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(同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,上海 201804)

PMU優(yōu)化配置(OPP)問題是一個(gè)非確定性多項(xiàng)式(NP)問題,需要尋找一個(gè)有效且高效的算法。文獻(xiàn)[2]中提出了基于免疫二值粒子群算法的OPP,將安裝的PMU個(gè)數(shù)和不可觀測的節(jié)點(diǎn)數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù),并使PMU個(gè)數(shù)最少。文獻(xiàn)[3]中使用非支配排序遺傳算法解決OPP問題,對所有的節(jié)點(diǎn)都根據(jù)支配和非支配關(guān)系進(jìn)行分層排序,同一層節(jié)點(diǎn)指定同一個(gè)虛擬適應(yīng)度,保證了同一層節(jié)點(diǎn)個(gè)體有相同的復(fù)制概率。文獻(xiàn)[4]中提出了利用免疫遺傳算法來解決OPP問題,并分析了電力系統(tǒng)中任意一個(gè)設(shè)備出現(xiàn)故障時(shí)的觀測情況。文獻(xiàn)[5]中使用二進(jìn)制遺傳算法對PMU進(jìn)行優(yōu)化配置,考慮了傳統(tǒng)電流測量,在PMU配置確定的基礎(chǔ)上最小化電流相量測量數(shù)。文獻(xiàn)[6]中研究了基于禁忌算法的OPP,同時(shí)考慮了電力系統(tǒng)的完全可觀測性和最大冗余度。文獻(xiàn)[7-9]中分析了基于整數(shù)線性規(guī)劃的系統(tǒng)可觀測性。

差分進(jìn)化(DE)算法由于其強(qiáng)大的全局優(yōu)化能力引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。1995年Storn等[10]首次提出了一種簡單、有效的DE算法。DE算法在OPP問題中也得到了應(yīng)用。文獻(xiàn)[11]中考慮了電力系統(tǒng)完全可觀測的情況下DE算法在OPP問題中應(yīng)用的有效性和準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[12]中針對給定系統(tǒng)利用DE算法的5種變異策略實(shí)現(xiàn)OPP,使完全可觀測PMU數(shù)目達(dá)到最小。文獻(xiàn)[13]中討論了不考慮系統(tǒng)零注入節(jié)點(diǎn)和考慮系統(tǒng)零注入節(jié)點(diǎn)2種情況下,DE算法在OPP問題中的應(yīng)用。

為了進(jìn)一步提高DE算法的準(zhǔn)確性,本文提出使用并行差分進(jìn)化(PDE)算法解決基于全局可觀測的OPP問題。

1 基于全局可觀測的OPP問題模型

1.1 OPP問題的優(yōu)化目標(biāo)

對于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng),根據(jù)給定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),系統(tǒng)OPP問題的優(yōu)化目標(biāo)是在滿足一定約束條件下,使得下式成立:

(1)

式中:f(x)為目標(biāo)函數(shù),表示電力系統(tǒng)配置PMU最佳方案時(shí)耗費(fèi)的總價(jià);n為給定的母線節(jié)點(diǎn)數(shù),如果節(jié)點(diǎn)i上安裝了PMU,則xi=1(i=1,2,…,n),否則xi=0(i=1,2,…,n);wi為節(jié)點(diǎn)i上安裝PMU時(shí)耗費(fèi)的造價(jià),在本文中將wi作為常數(shù)來處理。因此,可以將式(1)的數(shù)學(xué)模型簡化為

(2)

式(2)中f(x)表示該電力系統(tǒng)配置PMU的最小數(shù)目。不失一般性,采用式(2)作為優(yōu)化指標(biāo)。

1.2 僅考慮系統(tǒng)全局可觀測

對于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng),系統(tǒng)全局可觀測的約束條件可以表示為觀測函數(shù)f(X),如下所示:

f(X)=AX≥M

(3)

式中:X=x1,x2,…,xnT;A是一個(gè)n×n的矩陣,表示電力系統(tǒng)的拓?fù)鋱D所對應(yīng)的鄰接矩陣,如果節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j連通或者i=j,則aij=1,否則aij=0;M是一個(gè)n階的單位列向量。

2.3.1 Box-Behnken模型建立及試驗(yàn)結(jié)果。通過響應(yīng)面設(shè)計(jì)Box-Behnken對GASP提取率建立數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化提取工藝參數(shù)，共有17個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，12個(gè)分析因子，5個(gè)零點(diǎn)。以分析因子為自變量在A、B、C構(gòu)成三維頂點(diǎn)；零點(diǎn)為區(qū)域的中心點(diǎn)。零點(diǎn)試驗(yàn)重復(fù)5 次，用以估算試驗(yàn)誤差[20]。以GASP提取率為響應(yīng)值，試驗(yàn)結(jié)果見表2。

以電力系統(tǒng)的IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[14]為例,如圖1所示。圖1中,橫向粗實(shí)線表示節(jié)點(diǎn),數(shù)字1～14表示14個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號,細(xì)實(shí)線表示輸電線,節(jié)點(diǎn)上的箭頭表示該節(jié)點(diǎn)上有負(fù)載,G表示發(fā)電機(jī),雙圓圈符號表示變壓器。

圖1 IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topology diagram of IEEE-14 bus system

由式(3)可知,對于節(jié)點(diǎn)1,為了達(dá)到節(jié)點(diǎn)1至少觀測一次(f1≥1),那么必須在其相鄰節(jié)點(diǎn)上配置PMU,即變量x1、x2或者x5中至少有一個(gè)值為非零。同理,如果整個(gè)IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)完全可觀測,fi≥1(i=1,2,…,14)就都要成立,即要求每一個(gè)fi表達(dá)式的變量都至少有一個(gè)非零。

此時(shí),OPP問題的數(shù)學(xué)模型就為式(2)和式(3)的聯(lián)立方程組。

1.3 考慮零注入節(jié)點(diǎn)且系統(tǒng)全局可觀測

對于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng),考慮零注入節(jié)點(diǎn)且要求系統(tǒng)全局可觀測的約束條件可以表示為

f(X)=AX+C≥M′

(4)

同樣以IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例,討論式(4)中零注入可觀測向量C和修改后可觀測需求向量M′的構(gòu)成和取值。

在IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中,節(jié)點(diǎn)7為零注入節(jié)點(diǎn),由圖1可知,節(jié)點(diǎn)4、節(jié)點(diǎn)8和節(jié)點(diǎn)9與零注入節(jié)點(diǎn)7相連接。假設(shè)節(jié)點(diǎn)i為零注入節(jié)點(diǎn),與節(jié)點(diǎn)i相連接的節(jié)點(diǎn)數(shù)為k,如果(k+1)個(gè)節(jié)點(diǎn)中有k個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓可知,則可以計(jì)算出剩余那個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓。因此,如果節(jié)點(diǎn)4、節(jié)點(diǎn)7、節(jié)點(diǎn)8和節(jié)點(diǎn)9中任意3個(gè)節(jié)點(diǎn)可觀測,則通過計(jì)算可知第4個(gè)節(jié)點(diǎn)可觀測。構(gòu)造零注入可觀測輔助變量h4、h7、h8、h9,如下所示:

(5)

式中:·表示邏輯與。比如,觀測函數(shù)中的變量f7、f8和f9都非零時(shí)h4=1,否則h4=0。列向量C的定義如下所示:

(6)

列向量M′定義為[15]

(7)

在IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中,C和M′分別為

C=0,0,0,h4,0,0,h7,h8,h9,0,0,0,0,0T

(8)

M′=1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1T

(9)

此時(shí),OPP問題的數(shù)學(xué)模型即為式(2)和式(4)的聯(lián)立方程組。

2 PDE算法求解OPP問題的方法

本文提出的基于PDE算法求解OPP問題的具體流程如圖2所示。圖2中,P為種群迭代次數(shù),Pmax為最大種群迭代次數(shù)。

圖2 PDE算法求解OPP問題流程Fig.2 Flow chart of PDE for OPP problem

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文按照第2節(jié)給出的PDE算法求解OPP問題流程,利用Matlab并行計(jì)算工具箱的spmd結(jié)構(gòu)模塊實(shí)現(xiàn)DE算法的并行化。在IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE-57節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例上進(jìn)行差分進(jìn)化和并行差分進(jìn)化,分別考慮系統(tǒng)全局可觀測和零注入節(jié)點(diǎn)且系統(tǒng)全局可觀測2種場景,比較DE算法和PDE算法的尋優(yōu)能力和收斂速度。

本實(shí)驗(yàn)環(huán)境如下所示:處理器為Intel(R) Core(TM) i3-3220 3.30 GHz;內(nèi)存為4.00 GB RAM的操作系統(tǒng),32 bit,Windows 7;Matlab版本為V7.11.0.584(R2010b)。

對同一系統(tǒng),設(shè)置相同的算法參數(shù),分別運(yùn)用DE算法和PDE算法進(jìn)行20次仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。表1中,F為縮放因子,CR為交叉概率,D為數(shù)據(jù)的維數(shù),N為個(gè)體的個(gè)數(shù)。Cmax定義為:假定某一個(gè)PMU配置候選解經(jīng)過指定次數(shù)Cmax的迭代而保持不變,則認(rèn)為算法已收斂,把該P(yáng)MU配置候選解定義為PMU配置的最優(yōu)解。仿真結(jié)果如表2和表3所示。

表1 DE算法和PDE算法初始參數(shù)設(shè)置Tab.1 Initial parameter setting of DE algorithm and PDE algorithm

表2 不考慮零注入節(jié)點(diǎn)情況下DE算法和PDE算法最優(yōu)解對比Tab.2 Comparison of the best solution between DE algorithm and PDE algorithm without considering zero-injection node

表3 考慮零注入節(jié)點(diǎn)情況下 DE和PDE算法最優(yōu)解對比Tab.3 Comparison of the best solution between DE algorithm and PDE algorithm considering zero-injection node

表2和表3是從PMU配置最優(yōu)解平均值和在20次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中得到最小PMU配置最優(yōu)解次數(shù)2個(gè)方面對DE算法和PDE算法進(jìn)行比較。從PMU配置最優(yōu)解平均值可以看出,對于IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng),PDE算法相對于DE算法的PMU配置最優(yōu)解平均值基本相同。對于IEEE-30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和IEEE-57節(jié)點(diǎn)系統(tǒng),PDE算法的PMU配置最優(yōu)解平均值優(yōu)于DE算法。從得到最小PMU配置最優(yōu)解次數(shù)可以看出,PDE算法在有限的運(yùn)行次數(shù)中可以尋找到更優(yōu)的OPP問題的解。因此,當(dāng)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的維數(shù)增大時(shí),PDE算法的優(yōu)勢就會(huì)越明顯。

4 結(jié)語

本文提出了一種全局可觀測并行差分進(jìn)化PMU配置方法。在不考慮零注入條件全局可觀測PMU配置和考慮零注入條件全局可觀測PMU配置2種情況下,將PDE算法與DE算法進(jìn)行比較。結(jié)果表明,隨著系統(tǒng)規(guī)模的提升,PDE算法獲得比DE算法更優(yōu)的PMU配置方案。

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