湯 雙

二次函數(shù)圖像中的三角形面積問(wèn)題，是近幾年各地?cái)?shù)學(xué)中考試卷中很常見(jiàn)的題型，并且大部分題目是作為壓軸題出現(xiàn)的.

一、將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A（0，1）、B（2，0）、O（0，0），將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形A′B′O.

（1）一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、B′、B，求該拋物線的解析式.

（2）設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫(xiě)出它的兩條性質(zhì).

圖1

【思路點(diǎn)撥】

1.四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，可以轉(zhuǎn)化為四邊形PB′OB的面積是△A′B′O面積的3倍.

2.連接PO，四邊形PB′OB可以分割為兩個(gè)三角形.

3.過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線，四邊形PB′OB也可以分割為一個(gè)直角梯形和一個(gè)直角三角形.

【解答過(guò)程】

（1）△AOB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，2）.

因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A′（-1，0）、B（2，0），設(shè)解析式為y=a（x+1）（x-2），代入B′（0，2），得a=-1.

所以該拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2.

（2）S△A′B′O=1.

如果S四邊形PB′A′B=4S△A′B′O=4，那么S四邊形PB′OB=3S△A′B′O=3.

如圖2，作PD⊥OB，垂足為D.

圖2

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x2+x+2）.

所以S四邊形PB′OB=S梯形PB′OD+S△PDB=-x2+2x+2.

解方程-x2+2x+2=3，得x1=x2=1.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）.

【面積另解】第（2）題求四邊形PB′OB的面積，也可以如圖3那樣分割圖形，這樣運(yùn)算過(guò)程更簡(jiǎn)單.

圖3

所以S四邊形PB′OB=S△PB′O+S△PBO=-x2+2x+2.

甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線的對(duì)稱性直接得到點(diǎn)P：

作△A′OB′關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的△BDE，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2）.

而矩形EB′OD與△A′OB′、△BDE是等底等高的，所以四邊形EB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍.因此點(diǎn)E就是要探求的點(diǎn)P.

圖4

【技巧點(diǎn)撥】如果所求的四邊形是一個(gè)不規(guī)則的圖形，其基本圖形如下：

圖5

面積計(jì)算方法是：

SABCO=S△BCD+SABDO或S△ABO+S△BCO.

而一邊在坐標(biāo)軸上的三角形面積的求解公式為

圖6

圖7

二、運(yùn)用“ S=水平線×鉛垂高”求面積

例2如圖8，已知拋物線（b、c是常數(shù)，且c＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）.

圖8

（1）b=______，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）.

（2）連接BC，過(guò)點(diǎn)A作直線AE∥BC，與拋物線交于點(diǎn)E.點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式.

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC.設(shè)△PBC的面積為S.

①求S的取值范圍；

②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有________個(gè).

【思路點(diǎn)撥】

1.用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫(xiě)為兩點(diǎn)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)OB=2OC.

2.如圖9，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD.

3.求△PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計(jì)算，P在BC上方或下方.

4.求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經(jīng)過(guò)C運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中面積的正整數(shù)值，再數(shù)一數(shù)個(gè)數(shù).注意排除點(diǎn)A、C、B三個(gè)時(shí)刻的值.

【解答過(guò)程】

（1），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-2c.

（2）由

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于H.

圖9

由于OB=2OC，當(dāng)AE∥BC時(shí)，AH=2EH.

所以x+1=（x+1）（x+2c），因此x=1-2c，所以E（1-2c，1-c）.

當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，所以

整理，得2c2+3c-2=0.解得c=-2或（與c＜0矛盾，舍去）.

所以拋物線的解析式為

（3）①當(dāng)P在BC下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于F.

直線BC的解析式為

設(shè)那么

所以

因此當(dāng)P在BC下方時(shí)，△PBC的最大值為4.

當(dāng)P在BC上方時(shí)，因?yàn)镾△ABC=5，所以S△PBC＜5.

綜上所述，0＜S＜5.

圖10

②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有11個(gè).

【技巧點(diǎn)撥】當(dāng)要求的三角形的三邊都與坐標(biāo)軸不平行時(shí)（如圖11），我們有兩種解決問(wèn)題的思路：

圖11

思路一：運(yùn)用公式水平線×鉛垂高求面積

思路二：構(gòu)造輔助線使S△ABO=SABDE-S△AOE-

S△BOD.