胡其忠

所謂反例，是指與命題相反的例子.在初中數學教學中應用反例，是為了讓學生對命題中的條件形成準確了解，或者是針對學生的懷疑之處予以解惑.在學習數學時，學生會忽視命題中的一些條件或者條件的適用范圍，導致在應用命題時頻發(fā)錯誤.應用反例，能使學生對命題中的條件或條件的適用范圍形成深刻認知，在應用命題時付諸注意.反例教學，有利于打破學生的思維定式，培養(yǎng)學生的思維能力.在初中數學教學中，教師要巧妙應用反例.

一、利用反例，明晰概念

數學概念大都是抽象的.要想使處在抽象思維形成時期的初中學生準確掌握數學概念，教師就要在教學中予以條分縷析，否則會導致學生對概念的誤讀.針對概念中的條件舉出反例，能夠幫助學生識清概念.在學習概念時，因為知識的負遷移，學生會混淆一些概念.如果教師僅僅依靠正例教學，學生就會是一知半解，甚至一點不解，對于概念的掌握只會停留在片面的字句上.這時，教師要大膽地摒棄正例，應用反例，引導學生認清概念的本質，避免學生混淆概念.

例如，在講“函數”時，教材將函數定義為對于變量x的每一個值y都有唯一的值與之相對應.有些學生對這個概念的理解不正確，以為只要y隨著x的變化而變化，那么y就是x的函數，甚至有些學生對x和y的代表性也不理解，換了字母表示，便產生了質疑，思維過于僵化.如果教師一味地應用正例教學，學生不僅不能認識到自己理解概念的錯誤，反而會加深錯誤印象.教師可以舉出反例，讓學生理解函數概念，糾正學生的理解偏差.（1）如果y=|x|，那么y是不是x的函數？（2）如果|y|=x，那么y是不是x的函數，x是不是y的函數？（3）同學們的學習成績是不是學習時間的函數？在學習這些例子之后，學生對于函數的概念便會形成鮮明的認知.在（1）中，對于x，y是唯一的對應值，因此y是x的函數.在（2）中，對于x，y不是唯一的對應值，因此y不是x的函數.在（3）中，對于學習時間而言，學習成績具有偶然性，學習時間不是影響學習成績的唯一因素.

二、利用反例，明確定理與推論的適用范圍

真理之所以是真理，是因為其應用在一定的范圍內.初中數學中的定理和推論也是如此，有著明確的應用范圍.然而，在學習數學的過程中，有些學生忽視一些定理和推論的應用范圍，導致在做題時出錯.教師要應用反例進行教學，引起學生對定理和推論適用范圍的重視.

例如，在講“一元二次方程的實數根判別式”時，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果方程有實數根，則判別條件△=b2-4ac≥0；如果方程有兩個不同的實數根，△>0.這里特別需要注意的是a≠0.如果忽視這個條件，學生解題就會出現(xiàn)錯誤.此時教師可以舉一些反例進行教學.如，如果方程tx2-3x+2=0有兩個實數根，求t的取值范圍.有的學生根據題意得出△=（-3）2-4×2×t>0，從而求得t<98.這個答案顯然不正確.因為當t=0時，方程只有一個實數根.此題的答案為t<98且t≠0.通過這個例子，學生便會對判別式中a≠0（確定是一元二次方程）這個條件形成深刻的認知.

又如，在講“韋達定理時，韋達定理中提到方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根與方程中系數的關系：x1+x2=-ba，x1x2=ca.這個定理常常被用來求取由兩根組成的關系式的值，是一種便捷解題方式.但是韋達定理有一個適用范圍，方程有兩個不等實數根或者是函數與x軸有公共點.在使用韋達定理解題時，學生常常忽略這個適用范圍.為了提醒學生注意，教師可以舉一個反例：如果方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0的兩根為x1和x2，求x12+x22的取值范圍.有的學生是這樣解答此題的：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-k2-10k-6=-（k+5）2+19≤19.乍一看合情合理，可是并不是正確答案.如果把終點值19代入，即-k2-10k-6=19，由此解得k=-5，再把k的值代入方程中，方程變?yōu)閤2+7x+15=0.這個方程△=72-4×15=-11<0，方程并沒有實數根，與題意相違背.這道題學生錯就錯在沒有將方程有實數根考慮在內，即忽視了韋達定理的適用范圍.其實，這道題的解答還要加上一個條件（k-2）2-4（k2+3k+5）>0，解得-4

總之，反例在初中數學教學中的應用，能使學生對概念、定理與推論的諸條件與適用范圍形成清晰的認知.在初中數學教學中，教師要善于應用反例，提高教學效率.