胡格寧

【摘要】投資者在投資過程中，既要考慮到既得利益，又要承擔(dān)投資失誤的風(fēng)險(xiǎn)。而組合投資是當(dāng)前權(quán)衡利益和風(fēng)險(xiǎn)采用的主要投資方式。為了定量分析如何對多種投資項(xiàng)目進(jìn)行投資額度分配，本文通過建立數(shù)學(xué)模型，給出了組合投資的收益-風(fēng)險(xiǎn)模型，并根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況以及投資者的偏好，對模型進(jìn)行處理，得到三種簡化模型。

【關(guān)鍵詞】投資 風(fēng)險(xiǎn) 數(shù)學(xué)模型

一、背景介紹

隨著市場經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，投資成為人們密切關(guān)注的話題，普通市民也都熱衷于投資于各類股票、基金，而對于各種大小企業(yè)來說更是如此。但是這樣的投資又存在著一定的風(fēng)險(xiǎn)。不是每一次投資都能百分之百獲得利潤，所以怎樣緩解與解決贏利與風(fēng)險(xiǎn)之間的矛盾，是每一個(gè)投資者亟待解決的問題。

一般說來，在現(xiàn)代商業(yè)、金融投資中，投資者總是希望實(shí)現(xiàn)收益最大化，關(guān)注于采用什么樣的投資方式可以使總收益最大。然而投資是要承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的，而且高收益總是伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)，收益與風(fēng)險(xiǎn)之間存在著難以調(diào)和的矛盾。如何能使同一時(shí)期內(nèi)所得利潤最大？如何應(yīng)對風(fēng)險(xiǎn)，或在利潤和風(fēng)險(xiǎn)同時(shí)較大的情況下如何合理安排投資？這成了人們越來越關(guān)注的問題。

二、問題提出

市場上有n種資產(chǎn)（股票，債券等）可以選擇作為投資項(xiàng)目，某公司有有數(shù)額為M的一筆資金可作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析對這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評估，估算出在一時(shí)期內(nèi)購買si的平均收益率為ri，風(fēng)險(xiǎn)損失率為qi。當(dāng)投資越分散時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，在進(jìn)行若干種資產(chǎn)投資時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的si中風(fēng)險(xiǎn)最大的一種風(fēng)險(xiǎn)來衡量。

購買si要支付交易費(fèi)，若購買額xi超過額定值ui時(shí)，交易費(fèi)率為pi，否則按ui計(jì)算。假設(shè)同期銀行利率為ro，且既無風(fēng)險(xiǎn)又無交易費(fèi)。（r0=5%）。根據(jù)n種資產(chǎn)的相關(guān)數(shù)據(jù)，提出一個(gè)投資組合方案，用給定資金M投資這n種資產(chǎn)或存入銀行，使凈收益盡可能大且風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。

三、組合投資模型的建立

為了簡化問題，首先作下列假設(shè)：

第一，投資數(shù)額十分巨大，為了便于計(jì)算，令M=1；

第二，將總體風(fēng)險(xiǎn)用si中最大風(fēng)險(xiǎn)表示；

第三，相對而言，piui太小可忽略不計(jì)，即不考慮交易定額；

第四，要使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。

（一）組合投資通用模型

組合投資將兩種或多種收益與風(fēng)險(xiǎn)水平有所區(qū)別的資產(chǎn)組合起來，通過分配不同資金投資，將多種資金的優(yōu)勢集中發(fā)揮以填補(bǔ)諸多不足之處，從而使投資者用一定資金獲得最大的收益的同時(shí)降低風(fēng)險(xiǎn)。

該問題需設(shè)計(jì)一個(gè)投資組合方案，這是一個(gè)優(yōu)化問題。要確定各種投資資產(chǎn)的額度，要求目標(biāo)滿足：凈收益盡達(dá)到最大，而總風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小，因此，這是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題。

設(shè)投資si的投資資金為xi，其收益為fi（xi），則

■

交易費(fèi)用與其購買資金有關(guān)，設(shè)投資si的資金xi，所需支付的交易費(fèi)為Ci（xi），則

■

其中C0（X0）=0。

投資si的凈收益Ri（Xi）為投資的收益與交易費(fèi)之差，即

■

由于交易費(fèi)ci（xi）是分段函數(shù)，使得問題討論起來比較復(fù)雜，難于計(jì)算。一般來說，若投資項(xiàng)目si，其投資額xi都會超過ui，根據(jù)假設(shè)3，piui相對于總的投資額M很小，可以忽略不計(jì)。因此，在下面的模型建立中，不考慮各投資的定額。

設(shè)投資Si的風(fēng)險(xiǎn)為

■

其中q0=0。

投資凈收益總額為

■

投資總風(fēng)險(xiǎn)為

■

組合投資的約束條件為所有投資所需（購買費(fèi)用與所需手續(xù)費(fèi)之和）為M，即

■

在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可設(shè)M=1，從而上述約束為

■

因此，總收益最大，總風(fēng)險(xiǎn)最小的多目標(biāo)優(yōu)化模型為

■

（二）組合投資簡化模型

一般情況下，通用模型中的兩個(gè)目標(biāo)是不可能同時(shí)達(dá)到，因?yàn)閮羰找嬖酱髣t風(fēng)險(xiǎn)也會隨著增加，反之也是一樣的。因此，不可能提出同時(shí)滿足這兩個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)決策方案，只能在一定的前提下，滿足一個(gè)目標(biāo)：在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下，使得凈收益達(dá)到最大，或者在總收益一定的情況下，使得總風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小，或者在收益和風(fēng)險(xiǎn)按固定偏好比例分配的情況下，達(dá)到最優(yōu)決策方案?；谏鲜鏊悸罚梢詫⒍嗄繕?biāo)優(yōu)化模型，簡化為單目標(biāo)優(yōu)化模型，便于計(jì)算。

設(shè)該投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度不超過K（qiXi≤k），追求風(fēng)險(xiǎn)度k以下的總盈利最大值，可以有相應(yīng)的投資方式。而這樣就將多目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)變成單一目標(biāo)線性規(guī)劃模型。市場中，投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)不同，這就有了不同的投資組合方式選擇。市場上常見的投資風(fēng)格大體可概括為三種：激進(jìn)型、穩(wěn)健型和保守型。

激進(jìn)型投資是指通過獲得股票價(jià)格產(chǎn)生的價(jià)差為目的的投資。激進(jìn)型投資者多將資金投放于價(jià)格波動(dòng)幅度大的股票種類，如熱門股、投機(jī)股等，并頻繁買賣，以承擔(dān)較大風(fēng)險(xiǎn)來獲取利益。穩(wěn)健型投資是指風(fēng)險(xiǎn)居中的投資方式，穩(wěn)健型投資者多有一定風(fēng)險(xiǎn)承受能力，但仍希望獲得穩(wěn)定的較高收益。保守型投資方式是指風(fēng)險(xiǎn)較低的投資方式，保守型投資者大多只適量投資自己熟悉的或者已獲利的資產(chǎn)，不輕易投資新項(xiàng)目。

下面分別對三種投資風(fēng)格建立模型。

模型1：激進(jìn)型投資模型

投資者選擇更多高收益的資產(chǎn)，其風(fēng)險(xiǎn)承受度較高。假設(shè)投資的風(fēng)險(xiǎn)水平是，即要求投資總風(fēng)險(xiǎn)限制在以內(nèi)，即

■

此時(shí)，通用模型中總風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)就轉(zhuǎn)化為了約束條件，從而得到簡化模型1：

■

模型2：保守型投資模型

假設(shè)投資者希望總凈收益在水平l以上，即

■

在此前提下，滿足投資總風(fēng)險(xiǎn)要達(dá)到最小，從而得到簡化模型。

■

該問題是極小極大規(guī)劃問題，不便宜計(jì)算，因此，引入變量x■= ■q■x■，將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題

■

模型3：穩(wěn)健型投資模型

若投資者既要考慮凈收益最大，又要考慮總風(fēng)險(xiǎn)最小，可以設(shè)置一個(gè)投資偏好參數(shù)■，則通用模型可以簡化為

■

類似模型2，引入變量■，將模型3改為線性規(guī)劃模型

■

四、總結(jié)

本文討論組合投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)，建立以總凈收益和總風(fēng)險(xiǎn)為目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，結(jié)合實(shí)際投資情況，對模型進(jìn)行簡化，通過控制風(fēng)險(xiǎn)使凈收益達(dá)到最大，保證凈收益使得風(fēng)險(xiǎn)最小，以及引入投資偏好系數(shù)，兼顧了收益與風(fēng)險(xiǎn)，將多目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)模型。

上述建立的簡化模型，正好對應(yīng)了投資的三張風(fēng)格：激進(jìn)型、保守型和穩(wěn)健型。在本文中，大多數(shù)穩(wěn)健型的投資者總能在追求收益的同時(shí)降低投資風(fēng)險(xiǎn)過高所帶來的損失，因此在實(shí)際問題中，考慮到投資者的偏好，穩(wěn)健型投資方式達(dá)到了最優(yōu)組合投資的標(biāo)準(zhǔn)。在現(xiàn)實(shí)生活中，穩(wěn)健型的投資總是為人們所青睞，正是因?yàn)樗軌蚴雇顿Y者的投資最有目的。

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