鮑景富，張 超，吳兆輝

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院 成都 611731)

微機(jī)械(MEMS)諧振器設(shè)計(jì)的振蕩器具有優(yōu)異的性能，在某些方面具有取代石英晶體的可能，比如MEMS與CMOS集成電路制造技術(shù)的兼容性可以實(shí)現(xiàn)全硅集成振蕩器[1]。諧振器的關(guān)鍵指標(biāo)有品質(zhì)因數(shù)(Q)和機(jī)電耦合系數(shù)(kt2)[2]，其中Q是改善振蕩器相位噪聲的關(guān)鍵參數(shù)[3]。目前的MEMS諧振器有多種結(jié)構(gòu)，比如自由梁式[4]、圓盤式[5]。自由梁式頻率可達(dá)吉赫茲，但在空氣中Q值較低，文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)的90 MHz自由梁諧振器Q值為2 000[4]；圓盤式頻率也可達(dá)吉赫茲，文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)的98 MHz圓盤諧振器在空氣中Q值可達(dá)8 000，但kt2小[5]。通常，氮化鋁(aluminum nitride, AlN)橫向模態(tài)諧振器有實(shí)現(xiàn)低的動(dòng)態(tài)阻抗(50 Ω)[6]和工作在極高頻率(可達(dá)到吉赫茲)[7]的優(yōu)點(diǎn)。AlN橫向模態(tài)諧振器顯示出足夠高的kt2，但其Q值有限，文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)的94.5 MHz諧振器Q值為2 363[8]。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在低溫低諧振頻率時(shí)錨點(diǎn)損耗(Qanc)為主要的能量損耗[9]，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)錨點(diǎn)損耗主要是由于諧振體與支撐梁及基底的聲波能量傳輸過(guò)程[10]。結(jié)合有限元(FEA)和完美匹配層(PML)的建模方法[11]，分析諧振體外加一個(gè)外框的支撐結(jié)構(gòu)，用此結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了諧振體與基底的退耦，減小通過(guò)支撐結(jié)構(gòu)造成的從諧振體到基底的能量損耗。并保持諧振體尺寸固定，研究外框的設(shè)置對(duì)諧振體Q的影響，通過(guò)對(duì)仿真結(jié)果和機(jī)械模型的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，說(shuō)明外框結(jié)構(gòu)能有效地減小基底造成的能量損耗，并且能顯著地改善諧振器的Q值。

1 AlN橫向振動(dòng)模式諧振器分析

AlN橫向振動(dòng)模態(tài)壓電諧振器是基于夾在頂層金屬導(dǎo)電層和底部摻雜單晶硅之間的AlN壓電薄膜制作的振動(dòng)平板，在壓電薄膜厚度(h)方向施加電場(chǎng)，利用壓電薄膜的31d產(chǎn)生一個(gè)橫向激勵(lì)[12]。對(duì)于特定的橫向尺寸比率的單晶硅平板，其1-D模型可以用于對(duì)橫向振動(dòng)模態(tài)的諧振器建模[13]。1-D模型的x方向在自由終端條件下的振動(dòng)模態(tài)和本征頻率分別為：

式中，L為諧振體長(zhǎng)度方向的尺寸；iE為在i方向的單向楊氏模量；mρ為諧振體的材料密度。

2 外框結(jié)構(gòu)的機(jī)械等效模型

在諧振器的錨點(diǎn)損耗分析中，使用部分阻尼的兩級(jí)隔振系統(tǒng)[14]的機(jī)械模型進(jìn)行建模。如圖1所示，外框結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為1m，彈性系數(shù)為1k，阻尼系數(shù)為c，諧振體的質(zhì)量為2m，彈性系數(shù)為2k。為簡(jiǎn)化分析，基底被認(rèn)為是聲波吸收材料，存在的阻尼合并到阻尼系數(shù)c中。

在機(jī)械模型中，令外框的位移為1x，諧振體的位移為2x，輸入激勵(lì)的位移為u。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)得物體的運(yùn)動(dòng)方程為：

圖1 外框結(jié)構(gòu)的機(jī)械等效模型

選取零初始條件，將以上兩個(gè)微分方程作拉氏變換，得到兩個(gè)復(fù)代數(shù)方程：

從以上兩個(gè)方程中消去X2(s)，得到振動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

上式中令jsω=，得到振動(dòng)系統(tǒng)的頻率特性為：

引入以下參數(shù)：

得到R(ω)為g,ξ,μ,f的函數(shù)T(g,ξ,μ,f)：

給定一組數(shù)據(jù)，系統(tǒng)中的質(zhì)量比為μ≈0.1，設(shè)k1≈k2，則固有頻率比f(wàn)≈3.3，阻尼比ξ取幾個(gè)不同數(shù)值，分別進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)圖2。

當(dāng)激勵(lì)頻率ω與外框諧振頻率ω1的比值g為10時(shí)，外框位移x1對(duì)輸入激勵(lì)的位移u的響應(yīng)接近零。

圖2T (g)的響應(yīng)圖

3 諧振器的錨點(diǎn)損耗仿真

一般情況下諧振器Q值定義為：

錨點(diǎn)損耗是由于彈性波從諧振器到基底的散射造成的，進(jìn)入襯底的彈性波被基底耗散，只有很少部分能量返回到諧振器。采用FEM仿真工具可以計(jì)算諧振器的Q值，圖3為AlN橫向振動(dòng)模態(tài)中Estored和Elost計(jì)算方法的圖形表示，其中Estored通過(guò)對(duì)諧振器和支撐梁的體積V積分得到，Elost通過(guò)對(duì)支撐梁和基底的接觸面(S)積分得到。T和S分別是應(yīng)力和應(yīng)變張量，x是位移向量，n是接觸面的單位法向量。

在FEM仿真軟件COMSOL中利用器件的對(duì)稱性，僅有1/4諧振器進(jìn)行網(wǎng)格劃分并用于仿真。圖4展示了結(jié)構(gòu)模型和用于仿真的網(wǎng)格劃分，典型的網(wǎng)格劃分包括四面體或鍥形元素，為了保證更好的仿真錨點(diǎn)損耗，在支撐點(diǎn)處盡量細(xì)分網(wǎng)格(縱向四面體元素大于4個(gè))。

本文對(duì)兩個(gè)30 MHz的諧振器進(jìn)行比較，如圖5所示，一種無(wú)外框結(jié)構(gòu)，一種具有外框結(jié)構(gòu)。仿真尺寸參數(shù)見(jiàn)表1，單晶硅材料參數(shù)見(jiàn)表2。

圖3 橫向模態(tài)振動(dòng)的FEM仿真

圖4 諧振器網(wǎng)格劃分示意圖

表1 仿真尺寸參數(shù)

表2 單晶硅材料參數(shù)

壓電諧振器輸出電壓頻率響應(yīng)與諧振器的機(jī)械位移-頻率響應(yīng)一致，為了簡(jiǎn)化分析過(guò)程，采用仿真點(diǎn)A處(見(jiàn)圖4)的位移-頻率響應(yīng)曲線計(jì)算錨點(diǎn)損耗(Qanc)。兩種不同結(jié)構(gòu)的諧振器仿真結(jié)果如圖6所示。

為仿真外框結(jié)構(gòu)邊寬eW對(duì)諧振器Qanc的影響，采用8個(gè)不同邊寬eW的外框結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真，得到結(jié)果如圖7所示。

圖5 具有外框結(jié)構(gòu)和無(wú)外框結(jié)構(gòu)示意圖

圖6 兩種不同結(jié)構(gòu)的仿真結(jié)果

圖7 外框邊寬 eW與諧振器Qanc值擬合曲線

1/Qanc可以表示能量損耗的程度，如圖8所示，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到外框邊寬We與 1 /Qanc的擬合曲線。由于We與外框質(zhì)量m1相關(guān)，機(jī)械模型中的輸入激勵(lì)頻率為諧振器工作頻率ωr。因此，T(g,ξ,μ,f)可以寫作We的函數(shù)T(We) 。

設(shè)ξ= 0 .001，及We= 3 5 μm對(duì)應(yīng)的u= 1 /7，g= 4 ，得到T(We) 的擬合曲線。如圖8所示，外框邊寬We與 1 /Qanc的擬合曲線與T(We) 擬合曲線逼近程度高。

圖8T( We ) 與 1 /Qa n c 的擬合曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

為了研究具有外框的退耦結(jié)構(gòu)對(duì)諧振器錨點(diǎn)損耗的減小作用，利用有限元仿真工具COMSOL建模并仿真。分析兩個(gè)不同支撐結(jié)構(gòu)的30 MHz AlN 橫向振動(dòng)模態(tài)壓電諧振器，一個(gè)無(wú)外框結(jié)構(gòu)而另一個(gè)有外框結(jié)構(gòu)。仿真結(jié)果顯示無(wú)外框結(jié)構(gòu)的諧振器Qanc=2 150，有外框結(jié)構(gòu)的諧振器達(dá)Qanc=43 000。對(duì)不同外框?qū)挾萫W的仿真結(jié)果顯示，外框結(jié)構(gòu)的機(jī)械等效模型與COMSOL仿真結(jié)果一致，從而該模型可以合理解釋諧振器與基底退耦的原理。從理論和仿真結(jié)果可以得出外框結(jié)構(gòu)能有效減小錨點(diǎn)損耗，并提升諧振器的Q值。

[1]van BEEK J T M, PUERS R. A review of MEMS oscillators for frequency reference and timing applications[J]. Journal of Micromechanics & Microengineering, 2012, 22(1)：013001.

[2]MASON W P, BAERWALD H. Piezoelectric crystals and their applications to ultrasonics[J]. Physics Today, 1951,4(5)： 23-24.

[3]ZUO C, SINHA N, PISANI M B, et al. 12E-3 channel-select RF mems filters based on self-coupled aln contour-mode piezoelectric resonators[C]//Ultrasonics Symposium. [S.l.]：IEEE, 2007： 1156-1159.

[4]WANG K, WONG A C, NGUYEN T C. VHF free-free beam high-Qmicromechanical resonators[J]. Journal of Microelectromechanical Systems, 2002, 9(3)： 347-360.

[5]ABDELMONEUM M A, DEMIRCI M U, NGUYEN T C.Stemless wine-glass-mode disk micromechanical resonators[C]//IEEE the Sixteenth International Conference on MICRO Electro Mechanical Systems. Kyoto： IEEE, 2003：698-701.

[6]RINALDI M, ZUNIGA C, ZUO C, et al.Super-high-frequency two-port AlN contour-mode resonators for RF applications[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics Ferroelectrics & Frequency Control, 2010, 57(1)：38.

[7]LIN C M, CHEN Y Y, FELMETSGER V V, et al.AlN/3C-SiC composite plate enabling high-frequency and high-Qmicromechanical resonators[J]. Advanced Materials,2012, 24(20)： 2721.

[8]ABDOLVAND R, LAVASANI H M, HO G K, et al.Thin-film piezoelectric-on-silicon resonators for high-frequency reference oscillator applications[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics Ferroelectrics & Frequency Control, 2008, 55(12)： 2596.

[9]SEGOVIA-FERNANDEZ J, CREMONESI M, CASSELLA C, et al. Anchor losses in ALN contour mode resonators[J].Journal of Microelectromechanical Systems, 2015, 24(2)：265-275.

[10]JUDGE J A, PHOTIADIS D M, VIGNOLA J F, et al.Attachment loss of micromechanical and nanomechanical resonators in the limits of thick and thin support structures[J]. Journal of Applied Physics, 2007, 101(1)：972.

[11]BASU U, CHOPRA A K. Perfectly matched layers for time-harmonic elastodynamics of unbounded domains：theory and finite-element implementation[J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering, 2003,192(11)： 1337-1375.

[12]HO G K, ABDOLVAND R, SIVAPURAPU A, et al.Piezoelectric-on-Silicon lateral bulk acoustic wave micromechanical resonators[J]. Journal of Microelectromechanical Systems, 2008, 17(2)： 512-520.

[13]POURKAMALI S, HO G K, AYAZI F. Vertical capacitive SiBARs[C]//IEEE International Conference on MICRO Electro Mechanical Systems. [S.l.]： IEEE, 2005： 211-214.

[14]丁文鏡. 減振理論[M]. 第2版. 北京： 清華大學(xué)出版社,2014.DING Wen-jing. Theory of vibration attenuation[M]. 2nd ed. Bejing： Tsinghua University Press, 2014