù)論文并取得學(xué)術(shù)成果。

經(jīng)過任課教師的統(tǒng)計(jì),5年來,先后有約500人次選修了離散數(shù)學(xué)課程,其中有超過40%的學(xué)生獲得了優(yōu)秀的成績,超過80%的學(xué)生獲得了良以上的成績。至少有兩屆學(xué)生參加了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽,并獲得了包括全國二等獎(jiǎng)等優(yōu)異成績。這對任課教師來說是一種莫大的欣慰和鼓勵(lì)。

[1]耿素云, 屈婉玲, 張立昂, 等. 離散數(shù)學(xué)[M]. 5版. 清華大學(xué)出版社, 2013.

[2]王霞, 顧勛梅, 潘祝山, 等. 離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革及課程建設(shè)研究[J]. 計(jì)算機(jī)教育, 2011(6): 8-10.

[3]吳濤, 閔笛, 關(guān)心, 等. 離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索[J]. 計(jì)算機(jī)教育, 2010(18): 44-47.

[4]Kenneth H R.離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M].6版.袁崇義,屈婉玲,張桂蕓,譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2011.