況成潤

【關(guān)鍵詞】（勻速）圓周運(yùn)動(dòng)?向心加速度?線速度?方向?變化量?變化率?角速度?半徑

同學(xué)們在學(xué)習(xí)圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，是否考慮過一個(gè)物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度（包括方向）改變快慢和圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r到底有沒有關(guān)系呢？下面我開始論證這個(gè)問題。

加速度這個(gè)概念大家并不陌生。加速度的物理意義即是描述速度變化快慢的物理量。即一個(gè)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的加速度越大，單位時(shí)間內(nèi)速度變化量越大，又因?yàn)闀r(shí)間t相等，所以我們可以得出“一個(gè)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的加速度a越大，速度變化的就越快。”于是我們根據(jù)這個(gè)結(jié)論引出了圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度的物理意義。

眾所周知，牛頓第一定律上講到：一切物體總保持勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài)，除非有力作用在這個(gè)物體上，迫使它改變這種狀態(tài)。而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，既然方向在時(shí)時(shí)刻刻的改變，那么一定有一個(gè)力在“拉”著它繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)。這個(gè)改變它速度方向（運(yùn)動(dòng)方向）的力就是向心力。

再根據(jù)牛頓第二定律F=ma，從而可以得到向心加速度。類比加速度的物理意義，我們可以得到向心加速度a的物理意義，即描述圓周運(yùn)動(dòng)中速度方向改變快慢的物理量。進(jìn)而可以得到“一個(gè)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，它的向心加速度越大，速度改變的越快?！倍蛐募铀俣鹊谋磉_(dá)式為a=ω2r由此可知，向心加速度的大小跟ω（角速度）或者說ω2（角速度的平方）和r兩個(gè)變量有關(guān)系。

于是，我們可以得到“一個(gè)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其速度改變的快慢跟角速度（或角速度平方）和它做圓周運(yùn)動(dòng)的這個(gè)圓的半徑有關(guān)”這個(gè)結(jié)論。

那么接下來，我們從另一個(gè)角度去看。當(dāng)一個(gè)物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角速度越大，在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度就越大。因?yàn)榻撬俣仁敲枋鑫矬w轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量，即高中階段圓周運(yùn)動(dòng)中和角度有關(guān)的唯一一個(gè)物理量，所以為了簡化問題我們把它當(dāng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)來考慮。

第一種情況：設(shè)一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體a的角速ωa=5rad/s，ra=3m，ta=3s.經(jīng)過計(jì)算我們很自然地就可以得Δθa=15rad。

設(shè)另一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體b具有與物體a同樣的角速度，且運(yùn)動(dòng)同樣的時(shí)間，只不過物體b運(yùn)動(dòng)的半徑rb=6m。經(jīng)過計(jì)算可知，物體b的Δθb=15rad同物體a一樣。即物體a和物體b雖然半徑不同，但在相同的時(shí)間內(nèi)由于角速度相同轉(zhuǎn)過了相同的角度，所以兩物體速度方向變化的快慢應(yīng)是一樣的。

第二種情況：設(shè)一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體c的角速ωc=2rad/s，rc=5m，tc=10s，我們可以計(jì)算出物體c的Δθc=20rad。另一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體d的ωd=4rad/s，rd=5m，td=10s，我們依然可以計(jì)算出其Δθd=40rad。很明顯，物體d的運(yùn)動(dòng)半徑與物體c的運(yùn)動(dòng)半徑相等，但物體d的Δθd要大于物體c的Δθc，即在相同時(shí)間內(nèi)物體d轉(zhuǎn)過的角度要大于物體c轉(zhuǎn)過的角度。

所以，我們可以很自然的得出在相同的時(shí)間內(nèi)，物體d速度方向變化要快于物體c速度方向的變化。

經(jīng)過上面兩種情況的分析，當(dāng)兩物體的半徑不等而角速度相同時(shí)，在相等的時(shí)間內(nèi)兩物體速度方向變化的快慢相同;當(dāng)兩物體的半徑相等而角速度不等時(shí)，在相等的時(shí)間內(nèi)角速度大的物體速度方向變化的快。即一個(gè)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其速度方向改變的快慢與做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑無關(guān)，只與其做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度有關(guān)。

這個(gè)結(jié)論是否與根據(jù)a=ω2r所得出的結(jié)論相矛盾呢？這便是我所論述的高中階段物理學(xué)之圓周運(yùn)動(dòng)的速度變化快慢的沖突矛盾的問題。

然而，通過更深一步的探究，我發(fā)現(xiàn)加速度與向心加速度物理意義的類比過程并不準(zhǔn)確。加速度的物理意義是“描述速度變化快慢的物理量”，但是教材中并沒有給出向心加速度的具體物理意義。教材中僅說明“Fn產(chǎn)生指向圓心的加速度，就是向心加速度，它始終與速度方向垂直，其表現(xiàn)就是速度方向的改變”，所以導(dǎo)致了不少同學(xué)乃至老師的誤解，認(rèn)為向心加速度的物理意義就是描述圓周運(yùn)動(dòng)中線速度方向改變的快慢的物理量，進(jìn)而導(dǎo)致了所謂的“矛盾”的出現(xiàn)。

如圖所示，我們以O(shè)為圓心，以O(shè)A長為半徑做出一個(gè)圓，設(shè)其是某一質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡。取質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)A的線速度為va，方向?yàn)槌跏嘉恢玫姆较?，?jīng)過極短的時(shí)間Δt，此質(zhì)點(diǎn)由A運(yùn)動(dòng)到了B，這時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的線速度為vb，線速度的方向發(fā)生了改變，設(shè)線速度方向偏轉(zhuǎn)的角度為Δφ，A、B兩點(diǎn)與圓心的連線夾角設(shè)為Δθ，由矢量的平移和幾何知識(shí)可知，Δθ=Δφ。所以，線速度方向的變化率為：。由此可見，不管定性的分析還是定量的計(jì)算，我們都可以得出線速度方向改變的快慢只和角速度有關(guān)，其相對于時(shí)間的變化率用公式表達(dá)即ω，而并非向心加速度表達(dá)式an=ω2r。

經(jīng)過以上分析可知，向心加速度的物理意義是“由于線速度的方向變化而引起的那部分速度變化量的變化快慢的物理量”，而不能就此把它定結(jié)為“描述線速度方向改變快慢的物理量”這一錯(cuò)誤說法。

通過這段時(shí)間對圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)的深入了解和探究我懂得了在現(xiàn)代物理學(xué)尤其是高中階段物理學(xué)中，所謂的“矛盾”和“迷之難題”是不可能出現(xiàn)的，而其本質(zhì)就是對一些概念的模糊和錯(cuò)誤的引申。所以，在今后的物理學(xué)習(xí)中，我應(yīng)該加強(qiáng)對知識(shí)的探索與對問題的發(fā)現(xiàn)，然后進(jìn)而通過查閱資料等方式進(jìn)行解決。特別地，還應(yīng)更加注意對物理概念的理解要準(zhǔn)確，教材和資料上沒有給出明確說明的不能亂引申。

最后，對指導(dǎo)和幫助過我的張西星老師、王春偉老師及不辭辛苦幫我一遍遍收集資料和信息的媽媽表示深深地感謝！謝謝他們無私的幫助和關(guān)懷！

參考文獻(xiàn)：

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[5]高中物理必修二第五章向心力.人民教育出版社，2004.23-24.

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