喬曉華，徐 毅，孫玉霞，武花干

(1. 江蘇理工學(xué)院電氣信息工程學(xué)院 江蘇 常州 213001；2. 常州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 江蘇 常州 213164)

憶阻器因具有非線性和記憶性[1-3]，在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4-5]、保密通信[6-7]、計算機內(nèi)存[8-9]、生物仿真[10-11]等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景，得到了各領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注，并取得了豐富的研究成果。特別在電路中，憶阻器作為非線性元件引入電路之后，電路的混沌振蕩將變得更加容易實現(xiàn)，其動力學(xué)行為更為復(fù)雜，所以憶阻混沌電路及其動力學(xué)特性研究逐漸成為了學(xué)術(shù)研究的新熱點[12]，近年來獲得了系列研究成果[13-18]。

隱藏吸引子是近幾年新提出的一類吸引子。為了與傳統(tǒng)的含有一個或者多個不穩(wěn)定焦鞍點的混沌系統(tǒng)進行分類，文獻[19]將傳統(tǒng)的混沌系統(tǒng)定義為自激系統(tǒng)，以區(qū)別近年來發(fā)現(xiàn)的沒有平衡點激發(fā)也能產(chǎn)生吸引子的隱藏混沌系統(tǒng)。隱藏吸引子存在于不與任何平衡點的小鄰域相交的吸引盆中。為了更好地把握隱藏系統(tǒng)的潛在功能，對于存在隱藏吸引子的系統(tǒng)研究也成為了學(xué)術(shù)研究的新熱點。隱藏吸引子最早是在經(jīng)典Chua電路中發(fā)現(xiàn)的[20]，而后學(xué)者們利用基于二極管對的非線性濾波電路[21]或者基于二極管橋的廣義憶阻器[22]替換Chua電路中的蔡氏二極管，同樣發(fā)現(xiàn)了這些新型Chua電路具有復(fù)雜的隱藏動力學(xué)行為。進一步，將實際物理電路中的隱藏動力學(xué)行為特點延伸至混沌系統(tǒng)中，通過改造Chua[23]、Lorenz[24-25]、Rabinorich[26]等系統(tǒng)以及憶阻自激振蕩系統(tǒng)[27]也產(chǎn)生了具有多穩(wěn)定性的隱藏混沌或超混沌吸引子。這些電路或系統(tǒng)中除了具有隱藏動力學(xué)行為，還存在吸引子的共存現(xiàn)象[27]，即不同的初始條件會導(dǎo)致系統(tǒng)軌線分別演化到不同的吸引子上，從而產(chǎn)生共存吸引子即多穩(wěn)定性[28]。多穩(wěn)定性現(xiàn)象是非線性動力學(xué)系統(tǒng)中普遍存在的一種物理現(xiàn)象，而隱藏吸引子也是一種特殊的多穩(wěn)定性現(xiàn)象[29]。另外，在文獻[30]構(gòu)建的簡單四維系統(tǒng)中，隱藏吸引子有著分別從瞬態(tài)超混沌和瞬態(tài)周期過渡到穩(wěn)態(tài)混沌的復(fù)雜瞬態(tài)行為。

已有文獻通過在三階混沌電路或三維混沌系統(tǒng)中引入憶阻[31]，得到了一類憶阻混沌或超混沌電路和系統(tǒng)[13-18]，但關(guān)于憶阻電路和系統(tǒng)產(chǎn)生隱藏超混沌吸引子并具有共存多吸引子的文獻報道相對較少[27]。本文通過在經(jīng)典Lü系統(tǒng)[32]的第二方程中添加一個線性反饋項和一個常數(shù)項，并在第一方程中引入一個憶阻，提出了一種新穎的、無任何平衡點的、基于憶阻的改進型Lü系統(tǒng)。改進后的憶阻Lü系統(tǒng)可以產(chǎn)生周期、準周期、混沌和超混沌等復(fù)雜隱藏動力學(xué)行為，且能在不同的初始條件下產(chǎn)生不同的周期極限環(huán)或弱混沌與周期極限環(huán)的隱藏多吸引子共存現(xiàn)象。

1 憶阻超混沌Lü系統(tǒng)

1.1 數(shù)學(xué)模型

從混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)角度來看，在積分電路的輸入項中，電阻表示線性增益，憶阻表示非線性增益，而直流分量，則代表常數(shù)項[33]。一種常用的憶阻模型可以描述為[33]：

式中，u是憶阻的輸入電壓變量；i是憶阻的輸出電流變量；φ是憶阻的內(nèi)部磁通變量；α+βφ2是描述憶導(dǎo)變化的非線性函數(shù)。

在經(jīng)典Lü系統(tǒng)的第二方程中添加線性反饋項dx和常數(shù)項e，且在第一方程中引入一個式(1)描述的憶阻，即可構(gòu)建出一種新穎的憶阻超混沌Lü系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型表示為：

式中，x、y、z和w為4個狀態(tài)變量；a、b和c為經(jīng)典Lü系統(tǒng)3個控制參數(shù)。為了研究該憶阻Lü系統(tǒng)的隱藏動力學(xué)特性，固定系統(tǒng)參數(shù)a=36，b=20，c=3，d=5，e=0.1，α=4，β=0.18，選擇增益g為系統(tǒng)唯一的可調(diào)節(jié)參數(shù)。

1.2 基本動力學(xué)分析

通過憶阻Lü系統(tǒng)的方程式(2)可以得到：

由式(3)可知，?V＜0，說明系統(tǒng)是耗散的，同時也說明Lü系統(tǒng)的改進和憶阻的引入沒有改變原經(jīng)典Lü系統(tǒng)的耗散度。

令x˙ =y˙ =z˙ =w˙ =0，顯然式(2)不存在任何數(shù)學(xué)解，即所提出的憶阻Lü系統(tǒng)不存在任何平衡點，完全不同于具有3個平衡點的經(jīng)典Lü系統(tǒng)。根據(jù)隱藏吸引子的定義[19-29]，無平衡點的憶阻Lü系統(tǒng)所產(chǎn)生的周期極限環(huán)、準周期極限環(huán)、混沌吸引子和超混沌吸引子均是隱藏的。

系統(tǒng)(2)的雅克比矩陣為：

相應(yīng)的特征方程為：

基于式(4)，利用Wolf算法可計算得到憶阻Lü系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)。

1.3 隱藏動力學(xué)行為

以憶阻的增益g作為調(diào)節(jié)參數(shù)，設(shè)置初始條件為(1,0,1,0)，隨憶阻的增益g在區(qū)域[6,16]變化的李雅普諾夫指數(shù)譜如圖1a所示，與之對應(yīng)的狀態(tài)變量z的分岔圖如圖1b所示。

當憶阻增益g=6時，LE1=0，其余3個李雅普諾夫指數(shù)LE2、LE3、LE4＜0，憶阻Lü系統(tǒng)處于周期態(tài)。在6＜g＜7.69內(nèi)，憶阻Lü系統(tǒng)處于周期態(tài)或弱混沌態(tài)。當g=7.69且繼續(xù)增大時，LE1、LE2=0，LE3、LE4＜0，憶阻Lü系統(tǒng)從周期態(tài)過渡到準周期態(tài)。隨著憶阻增益的繼續(xù)增大，在8.3＜g＜9.02內(nèi)，LE1＞0、LE2=0和LE3、LE4＜0，憶阻Lü系統(tǒng)處于相對穩(wěn)定的混沌參數(shù)區(qū)間。當憶阻增益繼續(xù)增大時，LE1、LE2開始出現(xiàn)抖動，直到g=10.09時結(jié)束，憶阻Lü系統(tǒng)開始由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)移到超混沌狀態(tài)。在10.09＜g＜14.55內(nèi)，LE1＞0、LE2＞0、LE3=0和LE4＜0，憶阻Lü系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。自g=14.55且逐步增大至15時，憶阻Lü系統(tǒng)交替處于超混沌狀態(tài)或混沌狀態(tài)。

圖1 系統(tǒng)(2)隨憶阻增益g變化的隱藏動力學(xué)行為

圖2 系統(tǒng)(2)在x-z平面上的相軌圖

在g＞15之后，LE1=0，其余3個李雅普諾夫指數(shù)LE2、LE3、LE4＜0，憶阻Lü系統(tǒng)迅速地收斂到一個點吸引子。在各參數(shù)區(qū)間選取典型的參數(shù)值，憶阻Lü系統(tǒng)在x-z平面上典型的相軌圖如圖2所示。

此外，圖3給出了典型超混沌吸引子在4個平面上的相軌圖。

圖3g=13.4,系統(tǒng)(2)典型超混沌吸引子的相軌圖

2 隱藏多吸引子行為

設(shè)定憶阻Lü系統(tǒng)的初始條件分別為(1,0,1,0)、(1,3,1,0)和(1,3,1,1)，對應(yīng)的系統(tǒng)運行軌跡分別用藍色、綠色和紅色3種顏色呈現(xiàn)。當g在[5.959,5.973]和[6.9,7.0]區(qū)間變化時，3種不同初始條件的狀態(tài)變量z的分岔圖分別如圖4和圖5所示。由圖4和圖5分析可知，當g在[5.959,5.973]區(qū)間變化時，系統(tǒng)的運行軌跡因初始條件的不同而出現(xiàn)了3個不同的周期極限環(huán)共存現(xiàn)象，且3個極限環(huán)均有不同的李雅普諾夫指數(shù)譜；當g在[6.9,7.0]區(qū)間變化時，系統(tǒng)的運行軌跡因初始條件的不同而出現(xiàn)了隱藏弱混沌和周期極限環(huán)共存的現(xiàn)象。圖4和圖5的結(jié)果說明，憶阻Lü系統(tǒng)產(chǎn)生了3個吸引子共存或弱混沌與周期極限環(huán)共存的多穩(wěn)定性現(xiàn)象。

圖4 在g∈ [5.959,5.973]內(nèi)的不同初始條件下，系統(tǒng)(2)的隱藏多吸引子分岔行為

圖5 在g∈[6.9,7.0]內(nèi)不同初始條件下，系統(tǒng)(2)的隱藏多吸引子分岔行為

當選憶阻增益g=5.96時，憶阻Lü系統(tǒng)系統(tǒng)(2)是周期的，可展示出3個隱藏極限環(huán)的共存現(xiàn)象，在x-z和x-w平面上的投影如圖6所示，紅色軌跡則表示從初始條件為(1,3,1,1)出發(fā)的運行軌跡，藍色軌跡則表示從初始條件為(1,0,1,0)出發(fā)的運行軌跡，綠色軌跡表示從初始條件為(1,3,1,0)出發(fā)的運行軌跡。其中，紅色隱藏周期3極限環(huán)的4個李雅普諾夫指數(shù)分別為：LE1=0，LE2=-0.225 5，LE3=-0.226 4，LE4=-18.51，藍色隱藏周期3極限環(huán)的4個李雅普諾夫指數(shù)分別為：LE1=0，LE2=-0.297 6，LE3=-0.299，LE4=-18.37，綠色隱藏周期2極限環(huán)的4個李雅普諾夫指數(shù)分別為：LE1= 0，LE2=-0.298 4，LE3=-0.299，LE4=-18.36。當憶阻增益g=6.936時，憶阻Lü系統(tǒng)(2)是弱混沌的，或是周期的，完全取決于系統(tǒng)(2)的初始條件。共存的隱藏弱混沌吸引子與隱藏周期極限環(huán)的相軌圖如圖7所示。其中，紅色軌跡表示從初始條件(1,3,1,1)出發(fā)的運行軌跡，為弱混沌帶，其4個李雅普諾夫指數(shù)分別為：LE1=0.010 35，LE2=-0.071 47，LE3=-0.154 6，LE4=-18.78，而藍色軌跡則表示從初始條件(1,0,1,0)出發(fā)的運行軌跡，為周期2極限環(huán)，其4個李雅普諾夫指數(shù)分別為：LE1=0，LE2=-0.083 78，LE3=-0.085 5，LE4=-18.84。

圖6 系統(tǒng)(2)的3個不同周期極限環(huán)共存現(xiàn)象

圖7 系統(tǒng)(2)弱混沌吸引子和周期極限環(huán)共存現(xiàn)象

3 硬件電路驗證

采用電阻、電容、運算放大器和模擬乘法器等分立元器件構(gòu)建的模擬電子電路實現(xiàn)本文提出的憶阻超混沌Lü系統(tǒng)。

在電路制作中，選用型號OP07CP作為運算放大器，型號AD633JN作為模擬乘積器，兩者的工作電壓動態(tài)范圍分別為±16 V和±10 V?？紤]到實際電路的輸出信號幅度不應(yīng)大于電路器件的飽和電壓，也不應(yīng)過小而導(dǎo)致信號失真。根據(jù)前述數(shù)值仿真結(jié)果，可知超混沌吸引子和共存多吸引子的x、y、z、w狀態(tài)變量的動態(tài)范圍分別在±15、±5、0～12、±4 V，因此，需要對系統(tǒng)(2)的狀態(tài)變量進行線性縮放如下：

選擇時間尺度因子為k=1/(RC)。系統(tǒng)(2)經(jīng)過時間尺度因子轉(zhuǎn)換并進行狀態(tài)變量線性縮放后的電路方程為：

式中，ux、uy、uz和uw表示電路中4個電容兩端的電壓，分別對應(yīng)于x、y、z和w狀態(tài)變量。

基于式(7)的電路方程，可設(shè)計并實現(xiàn)的電路原理圖如圖8所示。選擇時間尺度因子k中的R=36 kΩ和C=100 nF。與系統(tǒng)(2)比較，可得圖8中電容值均為C1=C2=C3=C4=C=100 nF，電阻值分別為R1=R2=R/a=1 kΩ，R3=R/c=12 kΩ，R4=R5=R/20=1.8 kΩ，R6=R/b=1.8 kΩ，R7=R/d=7.2 kΩ，R8=R9=R=36 kΩ，R10=R/2=18 kΩ和R13=2R=72 kΩ。此外，電阻R11和R12是聯(lián)動可調(diào)的，其參數(shù)值分別為：R11=R/gα，R12=R/100gβ。實現(xiàn)圖8的硬件實驗電路圖如圖9所示。

采用Agilent DSO7054B數(shù)字示波器捕捉圖9硬件實驗電路測試結(jié)果，其中4個節(jié)點電壓測量點被標記為ux，uy，uz，uw。在典型電路參數(shù)下，當g=13.4時，憶阻超混沌Lü系統(tǒng)硬件電路輸出的隱藏超混沌吸引子在ux-uz、ux-uy、ux-uw和uw-uz平面上的相軌圖分別如圖10a～圖10d所示。進一步地，當g=5.96時，聯(lián)動可調(diào)電阻的參數(shù)值分別固定為：R11=1 510 Ω，R12=335.5 Ω，從數(shù)字示波器上可捕捉到的3個共存隱藏極限環(huán)在ux-uz和ux-uw平面上的相軌圖分別如圖11a和圖11b所示。

圖8 系統(tǒng)(2)的實驗電路原理圖

圖9 系統(tǒng)(2)的硬件實驗電路圖

圖11g=5.96，系統(tǒng)(2)在不同平面上實驗捕捉到的相軌圖

圖12g=6.936，系統(tǒng)(2)在不同平面上實驗捕捉到的相軌圖

當g=6.936時，聯(lián)動可調(diào)電阻的參數(shù)值分別固定為：R11=1 297.5 Ω，R12=288.3 Ω時，從數(shù)字示波器上可捕捉到的共存隱藏弱混沌吸引子與隱藏周期極限環(huán)在ux-uz和ux-uw平面上的相軌圖分別如圖12a和圖12b所示。這里，不同顏色標注的實驗波形是通過不斷接通和斷開圖9硬件電路的供電電源隨機捕捉到的。分別與圖3、6和7的數(shù)值仿真結(jié)果相比較，可見電路實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果完全一致，從而由硬件電路驗證了憶阻超混沌Lü系統(tǒng)的隱藏超混沌吸引子和共存多吸引子的存在性。

4 結(jié)束語

通過改進經(jīng)典Lü系統(tǒng)并引入磁控憶阻器，提出了一種新穎的基于憶阻的改進型超混沌Lü系統(tǒng)。不同于傳統(tǒng)意義上的自激混沌系統(tǒng)，該憶阻系統(tǒng)因無任何平衡點，故所產(chǎn)生的吸引子均屬于隱藏吸引子。通過調(diào)節(jié)憶阻的增益可控制系統(tǒng)分別處于超混沌、混沌、準周期或周期等振蕩狀態(tài)。特別地，在不同初始條件下，憶阻超混沌Lü系統(tǒng)會呈現(xiàn)3個不同周期極限環(huán)的共存現(xiàn)象，以及弱混沌吸引子和周期極限環(huán)的共存現(xiàn)象，說明新系統(tǒng)存在多穩(wěn)定性。最后，開展了電路實驗驗證，測量結(jié)果較好地驗證了理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果。

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