張鳳仙 湯春生

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”。我在教學(xué)植樹(shù)問(wèn)題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境，從簡(jiǎn)單的情況入手，在解決問(wèn)題的分析、思考過(guò)程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；植樹(shù)問(wèn)題；經(jīng)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2018）10-0171-01

1.經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程

在處理例1：在全長(zhǎng)100m的小路一邊植樹(shù)，每隔5m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹(shù)？這一問(wèn)題時(shí)，由放手讓學(xué)生獨(dú)立獨(dú)立解決：當(dāng)有學(xué)生說(shuō)出學(xué)生們可能會(huì)想到的答案：“100÷5=20（棵）”，進(jìn)行質(zhì)疑：“對(duì)嗎？請(qǐng)孩子們檢驗(yàn)一下”，從而引發(fā)學(xué)生的思考。接下來(lái) 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的常用方法──從簡(jiǎn)單的情況入手解決復(fù)雜的問(wèn)題即化繁為簡(jiǎn)。

嘗試處理“一條路長(zhǎng)20m，在路的一邊每隔5m栽一棵樹(shù)（兩端都栽），一共需要栽幾棵？”

這里先呈現(xiàn)直觀的圖示法，讓學(xué)生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個(gè)端點(diǎn)，一共有5個(gè)點(diǎn)，也就是要栽5棵樹(shù)

使學(xué)生發(fā)現(xiàn)植樹(shù)時(shí)確定樹(shù)苗數(shù)量的問(wèn)題并不能簡(jiǎn)單地用除法來(lái)解決。緊接著一個(gè)小男孩提出“25m可以栽幾棵？”這次用畫線段圖的方式解決問(wèn)題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生滲透歸納思想──一個(gè)特例不足以說(shuō)明問(wèn)題，多個(gè)不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向?qū)W生提問(wèn)：“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”啟發(fā)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹(shù)的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。同時(shí)教材進(jìn)一步提出“不畫圖，你知道30m、35m要栽幾棵樹(shù)嗎？”讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

2.體會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想

在“植樹(shù)問(wèn)題”中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，課上突出了線段圖的教學(xué)，通過(guò)幾何直觀幫助學(xué)生理解“植樹(shù)問(wèn)題”的數(shù)學(xué)模型。在探討關(guān)于一條線段、并且兩端都要栽的植樹(shù)問(wèn)題時(shí)，讓學(xué)生通過(guò)畫線段圖來(lái)發(fā)現(xiàn)栽樹(shù)的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。通過(guò)這兩幅圖，讓學(xué)生把“點(diǎn)”（樹(shù)）與“線”（間隔）一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)還多出一個(gè)“點(diǎn)”（樹(shù)），所以“栽樹(shù)棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。對(duì)于兩端都不栽、一端栽另一端不栽及在封閉曲線上植樹(shù)的問(wèn)題，放手讓學(xué)生通過(guò)遷移畫出的線段圖，并講述線段圖的畫法以及線段上的點(diǎn)數(shù)（棵數(shù)）與線（間隔）之間的聯(lián)系，突出“一一對(duì)應(yīng)”的思想。

3.感受轉(zhuǎn)化的研究方法，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在面對(duì)封閉圖形中的植樹(shù)問(wèn)題時(shí)，首先提示研究方法：“先畫圖試試看。假設(shè)周長(zhǎng)是40 m……”引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的研究經(jīng)驗(yàn)──直觀作圖、化繁為簡(jiǎn)來(lái)嘗試解決問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生直觀看出能栽4棵后，并不急于讓學(xué)生探索出封閉圖形植樹(shù)問(wèn)題中的規(guī)律（即間隔數(shù)等于棵數(shù)），而是進(jìn)一步提出問(wèn)題：“如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？”從而把學(xué)生的思維引向深處。讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考發(fā)現(xiàn)，化曲為直后，封閉圖形上植樹(shù)其實(shí)可以轉(zhuǎn)化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下來(lái)，通過(guò)兩位學(xué)生的對(duì)話“我發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與樹(shù)一一對(duì)應(yīng)”“相當(dāng)于一端栽，一端不栽”，不僅揭示了封閉圖形上植樹(shù)的規(guī)律，更是為學(xué)生溝通了知識(shí)之間的緊密聯(lián)系。

4.追溯植樹(shù)問(wèn)題的根源

到這里不禁要問(wèn)：植樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)到底是什么？“植樹(shù)問(wèn)題”是研究“樹(shù)的棵數(shù)”與“兩樹(shù)之間間隔數(shù)”之間數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是研究點(diǎn)與段的問(wèn)題。如何讓學(xué)生建立“點(diǎn)段”關(guān)系呢？結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，從除法問(wèn)題引申出植樹(shù)問(wèn)題。通過(guò)“20米，每5米分一段，共分幾段”和“20米路，每5米栽一棵樹(shù)，共栽幾棵樹(shù)”這兩題的比較分析，一來(lái)幫助學(xué)生理解這兩道題都是平均分，二來(lái)讓學(xué)生明白兩者的區(qū)別在于平均分是一段一段地分，而植樹(shù)是種在段與段之間的點(diǎn)上。進(jìn)而，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“植樹(shù)問(wèn)題”只是除法意義在生活中的延伸，明白“植樹(shù)問(wèn)題”其實(shí)只是點(diǎn)和段的問(wèn)題。

整個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程，孩子的思維在不斷的跳動(dòng)，眼、口、手、腦多種感官參與的教學(xué)活動(dòng)，讓本節(jié)課過(guò)程性目標(biāo)有效達(dá)成。課后的3w問(wèn)題分析，學(xué)生關(guān)于本節(jié)課what的問(wèn)題、why的問(wèn)題、how的問(wèn)題，清晰再現(xiàn)！要讓過(guò)程性目標(biāo)真正的落實(shí)，課上就要有學(xué)生的真參與、真活動(dòng)、真思考，3w問(wèn)題分析表就是檢驗(yàn)其過(guò)程性是否有效落實(shí)的有效工具。給孩子一個(gè)思維的支點(diǎn)，經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等活動(dòng)，使學(xué)生既學(xué)會(huì)一些解決問(wèn)題的一般方法與策略，滲透“猜測(cè)──探索──歸納──應(yīng)用”的解決問(wèn)題的策略和化繁為簡(jiǎn)的解決問(wèn)題的方法，從而積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。