☉江蘇省梅村高級(jí)中學(xué) 范永明

數(shù)學(xué)課堂會(huì)在解決預(yù)設(shè)問(wèn)題上展現(xiàn)出師生共同的智慧與諸多不同的思維火花，學(xué)生在思考中常常會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題，有的可能是教師預(yù)設(shè)的，但有的卻是教師意料之外的，數(shù)學(xué)課堂往往因?yàn)檫@些真實(shí)課堂現(xiàn)象的產(chǎn)生而變得更加靈動(dòng)和精彩.筆者近日在“解三角形與三角函數(shù)”這一內(nèi)容的二輪復(fù)習(xí)中也精心挑選了一部分的課堂例題與練習(xí)，并根據(jù)自己的教學(xué)設(shè)計(jì)作出了一定的設(shè)想，不過(guò)，例題解析與當(dāng)堂預(yù)設(shè)練習(xí)結(jié)束之后卻產(chǎn)生了一個(gè)“意外”并因此引發(fā)了師生對(duì)余弦定理逆命題的共同討論，筆者也在學(xué)生思考與探索的基礎(chǔ)上對(duì)正弦定理的逆命題進(jìn)行了思索并因此有了新的收獲.

一、預(yù)設(shè)問(wèn)題

例題 在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、

（1）求∠C的大??；

（2）若求c的取值范圍.

解析：（1）解答過(guò)程略）.

（2）在△ABC中

由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab≥2ab-（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），且c＞0，因此

課堂練習(xí)：在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且

（1）求證

（2）若sin A+cinC=p sin B，求p的取值范圍.

解析：（1）在△ABC中，由余弦定理可得co當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)），因此

（2）在△ABC中，由正弦定理可得a+c=pb.

二、形成意外

有學(xué)生在上述問(wèn)題討論結(jié)束后舉了手.

生：基本不等式也能研究此問(wèn)題.

師：怎么用呢？

生：對(duì)等式a+c=pb左邊結(jié)合基本不等式得當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)），則所以

生：這樣只有p的下限.

師：怎樣來(lái)研究p的上限呢？

生：從|a-c|＜b＜a+c這一三角形的存在條件來(lái)試試，在不等式兩邊同時(shí)平方得（a+c）2-4ac＜b2＜p2b2，即（p2-8）b2＜b2＜p2b2，解得1＜p＜3.

師：很好，我們的第二種解法這樣來(lái)做就完美了.

生：第二種解法之中為什么必須加上三角形存在這一條件才能求得正確答案呢？例題中的解法與第一種解法對(duì)這一條件又不需要考慮.

筆者在接收到學(xué)生的這一疑問(wèn)時(shí)暗自思量：這正是可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考的余弦定理逆命題成立與否的問(wèn)題.

師：很好，三角形的存在性這一條件應(yīng)在什么時(shí)候考慮是解題中非常重要的一個(gè)因素，解題的效率與準(zhǔn)確率與之息息相關(guān)，我們?cè)賮?lái)研究一下本題探究過(guò)程中所用到的知識(shí).

生：余弦定理與基本不等式是例題的解決中應(yīng)用的，余弦定理、三角形內(nèi)角余弦值的范圍與正弦定理是解法一中應(yīng)用的，基本不等式、正弦定理與三角形存在條件則是解法二中所應(yīng)用的知識(shí).

師：大家對(duì)這三種解析過(guò)程中所應(yīng)用的知識(shí)上的差異有何體會(huì)呢？

生：解法二中沒(méi)用到余弦定理.

師：這是不是代表了余弦定理和三角形存在性條件存在一定的關(guān)系呢？會(huì)是一種巧合嗎？

生：可以研究一下是不是運(yùn)用了余弦定理就不要考慮三角形存在性這一條件了.

師：如果我們的推理是對(duì)的，那么就會(huì)有以下這一命題：如果a、b、c是正實(shí)數(shù)且θ∈（0，π），滿足a2=b2+c2-2bc cosθ，則長(zhǎng)為a、b、c的線段是可以構(gòu)成三角形的.同學(xué)們以為這一命題正確嗎？

生：也就是從a2=b2+c2-2bc cosθ這一條件能推出|b-c|＜a＜b+c.

生：由θ∈（0，π）可得cosθ∈（-1，1），所以（b-c）2=b2+c2-2bc＜b2+c2-2bc cosθ＜b2+c2+2bc=（b+c）2，也就是|b-c|＜a＜b+c，因此長(zhǎng)為a、b、c的線段可以構(gòu)成三角形.

師：很好，我們證明了正實(shí)數(shù)a、b、c在滿足a2=b2+c2-2bc cosθ這一條件下可以構(gòu)成△ABC，那么∠θ和△ABC之間可有一定的關(guān)系？

生：θ=A.在△ABC中，根據(jù)余弦定理可得cos A==cosθ，則cos A=cosθ.又因?yàn)锳、θ∈（0，π），所以結(jié)合y=cos x的單調(diào)性可知A=θ.

師：到這一步我們也就證明了如果a、b、c是正實(shí)數(shù)，θ∈（0，π）且滿足a2=b2+c2-2bc cosθ這一條件，則長(zhǎng)為a、b、c的線段是可以構(gòu)成三角形的，而且邊a的對(duì)角是θ.

生：余弦定理和這一結(jié)論看起來(lái)很相似.

師：那么大家以為這一結(jié)論作為真命題跟余弦定理是否存在一定的關(guān)系呢？

生：是余弦定理的逆命題.

師：很好，這也代表著余弦定理的逆命題是對(duì)的.

三、挖掘問(wèn)題

課堂活動(dòng)的意外生成及具體的探究過(guò)程使學(xué)生明白了長(zhǎng)為a、b、c的線段之所以可以構(gòu)成三角形，那都是因?yàn)橛嘞叶ɡ碇械牡仁剿a(chǎn)生的作用，那么同樣作為三角形求解時(shí)經(jīng)常會(huì)用到的工具，對(duì)正弦定理來(lái)說(shuō)會(huì)不會(huì)也存在相似的結(jié)論呢？即：如果a、b、c是正實(shí)數(shù)，α、β、γ∈（0，π），且滿足則長(zhǎng)為a、b、c的線段可以構(gòu)成三角形，且a、b、c三邊的對(duì)角為α、β、γ.

不過(guò)，如果上述命題則不成立，實(shí)際上，加上條件α+β+γ=π就可以了.

定理：如果a、b、c是正實(shí)數(shù)，α、β、γ∈（0，π），α+β+γ=π，且滿足約定：a≤b≤c，α≤β≤γ），則長(zhǎng)為a、b、c的線段可以構(gòu)成三角形且邊a、b、c的對(duì)角是α、β、γ.

又因?yàn)棣梁虯是銳角，結(jié)合y=sin x的單調(diào)性可得α=A.

同理可證得β=B，γ=C.定理得證.

正弦定理逆命題的研究因?yàn)檎液瘮?shù)和余弦函數(shù)之間的差異而變得更加復(fù)雜.

四、反思問(wèn)題

本課因?yàn)閷W(xué)生對(duì)余弦定理和三角形存在性關(guān)系之間的疑問(wèn)與討論繼而產(chǎn)生余弦定理的逆命題的熱烈討論與探究，學(xué)生在一系列探討中進(jìn)一步理解了余弦定理的內(nèi)涵，學(xué)生也因此對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)的探索產(chǎn)生了興趣.筆者也因?yàn)閷W(xué)生的思維導(dǎo)向?qū)φ叶ɡ淼哪婷}進(jìn)行了新的思考，給出證明的同時(shí)也對(duì)正弦定理形成了新的理解.

具有靈活生成性與不可預(yù)測(cè)性的課堂教學(xué)活動(dòng)是不斷發(fā)展推進(jìn)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，新課程標(biāo)準(zhǔn)早就提出了有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是教師教和學(xué)生學(xué)相統(tǒng)一的觀點(diǎn)與要求，并同時(shí)強(qiáng)調(diào)了學(xué)生是學(xué)習(xí)主體、教師是組織者與引導(dǎo)者的準(zhǔn)確定位.因此，教師在動(dòng)態(tài)生成的課堂教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮組織與引導(dǎo)的巨大作用并對(duì)原有的課堂預(yù)設(shè)進(jìn)行及時(shí)而科學(xué)的調(diào)整，將課堂生成的意外資源充分利用起來(lái)并使學(xué)生的積極性得到最大的發(fā)揮，使得數(shù)學(xué)課堂因?yàn)檫@些美麗的意外而充滿活力與精彩.

教師必須具備一定的調(diào)控與應(yīng)變能力才能更好地駕馭課堂活動(dòng)中這些美麗的意外生成，課堂教學(xué)藝術(shù)的體現(xiàn)及教師能力的展現(xiàn)是教學(xué)智慧的合成與展露，教師只有站在教與學(xué)的角度不斷學(xué)習(xí)并提升自己的專業(yè)知識(shí)與人文素養(yǎng)，才能站在更高的角度來(lái)挖掘教材中的知識(shí)內(nèi)涵、思想方法及教材教法，深入研究并不斷提升自己業(yè)務(wù)水平的同時(shí)真正做到教學(xué)相長(zhǎng).F