殷 杰，齊 飛，鞠 峰，陳 柏

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引 言

隨著達(dá)芬奇手術(shù)機(jī)器人的出現(xiàn)和推廣應(yīng)用[1]，機(jī)器人輔助介入手術(shù)系統(tǒng)得到廣泛的關(guān)注，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)這個(gè)領(lǐng)域展開(kāi)一系列研究。相比于傳統(tǒng)介入手術(shù)治療，機(jī)器人技術(shù)能夠提高醫(yī)療器械靈巧性和控制精度，同時(shí)能大大提高手術(shù)成功率和降低醫(yī)生的疲勞程度[2]。當(dāng)微創(chuàng)介入導(dǎo)管機(jī)器人進(jìn)入人體時(shí)，保證機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度是非常關(guān)鍵的，很小的力損失都會(huì)對(duì)人體造成傷害，甚至威脅病人的生命。因此，手術(shù)機(jī)器人精確力控制一直是研究的熱點(diǎn)和難題[3]。為了實(shí)現(xiàn)精確力控制，需要研究手術(shù)機(jī)器人系統(tǒng)的力傳輸特性。

介入導(dǎo)管手術(shù)機(jī)器人主要采用繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)[4]，能在狹小的血管中運(yùn)動(dòng)，減小體積和重量，有較高的靈活性。然而，由于滯后、側(cè)隙、死區(qū)等非線性問(wèn)題，繩驅(qū)動(dòng)方式存在一些缺陷，這些非線性行為導(dǎo)致張力損失和系統(tǒng)性能差[5]。根據(jù)機(jī)械結(jié)構(gòu)傳動(dòng)模型進(jìn)行劃分，繩驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)大致可以?xún)煞N：一種是通過(guò)滑輪進(jìn)行換向，其傳動(dòng)路線固定；第二種可以通過(guò)套索進(jìn)行傳動(dòng)，其傳動(dòng)路線可以是任意方向。這兩種傳動(dòng)方式在醫(yī)療機(jī)器人中都有所應(yīng)用，如下肢外骨骼康復(fù)機(jī)器人，達(dá)芬奇手術(shù)機(jī)器人，Sensei送管機(jī)器人系統(tǒng)，腹腔鏡手術(shù)機(jī)器人等[6]。但是由于在傳動(dòng)過(guò)程中存在非線性摩擦，導(dǎo)致在使用力控制模型控制導(dǎo)管機(jī)器人時(shí)，難以準(zhǔn)確控制其驅(qū)動(dòng)力的大小。

一種解決方式是在傳動(dòng)系統(tǒng)末端添加傳感器測(cè)量實(shí)際輸出力，但是由于機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜且微小，不易直接在末端添加傳感器。同時(shí)傳感器對(duì)環(huán)境的要求很高，在插管實(shí)驗(yàn)時(shí)人體環(huán)境會(huì)對(duì)其較大干擾，導(dǎo)致精度下降。

另一種方式是通過(guò)建立傳動(dòng)模型對(duì)輸出力進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)和計(jì)算，這種方式是現(xiàn)在主流的研究方向。吳青松等[7]推導(dǎo)了任意負(fù)載條件下的雙套索力矩傳動(dòng)模型，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證雙套索系統(tǒng)在正弦輸入各階段力矩傳動(dòng)關(guān)系，并建立摩擦補(bǔ)償模型；GAO Xiao-ping[8-9]對(duì)Capstan方程進(jìn)行改進(jìn)，引入power法則摩擦力和彎曲剛度對(duì)高性能的紗線傳動(dòng)模型進(jìn)行分析，為精確控制張力提供理論依據(jù)；XUE Ren-feng[10]將該方法應(yīng)用于腹腔鏡手術(shù)機(jī)器人末端執(zhí)行器，并提出了力和位置補(bǔ)償策略；PENG Yun[11]基于任意拉格朗日歐拉耦合法，提出了有效的摩擦索滑輪系統(tǒng)多體建模方法。

針對(duì)介入導(dǎo)管機(jī)器人的滑輪繩索傳動(dòng)結(jié)構(gòu)，本文在Capstan方程基礎(chǔ)上，建立系統(tǒng)傳動(dòng)模型，并分析傳動(dòng)過(guò)程中非線性摩擦力，通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)分析傳動(dòng)模型的準(zhǔn)確性，在不加入傳感器的情況下，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)繩索末端輸出力。

1 滑輪繩索系統(tǒng)

在機(jī)器人驅(qū)動(dòng)單元中由于繩索需要換向和預(yù)緊，在傳動(dòng)系統(tǒng)中常使用滑輪進(jìn)行傳動(dòng)和換向，同時(shí)在繩驅(qū)動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)中存在非線性摩擦和導(dǎo)管本體反作用力，在手術(shù)過(guò)程中很難預(yù)測(cè)力和位置[12-14]。本文建立了驅(qū)動(dòng)單元的力傳遞模型，以便更好地實(shí)現(xiàn)導(dǎo)管力控制，保證導(dǎo)管介入的安全性和可靠性。

介入導(dǎo)管機(jī)器人單節(jié)繩索通過(guò)兩組滑輪進(jìn)行轉(zhuǎn)向，最終將力傳遞到導(dǎo)管前端。導(dǎo)管采用單線驅(qū)動(dòng)方式，其本身可以看成彈性體，施加外力變形，撤去外力恢復(fù)原狀，因此可以用彈簧等效為導(dǎo)管本體，機(jī)器人驅(qū)動(dòng)模塊滑輪繩索系統(tǒng)圖如圖1所示。

圖1 機(jī)器人驅(qū)動(dòng)模塊滑輪繩索系統(tǒng)圖虛線—該狀態(tài)下力的方向；P1，P2—兩個(gè)滑輪;R0—驅(qū)動(dòng)軸半徑;R1，θ1——滑輪P1半徑和夾角;R2，θ2—滑輪P2半徑和夾角。

整個(gè)系統(tǒng)類(lèi)似于一個(gè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，具有兩種獨(dú)立的狀態(tài)。實(shí)線表示電機(jī)正轉(zhuǎn)時(shí)，繩索處于繃緊狀態(tài)，此時(shí)驅(qū)動(dòng)繩索受到電機(jī)輸出力Tin和彈簧阻力Tout的作用，且Tin﹥Tout，繩索收縮，拉緊彈簧，黑色箭頭表示該狀態(tài)下力的方向；當(dāng)電機(jī)反轉(zhuǎn)時(shí)，繩索處于放松狀態(tài)，且Tin

2 滑輪繩索建模

2.1 經(jīng)典Capstan方程

經(jīng)典的Capstan方程用于建立皮帶輪的傳動(dòng)模型，主要研究摩擦力對(duì)其傳動(dòng)效率的影響，是相對(duì)簡(jiǎn)單的傳動(dòng)模型。由于摩擦力和張力的作用，繩索張力在滑輪兩端的力是不相等的。

(1)

式中:Ti-1，i—輸入力；Ti+1，i—輸出力；μ，—摩擦系數(shù)；α—包角。

由公式可見(jiàn)，當(dāng)摩擦系數(shù)和包角一定時(shí)，輸入力Ti-1，i和輸出力Ti+1，i成線性關(guān)系；當(dāng)摩擦系數(shù)和輸入力一定時(shí)，包角越大，輸出力越??；當(dāng)包角和輸入力一定時(shí)，摩擦系數(shù)越大，輸出力越小。

2.2 非線性摩擦建模

經(jīng)典的Capstan方程相對(duì)簡(jiǎn)單，假設(shè)條件較苛刻。僅僅考慮當(dāng)兩個(gè)物體接觸的時(shí)候，遵循Amontons準(zhǔn)則[15]。Amontons準(zhǔn)則只是對(duì)純剛體試用，當(dāng)兩個(gè)物體產(chǎn)生粘彈性變形時(shí)，遵循Power準(zhǔn)則，力的表達(dá)式為：

F=aNn,n≤1

(2)

式中：F—摩擦力；N—正向力；a—接觸特性常量1；n—接觸特性常量2。

當(dāng)n=1時(shí)，材料體現(xiàn)塑性變形；當(dāng)n=0.67時(shí)，材料體現(xiàn)出粘彈性變形。當(dāng)a=μ，n=1時(shí)，Power準(zhǔn)則和Amontons準(zhǔn)則一致。而本文采用的大力馬的釣魚(yú)線是一種高強(qiáng)度聚乙烯纖維線，屬于超高分子聚合物，同時(shí)具備粘性和彈性。理想彈性體是受到外力形變很小，符合胡克定律，撤去外力后能夠恢復(fù)原狀。理想粘性液體是指符合牛頓定律的流體，撤去外力之后不能恢復(fù)。在外力作用下，高分子材料的特性會(huì)介于彈性和粘性之間。

在滑輪傳動(dòng)過(guò)程中，整個(gè)受力過(guò)程如圖2所示。

圖2 繩索受力分析圖T—繩子的張力；N—繩子的正壓力；V—運(yùn)動(dòng)方向；M—剪切力矩；Q—剪切應(yīng)力；F—摩擦力；α—包角；Rj—第j個(gè)滑輪半徑；r—繩索半徑；R—滑輪半徑與繩索半徑之和

在無(wú)限小繩索中點(diǎn)處取原點(diǎn)O，X軸沿切線方向向右?？紤]到x，y方向的受力平衡和扭矩M平衡，可以推導(dǎo)出X方向受力平衡：

(3)

Y方向受力平衡：

(4)

M轉(zhuǎn)矩平衡：

rdF=0

(5)

由于 dα→0，sindα→dα，cosdα→1 ，方程可以簡(jiǎn)化為:

(6)

整套系統(tǒng)包括非線性摩擦，但是由于使用了柔性繩，可以忽略彎曲剛度的影響。

把Q=M=0，r=0代入式(3，4)可得：

T=aNn-Tdα+dN=0

(7)

最終可得：

(8)

在Ti-1，i滑輪輸入繩子的輸入力Ti-1，i和輸出力Ti+1，i，輸入力Ti-1，i和輸出力Ti+1，i的關(guān)系為：

(9)

根據(jù)式(9)分析可得：在a，n，θ一定的情況下，輸入力越大，輸出力越大；當(dāng)輸入力不變時(shí)，包角θ越大，輸出力越小。

3 滑輪繩索系統(tǒng)仿真及實(shí)驗(yàn)分析

3.1 仿真分析

本研究令輸出力Ti，i+1=1，改變a和n取值，即改變接觸特性，模擬繩索材料兩種變形狀態(tài)，繪制出輸出輸入比例(1/Ti-1，i)隨包角變化的曲線。筆者利用經(jīng)典模型，當(dāng)n=1時(shí)，改變a的值，繪制出曲線(實(shí)線和點(diǎn)虛線)。根據(jù)非線性摩擦模型，保證a值為0.15和0.30，分別取n為0.99(塑性變形)和0.67(粘彈性變形)進(jìn)行仿真。

本研究同時(shí)對(duì)兩種模型進(jìn)行對(duì)比仿真，一種是經(jīng)典的Capstan方程模型，另一種是包含非線性摩擦力的滑輪繩索模型，兩種模型仿真對(duì)比圖如圖3所示。

圖3 兩種模型仿真對(duì)比圖

在經(jīng)典Capstan方程中，當(dāng)n=1時(shí)，摩擦系數(shù)μ=a，得到曲線一、二，兩條曲線在包角變大時(shí)，其輸出輸入的比值越小，由于輸出力一定，a越大輸入力越大，力損失也就越大，控制精度相對(duì)較差；而考慮其非線性摩擦?xí)r，在a不變時(shí)，對(duì)比塑性變形和粘彈性變形(n=1，n=0.67)，可知塑性變形時(shí)，包角和輸出輸入比成負(fù)相關(guān)，而粘彈性變形時(shí)，輸入力和輸出力的差值較小，力損失小，有利于提高控制精度。

對(duì)比曲線1(實(shí)線)和曲線4(虛線)，其a和n的值是一致的，兩種模型不同，但繪制的曲線相同，由此可見(jiàn)非線性摩擦模型和經(jīng)典Capstan方程具有一致性，經(jīng)典Capstan方程是非線性摩擦模型一種特殊情況。

利用非線性模型對(duì)輸入力和輸出力進(jìn)行仿真，使μ=0.3，n=0.67，θ=π，令輸出力：

(10)

式中：f—頻率，f=0.03 Hz；t—時(shí)間。

將輸入力代入式(9)，計(jì)算Ti-1，i輸入力的大小，同時(shí)模擬力損失的大小。

仿真分析圖如圖4所示。

圖4 仿真分析圖

由圖4(a)可知，在一個(gè)周期內(nèi)，輸入力隨時(shí)間先變小之后變大，輸出力也是先變小后變大，并且成正弦分布；由4(b)可知，力損失是隨時(shí)間近似成正弦分布，在輸入力最大時(shí)，輸出力最大，力損失最大；在輸入力最小時(shí)，輸出力最小，力損失也最小。

3.2 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

本研究對(duì)上述兩種模型進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證理論和仿真的準(zhǔn)確性。根據(jù)簡(jiǎn)圖1搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)

本研究在輸入和輸出端添加拉力傳感器，以便測(cè)量力的大小。拉力傳感器用于測(cè)量輸入力和輸出力，利用送變器將力學(xué)量轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)電壓信號(hào)輸出0～5 V，并直接與自動(dòng)控制設(shè)備接口或與計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)。Maxon電機(jī)提供初始的預(yù)緊力，以及位置模式下正弦輸出，保證正弦輸出力，實(shí)現(xiàn)繩長(zhǎng)和力控制。電機(jī)控制器用于發(fā)送命令控制電機(jī)，具有速度、位置和電流模式，同時(shí)具有兩個(gè)模擬量輸入端口，可以讀取兩個(gè)拉力傳感器的數(shù)值，并將數(shù)據(jù)發(fā)送至上位機(jī)進(jìn)行處理。

首先在實(shí)驗(yàn)前，需要對(duì)兩個(gè)傳感器進(jìn)行標(biāo)定，保證測(cè)量值的準(zhǔn)確性。測(cè)量時(shí)，空載狀態(tài)為300 g，分別再加載0，200 g，400 g，600 g，800 g，1 000 g，1 200 g，1 400 g，1 600 g，1 800 g，2 000 g，2 200 g，2 400 g，2 600 g，2 800 g，3 000 g，3 200 g的砝碼，等信號(hào)穩(wěn)定后，讀取電壓值并保存至文本文件中，在Matlab中對(duì)其求平均值，在利用cftool工具包擬合曲線，得到兩組標(biāo)定曲線。

3.3 實(shí)驗(yàn)分析

該實(shí)驗(yàn)利用Maxon電機(jī)的位置模式，輸入正弦軌跡：

(11)

式中：β—輸出角度變化，Maxon電機(jī)位置模式中以qc為單位，2 048 qc為電機(jī)轉(zhuǎn)一圈的大小。

通過(guò)調(diào)整電機(jī)位置，拉動(dòng)繩索控制初始預(yù)緊力。繩索的伸長(zhǎng)量為：

(12)

彈簧的拉力隨伸縮量變化，實(shí)驗(yàn)中阻力的等于彈簧的拉力：

(14)

式中：r1—旋轉(zhuǎn)軸半徑；k—彈性系數(shù)；x彈—彈簧伸縮量(繩索的伸縮量)。

大力馬線受力伸長(zhǎng)量很小，可以忽略，因此繩索的伸長(zhǎng)量x與彈簧伸縮量x彈相等。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析圖

如圖6(a)所示，在100 s內(nèi)3個(gè)周期中，輸入力和輸出力都是通過(guò)拉力傳感器實(shí)際測(cè)量的力，輸出力隨著輸入力的變化而發(fā)生變化。在一個(gè)周期內(nèi)輸入力先下降，電機(jī)反轉(zhuǎn)，彈簧收縮，此時(shí)彈簧相當(dāng)于驅(qū)動(dòng)力，將彈簧力作為輸入力，靠近電機(jī)端的力視為輸出力；到達(dá)谷底的時(shí)候，輸入力逐漸增加，電機(jī)正轉(zhuǎn)，此時(shí)電機(jī)的力為輸入力(驅(qū)動(dòng)力)，彈簧被動(dòng)伸長(zhǎng)，彈簧受力為輸出力，輸出力也逐漸變大。造成這種現(xiàn)象的原因是由于摩擦力的方向在電機(jī)正、反轉(zhuǎn)的時(shí)候不同，導(dǎo)致輸入和輸出力之間不斷轉(zhuǎn)換。

輸入力和輸出力的偏差即代表力的損失量，在滑輪繩索系統(tǒng)中，力損失主要是由于滑輪摩擦帶來(lái)的，因此滑輪摩擦可以近似等于力損失，如圖6(b)所示。分析摩擦力曲線可知：摩擦力大小是隨時(shí)間近似成正弦分布，在輸入力最大時(shí)，摩擦力最大，在輸入力最小時(shí)，摩擦力也最小，這與仿真的結(jié)果是相一致的。

在上述實(shí)驗(yàn)中，a，n，θ都是定值，不會(huì)影響實(shí)驗(yàn)中輸出力和輸入力的測(cè)量。為了驗(yàn)證滑輪摩擦模型是否準(zhǔn)確，本研究改變滑輪包角并進(jìn)行正弦運(yùn)動(dòng)，找到運(yùn)動(dòng)過(guò)程中輸出力為20 N時(shí)，輸入力的大小，計(jì)算輸入和輸出力之比，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 不同包角輸入力和輸出力的比值

表1中，隨著包角角度的不斷變大，其輸出輸入的比值不斷變小，摩擦力也就不斷增加。但是整體下降幅度不大，單滑輪所受摩擦力較小，輸入力和輸出力相差不大。

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到的點(diǎn)線如圖7所示。

圖7 模型仿真及實(shí)驗(yàn)擬合曲線

擬合曲線與(a=0.15，n=0.67)考慮非線性摩擦的仿真分析結(jié)果一致?？梢钥闯觯媒?jīng)典模型時(shí)，其輸入輸出比小，摩擦力損失較大。而考慮到非線性摩擦，其輸入輸出比小，摩擦力損失小，有利于力傳遞。同時(shí)在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，繩索的摩擦具有粘彈性，其不能等效為普通剛體，經(jīng)典Capstan方程并不適用于該系統(tǒng)，系統(tǒng)摩擦力較小。本文采用的繩索為高分子聚乙烯纖維，屬于聚合物，具有粘彈性，因此其實(shí)驗(yàn)結(jié)果與粘彈性模型最為相似，在實(shí)際驅(qū)動(dòng)過(guò)程中，可以采用此模型進(jìn)行力控制，能夠提高控制精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)介入導(dǎo)管機(jī)器人繩驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)，研究了繩索在傳動(dòng)過(guò)程中受到的摩擦力，利用經(jīng)典Capstan方程分析繩索受力，考慮到非線性摩擦問(wèn)題，根據(jù)Power準(zhǔn)則，分析了繩索粘彈性變形，建立了繩索-滑輪傳動(dòng)模型。同時(shí)保證正弦輸出力前提下，利用非線性摩擦模型仿真輸入力以及系統(tǒng)力損失，并分析了力損失與輸入力和輸出力的關(guān)系。

本研究利用電機(jī)位置模式輸入正弦軌跡，保證正弦輸出力，測(cè)量了輸入力和輸出力，計(jì)算得到了力損失。通過(guò)改變包角，得到了實(shí)際輸入和輸出力的比值與包角關(guān)系曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果相符合，進(jìn)一步驗(yàn)證了摩擦模型的準(zhǔn)確性，為介入手術(shù)機(jī)器人精確力控制提供了理論支撐。

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