韓冰海

(中航鋰電(洛陽(yáng))有限公司，洛陽(yáng) 471003)

0 引 言

航空齒輪減速器通常工作于高轉(zhuǎn)速高負(fù)荷工況，其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，是一個(gè)故障多發(fā)、可靠性差的部件,對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究和優(yōu)化具有重要的工程實(shí)際意義。傳統(tǒng)的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)多未考慮齒輪所受載荷和轉(zhuǎn)速等工況參數(shù)的隨機(jī)性、工藝水平的差異性，以及材料強(qiáng)度等力學(xué)性能參數(shù)的波動(dòng)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)和約束條件的影響，因此，優(yōu)化結(jié)果不可避免地與工程實(shí)際具有較大差異，即傳動(dòng)系統(tǒng)的性能仍可能隨著噪聲因素的變化而產(chǎn)生較大范圍內(nèi)的波動(dòng)。工程實(shí)際中通常通過(guò)嚴(yán)格控制加工制造精度以盡可能消除影響因素的波動(dòng)性，從而提高優(yōu)化目標(biāo)和約束條件的穩(wěn)健性，但是實(shí)際中卻難以實(shí)現(xiàn)，也會(huì)付出很大代價(jià)[1]。穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)理論[2]的蓬勃發(fā)展為齒輪減速器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了新思路。

1998年，Isaias C.Regalado[3]首次通過(guò)正交試驗(yàn)和田口法，以圓柱齒輪傳動(dòng)中大齒輪和小齒輪的彎曲疲勞壽命相差最小、接觸疲勞壽命相差最小、噪聲最小、效率最高和體積最小為優(yōu)化目標(biāo)，以齒數(shù)、壓力角、螺旋角、齒寬、刀具變位系數(shù)和法面模數(shù)等為設(shè)計(jì)變量，同時(shí)加入噪聲因素、壓力角偏差、螺旋角偏差和扭矩偏差，進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)；R.Dong等[4]發(fā)現(xiàn)齒輪的安全系數(shù)對(duì)噪聲因素比較敏感，采用插值分析方法對(duì)風(fēng)電齒輪箱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)度進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，并通過(guò)隨機(jī)抽樣對(duì)比了常規(guī)優(yōu)化設(shè)計(jì)和穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果，證明穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果能夠滿足設(shè)計(jì)要求；Shaul Salomon等[5]采用主動(dòng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，考慮載荷等工況參數(shù)的變化，以減速器的能源效率最高和產(chǎn)品花費(fèi)最低為目標(biāo)，對(duì)減速器的級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比進(jìn)行優(yōu)化；董恩國(guó)等[6]應(yīng)用雙響應(yīng)面方法，建立了行星齒輪機(jī)構(gòu)體積均值和方差的雙響應(yīng)面模型，對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計(jì)研究；周娜[7]將可靠性敏感性理論與穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法相結(jié)合，基于可靠性優(yōu)化模型研究了齒輪傳動(dòng)的可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)問(wèn)題，并提出了可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)的數(shù)值方法[7]。綜上所述，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究大多只考慮優(yōu)化目標(biāo)的穩(wěn)健性，而忽略約束條件的穩(wěn)健性，并且多為單目標(biāo)優(yōu)化。

針對(duì)航空齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的諸多問(wèn)題，本文以航空齒輪減速器中常用的斜齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，綜合考慮噪聲因素的波動(dòng)性，基于6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)理論，以重量、效率、可靠度為優(yōu)化目標(biāo)，建立齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，并采用NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解，得到Pareto前沿解集。

1 6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)基本理論

6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)是從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度出發(fā)，用概率模型分析不確定因素對(duì)產(chǎn)品性能產(chǎn)生的影響，再依據(jù)概率分析的方法來(lái)控制隨機(jī)變量對(duì)產(chǎn)品性能的影響，獲得滿足產(chǎn)品性能、可靠性和成本等各方面要求的最優(yōu)解集。它是將6σ質(zhì)量管理理念、可靠性設(shè)計(jì)、優(yōu)化設(shè)計(jì)以及穩(wěn)健設(shè)計(jì)相結(jié)合的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法，其中，對(duì)不確定性因素的處理全面綜合了蒙特卡洛分析法、可靠性分析和基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及田口法等方法的優(yōu)勢(shì)，是一套完整的評(píng)估、改進(jìn)可靠性和穩(wěn)健性的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[8]。在6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中，通過(guò)改進(jìn)設(shè)計(jì)變量的均值和方差，有效地降低產(chǎn)品違反性能約束的概率，提高產(chǎn)品的可靠度。

6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的通用數(shù)學(xué)模型為

minμf(x)+mσf(x)

s.t.μgj(x,p)+mσgj(x,p)≤0 (j=1,2,…,n)

xL+mσx≤x≤xU-mσx

(1)

式中：μf(x)和σf(x)分別為優(yōu)化目標(biāo)的均值和方差；μgj和σgj分別為第j個(gè)約束條件的均值和方差；m為σ水平，本文m取值為6；x為設(shè)計(jì)變量；xL和xU分別為設(shè)計(jì)變量x的上限值和下限值；σx為設(shè)計(jì)變量的方差。

從式(1)可以看出：6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)中包含了設(shè)計(jì)目標(biāo)的方差，從而使優(yōu)化目標(biāo)在接近最優(yōu)解的同時(shí)，其波動(dòng)量也達(dá)到了最小化，即保證了設(shè)計(jì)目標(biāo)的穩(wěn)健性；在約束中考慮了約束函數(shù)可能存在的容差，采用使約束函數(shù)偏離約束邊界的方法，以此提高設(shè)計(jì)的可靠性，可靠性的度量是6σ水平。

2 航空齒輪減速器6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

以單級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器為研究對(duì)象，通過(guò)分析并考慮可控因素和不可控因素，建立6σ穩(wěn)健優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并求取穩(wěn)健解的。

2.1 可控因素和不可控因素

參考ISO 6336齒輪標(biāo)準(zhǔn)[9-11]，總結(jié)出影響齒輪強(qiáng)度、重量、效率等性能的相關(guān)參數(shù)，如圖1所示，結(jié)合可控因素和噪聲因素的概念，可以看出：可控因素包括結(jié)構(gòu)參數(shù)和加工參數(shù)，其中，結(jié)構(gòu)參數(shù)包含齒數(shù)、模數(shù)、壓力角、螺旋角、變位系數(shù)和齒寬系數(shù)，加工參數(shù)包含刀具齒頂圓角半徑和精度等級(jí)；不可控因素包括工況參數(shù)和材料參數(shù)，其中，工況參數(shù)包含功率和轉(zhuǎn)速，材料參數(shù)包含接觸疲勞極限應(yīng)力和彎曲疲勞極限應(yīng)力。

圖1 齒輪性能相關(guān)參數(shù)

可控因素和不可控因素中各隨機(jī)變量的均值主要通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者參數(shù)手冊(cè)計(jì)算獲得，而其標(biāo)準(zhǔn)差通過(guò)變異系數(shù)C獲得[12]。

2.2 確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

按照航空齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)輕量化、高效率和高安全性的要求，在滿足承載能力的條件下，把傳動(dòng)系統(tǒng)的重量和效率作為優(yōu)化目標(biāo)。由于齒輪彎曲疲勞失效和齒面接觸疲勞破壞是航空齒輪最普遍的失效形式，而在航空發(fā)動(dòng)機(jī)的維修中，失效的齒輪中有85%是由于齒面的接觸疲勞破壞而失效的[13]。因此，將齒面接觸強(qiáng)度也作為優(yōu)化目標(biāo)之一。

(1) 目標(biāo)函數(shù)

設(shè)計(jì)目標(biāo)有三個(gè)，分別為傳動(dòng)系統(tǒng)的重量最小、齒面接觸強(qiáng)度最高、傳遞效率最高。

①傳動(dòng)系統(tǒng)的重量最小表示為

(2)

式中：ρ為齒輪的材料密度；V為傳動(dòng)系統(tǒng)的體積；b為齒寬；d1為主動(dòng)輪的分度圓直徑；i為傳動(dòng)比。

②齒面接觸強(qiáng)度最高表示為

Y2=-lnSH

(3)

③傳遞效率最高表示為

Y3=1-η

(4)

式中：η為傳遞效率。

(2) 設(shè)計(jì)變量

設(shè)計(jì)變量有六個(gè)，分別為主動(dòng)輪齒數(shù)z1、法面模數(shù)mn、壓力角α、螺旋角β、齒寬系數(shù)Фd以及精度等級(jí)Ag。

(3) 約束條件

約束條件有6個(gè)，分別為齒輪不發(fā)生根切，保證必要的重合度，不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉，保證必要的齒頂厚度，強(qiáng)度約束以及設(shè)計(jì)變量的邊界條件。

①齒輪不發(fā)生根切

加工變位齒輪時(shí)，主、從動(dòng)齒輪不產(chǎn)生根切的最小變位系數(shù)分別為

(5)

(6)

②保證必要的重合度

重合度與齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性直接相關(guān)，一般對(duì)重合度的要求為

(7)

③不發(fā)生過(guò)渡曲線干涉

主動(dòng)輪齒根與從動(dòng)輪齒頂不發(fā)生干涉的條件為

(8)

從動(dòng)輪齒根與主動(dòng)輪齒頂不發(fā)生干涉的條件為

(9)

④保證必要的齒頂厚度

正變位系數(shù)增大會(huì)導(dǎo)致齒輪齒頂厚度減小，因此，變位齒輪的齒頂厚度應(yīng)滿足一定的約束條件。

主動(dòng)輪齒頂厚度的約束為

(10)

從動(dòng)輪齒頂厚度的約束為

(11)

式中：da1和da2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的齒頂圓直徑；αn為分度圓的法向壓力角；mt為端面模數(shù)。

⑤強(qiáng)度約束

SF≥SFmin

(12)

SH≥SHmin

(13)

式中：SF和SH分別為齒輪的彎曲疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)和接觸疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)；SFmin和SHmin分別為齒輪的最小彎曲疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)和最小接觸疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)。

⑥設(shè)計(jì)變量的邊界條件

(14)

2.3 6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

在上述齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的基礎(chǔ)上，基于6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)理論，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型可表示為

minfk=μYk(x)+6σYk(x)(k=1,2,3)

s.t.μgj(x)+6σgj(x)≤0 (j=1,2,…,10)

xL+6σx≤xμ≤xU-6σx

(15)

6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法必須計(jì)算輸出的均值和方差，常用方法有蒙特卡洛模擬法和一次二階矩法[14]，且二者實(shí)現(xiàn)起來(lái)并不十分復(fù)雜，但蒙特卡洛方法為隨機(jī)抽樣，其所需采樣次數(shù)巨大，因此計(jì)算效率較低。本文采用一次二階矩方法實(shí)現(xiàn)對(duì)期望和方差的求解。將函數(shù)g(x1,x2,…,xn)在其均值點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開(kāi)：

(16)

式中：gμ為函數(shù)g(x)在xi=μi的值。

設(shè)各xi相互獨(dú)立，對(duì)式(16)取一次近似，可得：

=gμ=g(μi,μ2,…,μn)

(17)

(18)

或者寫(xiě)為

μg=gμ

(19)

(20)

把上述常規(guī)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型中的約束條件轉(zhuǎn)化為以下形式：

g≤0

(21)

通過(guò)一次二階矩法可以求得相應(yīng)約束變量的標(biāo)準(zhǔn)差。

對(duì)于約束條件中σSF和σSH的求解，由于

(22)

(23)

式中：σHG和σFG分別為齒輪的許用接觸應(yīng)力和許用彎曲應(yīng)力；σH和σF分別為齒輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力。

對(duì)式(22)～式(23)等式兩邊取對(duì)數(shù)，可得：

lnSH=lnσHG-lnσH

(24)

lnSF=lnσFG-lnσF

(25)

由于σHG、σFG、σH和σF分別服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，結(jié)合一次二階矩法，得：

(26)

(27)

結(jié)合σF、σFG、σH和σHG的變異系數(shù)公式：

(28)

(29)

(30)

(31)

式中：C為變異系數(shù)，下標(biāo)代表齒輪許用應(yīng)力和應(yīng)力計(jì)算過(guò)程的中間變量，其中，KA為使用系數(shù)；KV為動(dòng)載系數(shù)；KHβ和KFβ分別為計(jì)算接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的齒向載荷分布系數(shù)；KHα和KFα分別為計(jì)算接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的齒間載荷分配系數(shù)；YF為齒形系數(shù)；YS為應(yīng)力修正系數(shù)；KC為計(jì)算系數(shù)；ZE為彈性系數(shù)；YST為試驗(yàn)齒輪的應(yīng)力修正系數(shù)；YNT為計(jì)算彎曲應(yīng)力的壽命系數(shù)；YδrelT為相對(duì)齒根圓角敏感系數(shù)；YRrelT為相對(duì)齒根表面狀況系數(shù)；YX和ZX為尺寸系數(shù)；ZN為計(jì)算接觸應(yīng)力的壽命系數(shù)；ZL為潤(rùn)滑系數(shù)；ZV為速度系數(shù)；ZR為粗糙度系數(shù)；ZW為齒面工作硬化系數(shù)。

計(jì)算許用應(yīng)力和應(yīng)力所需要的中間變量的變異系數(shù)選取參見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。

由于服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的變量x的變異系數(shù)Cx和lnx的標(biāo)準(zhǔn)差之間存在如下關(guān)系：

(32)

根據(jù)Zhang Y M等[12]給出的中間變量的變異系數(shù)，可求得相應(yīng)的σF、σFG、σH和σHG的變異系數(shù)，然后根據(jù)式(32)求出相應(yīng)的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。

齒輪優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中的優(yōu)化目標(biāo)為重量、接觸強(qiáng)度和效率。重量的標(biāo)準(zhǔn)差可由一次二階矩方法求得；接觸強(qiáng)度安全系數(shù)和效率的標(biāo)準(zhǔn)差則可以采用上述計(jì)算方法。

2.4 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的求解

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。處理多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的傳統(tǒng)方法為將各目標(biāo)函數(shù)乘以權(quán)重系數(shù)并進(jìn)行線性相加，從而將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。顯然，在不同的權(quán)重系數(shù)下，模型求解所得到的結(jié)果也有所不同。隨著優(yōu)化理論的發(fā)展，基于Pareto最優(yōu)解機(jī)制的多目標(biāo)優(yōu)化算法被提出，其基本思想為獲取在無(wú)法改進(jìn)任何目標(biāo)函數(shù)的同時(shí)又不削弱至少一個(gè)其他目標(biāo)函數(shù)的一組解集。本文采用K.Deb[16]于2002年提出的NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行求解，該方法是目前非常優(yōu)秀的進(jìn)化多目標(biāo)算法，已在工程優(yōu)化中得到了廣泛應(yīng)用。

NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法的基本流程為：首先隨機(jī)生成包含一定數(shù)量個(gè)體的初始種群，然后對(duì)初始種群進(jìn)行非支配排序，再依次對(duì)種群進(jìn)行選擇、交叉和變異三種遺傳算法的基本操作，從而得到下一代種群；其次，將上述操作得到的子代種群和父代種群合并再進(jìn)行快速非支配排序，并計(jì)算各非支配層中個(gè)體的擁擠度；最后根據(jù)個(gè)體的擁擠度和非支配關(guān)系選擇同等規(guī)模的個(gè)體生成父代種群并繼續(xù)采用選擇、交叉和變異三種遺傳算法的基本操作產(chǎn)生子代種群。依此類推，直到達(dá)到所要計(jì)算的遺傳代數(shù)為止。

3 算例分析

渦輪軸航空發(fā)動(dòng)機(jī)某減速器由單級(jí)斜齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)組成，減速比為3.54。輸入功率為113.4 kW，輸入轉(zhuǎn)速為20 900 r/min，輸出轉(zhuǎn)速為5 915 r/min。

要建立齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，必須首先建立各個(gè)變量的方差或變異系數(shù)。根據(jù)隨機(jī)變量的均值和方差的選取原則[12]，各變量的變異系數(shù)如表1所示。

表1 各變量的變異系數(shù)

結(jié)合齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。采用NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法求解齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化模型得到的Pareto最優(yōu)解集如圖2所示。

圖2 NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解

從優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解集中找出一組和原始方案進(jìn)行對(duì)比。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)前后設(shè)計(jì)參數(shù)的對(duì)比如表2所示。

表2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化前后設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)比

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)健設(shè)計(jì)結(jié)果和初始設(shè)計(jì)結(jié)果的對(duì)比如表3所示，包含齒輪的設(shè)計(jì)變量、重量、接觸疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)、效率和彎曲疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)。

表3 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)化前后性能參數(shù)對(duì)比

從表3可以看出：傳動(dòng)系統(tǒng)的整體重量與優(yōu)化之前相比減少了47.4%；在工況波動(dòng)和齒輪參數(shù)誤差的影響下，效率相對(duì)提高了0.08%，效率的波動(dòng)降低了44.4%；在保證彎曲疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)和各個(gè)約束條件可靠性的前提下，接觸疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)降低了5.6%，波動(dòng)量降低了20%?？傮w來(lái)說(shuō)，穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的設(shè)計(jì)結(jié)果，在稍微降低接觸疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)的情況下，極大地減少了重量并提高了效率，降低了在可控因素和不可控因素作用下的系統(tǒng)性能的波動(dòng)，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)健性。

4 結(jié) 論

(1) 通過(guò)將6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)基本理論和NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法相結(jié)合，本文建立的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)多目標(biāo)穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化模型，可以充分考慮航空齒輪減速器所特有的多種不確定性因素，滿足了工程實(shí)際的需求。

(2) 以某直升機(jī)的渦輪軸發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部的單級(jí)斜齒圓柱齒輪傳動(dòng)減速器為例，發(fā)現(xiàn)基于6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在保證不違背約束條件的前提下，不僅優(yōu)化了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的性能，而且降低了在可控因素和不可控因素作用下傳動(dòng)系統(tǒng)性能的波動(dòng)量。

[1] R Dong, W Sun, H Xu. Robust design optimization of gear parameters for a wind turbine using interval analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering Science, 2010(1): 2235-2245.

[2] Hans-Georg Beyer, Bernhard Sendhoff. Robust optimization-a comprehensive survey[J]. Computer Methods in Mechanics and Engineering, 2007, 196: 3190-3218.

[3] Isaias C Regalado. Application of robustness in the multi-objective optimization of gears[D]. Columbus: The Ohio State University, 1998.

[4] R Dong, W Sun, H Xu. Robust design optimization of gear parameters for a wind turbine using interval analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering Science, 2010, 1: 2235-2245.

[5] Shaul Salomon, Gideon Avigad. Gearbox design for uncertain load requirements using active robust optimization[J]. Engineering Optimization, 2016, 48(4): 652-671.

[6] 董恩國(guó), 張蕾, 孫奇涵. 基于雙響應(yīng)面法的行星齒輪機(jī)構(gòu)穩(wěn)健設(shè)計(jì)研究[J]. 機(jī)械傳動(dòng), 2009, 33(2): 35-37.

Dong Enguo, Zhang Lei, Sun Qihan. Robust design of planet gear based on dual response surface methodology[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2009, 33(2): 35-37.(in Chinese)

[7] 周娜. 多失效模式齒輪傳動(dòng)的可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)理論研究[D]. 沈陽(yáng): 東北大學(xué), 2012.

Zhou Na. Theory research on reliability-based robust design of gear transmission with multiple failure modes[D]. Shenyang: Northeastern University, 2012.(in Chinese)

[8] 王豐超, 潘毅, 宋袁曾. 基于6σ的民機(jī)制造工藝穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[J]. 工業(yè)工程與管理, 2014, 19(3): 127-134.

Wang Fengchao, Pan Yi, Song Yuanceng. Study on robust design and optimization technology of civil aircraft manufacturing process based on six-sigma[J]. Industrial Engineering and Management, 2014, 19(3): 127-134.(in Chinese)

[9] International Orgranization for Standards. ISO 6636-1-2006 Calculation of load capacity of spur and helical gears, Part 1: Basic principles, introduction and general influence factors[S]. Geneva, Switzerland, 2006.

[10] International Orgranization for Standards. ISO 6636-2-2006 Calculation of load capacity of spur and helical gears, Part 2: Calculation of surface durability(pitting)[S]. Geneva, Switzerland, 2006.

[11] International Orgranization for Standards. ISO 6636-3-2006 Calculation of load capacity of spur and helical gears, Part 3: Calculation of bending strength[S]. Geneva, Switzerland, 2006.

[12] Y M Zhang, Q L Liu, B C Wen. Practical reliability-based design of gear pairs[J]. Mechanism and Machine Theory, 2003, 38(12): 1363-1370.

[13] 劉濱春. 航空齒輪疲勞失效機(jī)理探究[J]. 中國(guó)科技信息, 2011(12): 108-109.

Liu Binchun. Research of three basic fatigue failure modes for the aero-engine transmission gear[J]. China Science and Technology Information, 2011(12): 108-109.(in Chinese)

[14] 李玉強(qiáng), 崔振山, 陳軍. 基于響應(yīng)面模型的6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 40(2): 201-205.

Li Yuqiang, Cui Zhenshan, Chen Jun. Six sigma robust design methodology based on response surface model[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2006, 40(2): 201-205.(in Chinese)

[15] 黃洪鐘. 機(jī)械傳動(dòng)可靠性理論與應(yīng)用[M]. 北京: 中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社, 1995: 56-86.

Huang Hongzhong. Theory and application of mechanical transmission reliability[M]. Beijing: China Science and Technology Press, 1995: 56-86.(in Chinese)

[16] Deb K. An efficient constraint handling method for genetic algorithms[J]. Computer Methods in Mechanics and Engineering, 2000, 186(2): 311-338.