喬曉華,徐 毅,孫玉霞,武花干
(1. 江蘇理工學(xué)院電氣信息工程學(xué)院 江蘇 常州 213001;2. 常州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 江蘇 常州 213164)
憶阻器因具有非線性和記憶性[1-3],在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4-5]、保密通信[6-7]、計(jì)算機(jī)內(nèi)存[8-9]、生物仿真[10-11]等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景,得到了各領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注,并取得了豐富的研究成果。特別在電路中,憶阻器作為非線性元件引入電路之后,電路的混沌振蕩將變得更加容易實(shí)現(xiàn),其動力學(xué)行為更為復(fù)雜,所以憶阻混沌電路及其動力學(xué)特性研究逐漸成為了學(xué)術(shù)研究的新熱點(diǎn)[12],近年來獲得了系列研究成果[13-18]。
隱藏吸引子是近幾年新提出的一類吸引子。為了與傳統(tǒng)的含有一個或者多個不穩(wěn)定焦鞍點(diǎn)的混沌系統(tǒng)進(jìn)行分類,文獻(xiàn)[19]將傳統(tǒng)的混沌系統(tǒng)定義為自激系統(tǒng),以區(qū)別近年來發(fā)現(xiàn)的沒有平衡點(diǎn)激發(fā)也能產(chǎn)生吸引子的隱藏混沌系統(tǒng)。隱藏吸引子存在于不與任何平衡點(diǎn)的小鄰域相交的吸引盆中。為了更好地把握隱藏系統(tǒng)的潛在功能,對于存在隱藏吸引子的系統(tǒng)研究也成為了學(xué)術(shù)研究的新熱點(diǎn)。隱藏吸引子最早是在經(jīng)典Chua電路中發(fā)現(xiàn)的[20],而后學(xué)者們利用基于二極管對的非線性濾波電路[21]或者基于二極管橋的廣義憶阻器[22]替換Chua電路中的蔡氏二極管,同樣發(fā)現(xiàn)了這些新型Chua電路具有復(fù)雜的隱藏動力學(xué)行為。進(jìn)一步,將實(shí)際物理電路中的隱藏動力學(xué)行為特點(diǎn)延伸至混沌系統(tǒng)中,通過改造Chua[23]、Lorenz[24-25]、Rabinorich[26]等系統(tǒng)以及憶阻自激振蕩系統(tǒng)[27]也產(chǎn)生了具有多穩(wěn)定性的隱藏混沌或超混沌吸引子。這些電路或系統(tǒng)中除了具有隱藏動力學(xué)行為,還存在吸引子的共存現(xiàn)象[27],即不同的初始條件會導(dǎo)致系統(tǒng)軌線分別演化到不同的吸引子上,從而產(chǎn)生共存吸引子即多穩(wěn)定性[28]。多穩(wěn)定性現(xiàn)象是非線性動力學(xué)系統(tǒng)中普遍存在的一種物理現(xiàn)象,而隱藏吸引子也是一種特殊的多穩(wěn)定性現(xiàn)象[29]。另外,在文獻(xiàn)[30]構(gòu)建的簡單四維系統(tǒng)中,隱藏吸引子有著分別從瞬態(tài)超混沌和瞬態(tài)周期過渡到穩(wěn)態(tài)混沌的復(fù)雜瞬態(tài)行為。
已有文獻(xiàn)通過在三階混沌電路或三維混沌系統(tǒng)中引入憶阻[31],得到了一類憶阻混沌或超混沌電路和系統(tǒng)[13-18],但關(guān)于憶阻電路和系統(tǒng)產(chǎn)生隱藏超混沌吸引子并具有共存多吸引子的文獻(xiàn)報(bào)道相對較少[27]。本文通過在經(jīng)典Lü系統(tǒng)[32]的第二方程中添加一個線性反饋項(xiàng)和一個常數(shù)項(xiàng),并在第一方程中引入一個憶阻,提出了一種新穎的、無任何平衡點(diǎn)的、基于憶阻的改進(jìn)型Lü系統(tǒng)。改進(jìn)后的憶阻Lü系統(tǒng)可以產(chǎn)生周期、準(zhǔn)周期、混沌和超混沌等復(fù)雜隱藏動力學(xué)行為,且能在不同的初始條件下產(chǎn)生不同的周期極限環(huán)或弱混沌與周期極限環(huán)的隱藏多吸引子共存現(xiàn)象。
從混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)角度來看,在積分電路的輸入項(xiàng)中,電阻表示線性增益,憶阻表示非線性增益,而直流分量,則代表常數(shù)項(xiàng)[33]。一種常用的憶阻模型可以描述為[33]:
式中,u是憶阻的輸入電壓變量;i是憶阻的輸出電流變量;φ是憶阻的內(nèi)部磁通變量;α+βφ2是描述憶導(dǎo)變化的非線性函數(shù)。
在經(jīng)典Lü系統(tǒng)的第二方程中添加線性反饋項(xiàng)dx和常數(shù)項(xiàng)e,且在第一方程中引入一個式(1)描述的憶阻,即可構(gòu)建出一種新穎的憶阻超混沌Lü系統(tǒng),其數(shù)學(xué)模型表示為:
式中,x、y、z和w為4個狀態(tài)變量;a、b和c為經(jīng)典Lü系統(tǒng)3個控制參數(shù)。為了研究該憶阻Lü系統(tǒng)的隱藏動力學(xué)特性,固定系統(tǒng)參數(shù)a=36,b=20,c=3,d=5,e=0.1,α=4,β=0.18,選擇增益g為系統(tǒng)唯一的可調(diào)節(jié)參數(shù)。
通過憶阻Lü系統(tǒng)的方程式(2)可以得到:
由式(3)可知,?V<0,說明系統(tǒng)是耗散的,同時(shí)也說明Lü系統(tǒng)的改進(jìn)和憶阻的引入沒有改變原經(jīng)典Lü系統(tǒng)的耗散度。
令x˙ =y˙ =z˙ =w˙ =0,顯然式(2)不存在任何數(shù)學(xué)解,即所提出的憶阻Lü系統(tǒng)不存在任何平衡點(diǎn),完全不同于具有3個平衡點(diǎn)的經(jīng)典Lü系統(tǒng)。根據(jù)隱藏吸引子的定義[19-29],無平衡點(diǎn)的憶阻Lü系統(tǒng)所產(chǎn)生的周期極限環(huán)、準(zhǔn)周期極限環(huán)、混沌吸引子和超混沌吸引子均是隱藏的。
系統(tǒng)(2)的雅克比矩陣為:
相應(yīng)的特征方程為:
基于式(4),利用Wolf算法可計(jì)算得到憶阻Lü系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)。
以憶阻的增益g作為調(diào)節(jié)參數(shù),設(shè)置初始條件為(1,0,1,0),隨憶阻的增益g在區(qū)域[6,16]變化的李雅普諾夫指數(shù)譜如圖1a所示,與之對應(yīng)的狀態(tài)變量z的分岔圖如圖1b所示。
當(dāng)憶阻增益g=6時(shí),LE1=0,其余3個李雅普諾夫指數(shù)LE2、LE3、LE4<0,憶阻Lü系統(tǒng)處于周期態(tài)。在6<g<7.69內(nèi),憶阻Lü系統(tǒng)處于周期態(tài)或弱混沌態(tài)。當(dāng)g=7.69且繼續(xù)增大時(shí),LE1、LE2=0,LE3、LE4<0,憶阻Lü系統(tǒng)從周期態(tài)過渡到準(zhǔn)周期態(tài)。隨著憶阻增益的繼續(xù)增大,在8.3<g<9.02內(nèi),LE1>0、LE2=0和LE3、LE4<0,憶阻Lü系統(tǒng)處于相對穩(wěn)定的混沌參數(shù)區(qū)間。當(dāng)憶阻增益繼續(xù)增大時(shí),LE1、LE2開始出現(xiàn)抖動,直到g=10.09時(shí)結(jié)束,憶阻Lü系統(tǒng)開始由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)移到超混沌狀態(tài)。在10.09<g<14.55內(nèi),LE1>0、LE2>0、LE3=0和LE4<0,憶阻Lü系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。自g=14.55且逐步增大至15時(shí),憶阻Lü系統(tǒng)交替處于超混沌狀態(tài)或混沌狀態(tài)。
圖1 系統(tǒng)(2)隨憶阻增益g變化的隱藏動力學(xué)行為
圖2 系統(tǒng)(2)在x-z平面上的相軌圖
在g>15之后,LE1=0,其余3個李雅普諾夫指數(shù)LE2、LE3、LE4<0,憶阻Lü系統(tǒng)迅速地收斂到一個點(diǎn)吸引子。在各參數(shù)區(qū)間選取典型的參數(shù)值,憶阻Lü系統(tǒng)在x-z平面上典型的相軌圖如圖2所示。
此外,圖3給出了典型超混沌吸引子在4個平面上的相軌圖。
圖3g=13.4,系統(tǒng)(2)典型超混沌吸引子的相軌圖
設(shè)定憶阻Lü系統(tǒng)的初始條件分別為(1,0,1,0)、(1,3,1,0)和(1,3,1,1),對應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)行軌跡分別用藍(lán)色、綠色和紅色3種顏色呈現(xiàn)。當(dāng)g在[5.959,5.973]和[6.9,7.0]區(qū)間變化時(shí),3種不同初始條件的狀態(tài)變量z的分岔圖分別如圖4和圖5所示。由圖4和圖5分析可知,當(dāng)g在[5.959,5.973]區(qū)間變化時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡因初始條件的不同而出現(xiàn)了3個不同的周期極限環(huán)共存現(xiàn)象,且3個極限環(huán)均有不同的李雅普諾夫指數(shù)譜;當(dāng)g在[6.9,7.0]區(qū)間變化時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡因初始條件的不同而出現(xiàn)了隱藏弱混沌和周期極限環(huán)共存的現(xiàn)象。圖4和圖5的結(jié)果說明,憶阻Lü系統(tǒng)產(chǎn)生了3個吸引子共存或弱混沌與周期極限環(huán)共存的多穩(wěn)定性現(xiàn)象。
圖4 在g∈ [5.959,5.973]內(nèi)的不同初始條件下,系統(tǒng)(2)的隱藏多吸引子分岔行為
圖5 在g∈[6.9,7.0]內(nèi)不同初始條件下,系統(tǒng)(2)的隱藏多吸引子分岔行為
當(dāng)選憶阻增益g=5.96時(shí),憶阻Lü系統(tǒng)系統(tǒng)(2)是周期的,可展示出3個隱藏極限環(huán)的共存現(xiàn)象,在x-z和x-w平面上的投影如圖6所示,紅色軌跡則表示從初始條件為(1,3,1,1)出發(fā)的運(yùn)行軌跡,藍(lán)色軌跡則表示從初始條件為(1,0,1,0)出發(fā)的運(yùn)行軌跡,綠色軌跡表示從初始條件為(1,3,1,0)出發(fā)的運(yùn)行軌跡。其中,紅色隱藏周期3極限環(huán)的4個李雅普諾夫指數(shù)分別為:LE1=0,LE2=-0.225 5,LE3=-0.226 4,LE4=-18.51,藍(lán)色隱藏周期3極限環(huán)的4個李雅普諾夫指數(shù)分別為:LE1=0,LE2=-0.297 6,LE3=-0.299,LE4=-18.37,綠色隱藏周期2極限環(huán)的4個李雅普諾夫指數(shù)分別為:LE1= 0,LE2=-0.298 4,LE3=-0.299,LE4=-18.36。當(dāng)憶阻增益g=6.936時(shí),憶阻Lü系統(tǒng)(2)是弱混沌的,或是周期的,完全取決于系統(tǒng)(2)的初始條件。共存的隱藏弱混沌吸引子與隱藏周期極限環(huán)的相軌圖如圖7所示。其中,紅色軌跡表示從初始條件(1,3,1,1)出發(fā)的運(yùn)行軌跡,為弱混沌帶,其4個李雅普諾夫指數(shù)分別為:LE1=0.010 35,LE2=-0.071 47,LE3=-0.154 6,LE4=-18.78,而藍(lán)色軌跡則表示從初始條件(1,0,1,0)出發(fā)的運(yùn)行軌跡,為周期2極限環(huán),其4個李雅普諾夫指數(shù)分別為:LE1=0,LE2=-0.083 78,LE3=-0.085 5,LE4=-18.84。
圖6 系統(tǒng)(2)的3個不同周期極限環(huán)共存現(xiàn)象
圖7 系統(tǒng)(2)弱混沌吸引子和周期極限環(huán)共存現(xiàn)象
采用電阻、電容、運(yùn)算放大器和模擬乘法器等分立元器件構(gòu)建的模擬電子電路實(shí)現(xiàn)本文提出的憶阻超混沌Lü系統(tǒng)。
在電路制作中,選用型號OP07CP作為運(yùn)算放大器,型號AD633JN作為模擬乘積器,兩者的工作電壓動態(tài)范圍分別為±16 V和±10 V??紤]到實(shí)際電路的輸出信號幅度不應(yīng)大于電路器件的飽和電壓,也不應(yīng)過小而導(dǎo)致信號失真。根據(jù)前述數(shù)值仿真結(jié)果,可知超混沌吸引子和共存多吸引子的x、y、z、w狀態(tài)變量的動態(tài)范圍分別在±15、±5、0~12、±4 V,因此,需要對系統(tǒng)(2)的狀態(tài)變量進(jìn)行線性縮放如下:
選擇時(shí)間尺度因子為k=1/(RC)。系統(tǒng)(2)經(jīng)過時(shí)間尺度因子轉(zhuǎn)換并進(jìn)行狀態(tài)變量線性縮放后的電路方程為:
式中,ux、uy、uz和uw表示電路中4個電容兩端的電壓,分別對應(yīng)于x、y、z和w狀態(tài)變量。
基于式(7)的電路方程,可設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)的電路原理圖如圖8所示。選擇時(shí)間尺度因子k中的R=36 kΩ和C=100 nF。與系統(tǒng)(2)比較,可得圖8中電容值均為C1=C2=C3=C4=C=100 nF,電阻值分別為R1=R2=R/a=1 kΩ,R3=R/c=12 kΩ,R4=R5=R/20=1.8 kΩ,R6=R/b=1.8 kΩ,R7=R/d=7.2 kΩ,R8=R9=R=36 kΩ,R10=R/2=18 kΩ和R13=2R=72 kΩ。此外,電阻R11和R12是聯(lián)動可調(diào)的,其參數(shù)值分別為:R11=R/gα,R12=R/100gβ。實(shí)現(xiàn)圖8的硬件實(shí)驗(yàn)電路圖如圖9所示。
采用Agilent DSO7054B數(shù)字示波器捕捉圖9硬件實(shí)驗(yàn)電路測試結(jié)果,其中4個節(jié)點(diǎn)電壓測量點(diǎn)被標(biāo)記為ux,uy,uz,uw。在典型電路參數(shù)下,當(dāng)g=13.4時(shí),憶阻超混沌Lü系統(tǒng)硬件電路輸出的隱藏超混沌吸引子在ux-uz、ux-uy、ux-uw和uw-uz平面上的相軌圖分別如圖10a~圖10d所示。進(jìn)一步地,當(dāng)g=5.96時(shí),聯(lián)動可調(diào)電阻的參數(shù)值分別固定為:R11=1 510 Ω,R12=335.5 Ω,從數(shù)字示波器上可捕捉到的3個共存隱藏極限環(huán)在ux-uz和ux-uw平面上的相軌圖分別如圖11a和圖11b所示。
圖8 系統(tǒng)(2)的實(shí)驗(yàn)電路原理圖
圖9 系統(tǒng)(2)的硬件實(shí)驗(yàn)電路圖
圖11g=5.96,系統(tǒng)(2)在不同平面上實(shí)驗(yàn)捕捉到的相軌圖
圖12g=6.936,系統(tǒng)(2)在不同平面上實(shí)驗(yàn)捕捉到的相軌圖
當(dāng)g=6.936時(shí),聯(lián)動可調(diào)電阻的參數(shù)值分別固定為:R11=1 297.5 Ω,R12=288.3 Ω時(shí),從數(shù)字示波器上可捕捉到的共存隱藏弱混沌吸引子與隱藏周期極限環(huán)在ux-uz和ux-uw平面上的相軌圖分別如圖12a和圖12b所示。這里,不同顏色標(biāo)注的實(shí)驗(yàn)波形是通過不斷接通和斷開圖9硬件電路的供電電源隨機(jī)捕捉到的。分別與圖3、6和7的數(shù)值仿真結(jié)果相比較,可見電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果完全一致,從而由硬件電路驗(yàn)證了憶阻超混沌Lü系統(tǒng)的隱藏超混沌吸引子和共存多吸引子的存在性。
通過改進(jìn)經(jīng)典Lü系統(tǒng)并引入磁控憶阻器,提出了一種新穎的基于憶阻的改進(jìn)型超混沌Lü系統(tǒng)。不同于傳統(tǒng)意義上的自激混沌系統(tǒng),該憶阻系統(tǒng)因無任何平衡點(diǎn),故所產(chǎn)生的吸引子均屬于隱藏吸引子。通過調(diào)節(jié)憶阻的增益可控制系統(tǒng)分別處于超混沌、混沌、準(zhǔn)周期或周期等振蕩狀態(tài)。特別地,在不同初始條件下,憶阻超混沌Lü系統(tǒng)會呈現(xiàn)3個不同周期極限環(huán)的共存現(xiàn)象,以及弱混沌吸引子和周期極限環(huán)的共存現(xiàn)象,說明新系統(tǒng)存在多穩(wěn)定性。最后,開展了電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,測量結(jié)果較好地驗(yàn)證了理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果。
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