毛昱天,楊 明，張 銳

(中國兵器工業(yè)導(dǎo)航與控制技術(shù)研究所,北京 100089)

0 引言

隨著現(xiàn)代信息化和網(wǎng)絡(luò)化技術(shù)的飛速發(fā)展，多枚導(dǎo)彈通過信息交互與共享實(shí)現(xiàn)功能互補(bǔ)，打破作戰(zhàn)過程中各導(dǎo)彈之間沒有任何聯(lián)系與合作的傳統(tǒng)思想的局限，可有效提高系統(tǒng)綜合作戰(zhàn)效能和突防能力，完成單枚導(dǎo)彈很難完成的任務(wù)。多枚導(dǎo)彈之間通過數(shù)據(jù)鏈的方式實(shí)現(xiàn)信息共享進(jìn)而實(shí)現(xiàn)協(xié)同攻擊，可顯著提高對(duì)敵方目標(biāo)的攔截概率，增強(qiáng)多導(dǎo)彈系統(tǒng)的攻擊能力，更加符合未來作戰(zhàn)發(fā)展的趨勢，具有十分重要的實(shí)際意義。實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈高效協(xié)同作戰(zhàn)的前提是設(shè)計(jì)合適的協(xié)同制導(dǎo)律。特別地，針對(duì)機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的有效攻擊對(duì)多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律的性能提出了更高要求。

文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]討論了多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律的約束條件和各類導(dǎo)引律的方法和特點(diǎn)。文獻(xiàn)[3]提出了一種攻擊時(shí)間可控的多導(dǎo)彈時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律是在比例制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上附加攻擊時(shí)間的誤差反饋，需要事先指定攻擊時(shí)間，然后各枚導(dǎo)彈單獨(dú)采用該制導(dǎo)律進(jìn)行制導(dǎo)以完成對(duì)目標(biāo)的同時(shí)攻擊。文獻(xiàn)[4]研究了多枚導(dǎo)彈協(xié)同攔截一個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的問題，通過設(shè)計(jì)多導(dǎo)彈系統(tǒng)綜合代價(jià)函數(shù)進(jìn)而得到考慮末端相對(duì)攻擊角度約束的最優(yōu)協(xié)同制導(dǎo)律，但該方法在應(yīng)用時(shí)需要在攻擊前根據(jù)參與攻擊的導(dǎo)彈數(shù)量等全局約束信息進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)并將相關(guān)參數(shù)注入到導(dǎo)彈中，因此制導(dǎo)律改變較困難，算法耗時(shí)較多。文獻(xiàn)[5]針對(duì)固定目標(biāo)采用網(wǎng)絡(luò)同步原理和領(lǐng)彈-被領(lǐng)彈通信模式設(shè)計(jì)了異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)化分布式協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[6]基于分布式協(xié)同制導(dǎo)方法，分別設(shè)計(jì)了分散化協(xié)同制導(dǎo)律和分布式協(xié)同制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊。文獻(xiàn)[7]研究了固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)鋬煞N情況下同時(shí)存在通信時(shí)延和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不確定的多導(dǎo)彈協(xié)同齊射攻擊問題。文獻(xiàn)[8]在各導(dǎo)彈之間不存在信息交互的情況下設(shè)計(jì)的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[9]研究了在以通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式來表示導(dǎo)彈之間的信息交互下，提出攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[10]基于動(dòng)態(tài)面控制理論和干擾觀測器技術(shù)研究了制導(dǎo)與控制一體化的多導(dǎo)彈協(xié)同打擊目標(biāo)問題，該方法制導(dǎo)過程中各導(dǎo)彈之間沒有動(dòng)態(tài)的信息交互，不能實(shí)現(xiàn)真正意義上的導(dǎo)彈協(xié)同。文獻(xiàn)[11]基于滑?？刂品椒ㄌ岢隽藥в泄魰r(shí)間控制的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于虛擬領(lǐng)彈的帶有時(shí)間限制的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)的方法，是將攻擊時(shí)間同時(shí)達(dá)到問題轉(zhuǎn)化為各枚導(dǎo)彈與虛擬領(lǐng)彈的彈目相對(duì)距離和前置角的跟蹤問題，從而使各枚被領(lǐng)彈都按照虛擬領(lǐng)彈的指定攻擊時(shí)間同時(shí)攻擊目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈時(shí)間協(xié)同導(dǎo)引。

綜上所述，國內(nèi)外學(xué)者研究成果主要集中在采用集中式/半集中式協(xié)同導(dǎo)引策略和攻擊固定目標(biāo)的多彈協(xié)同制導(dǎo)問題，針對(duì)多導(dǎo)彈系統(tǒng)存在分布式信息交互并協(xié)同攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的問題研究較為有限。為此，本文針對(duì)攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的多導(dǎo)彈系統(tǒng)分布式協(xié)同制導(dǎo)問題，基于增強(qiáng)型比例導(dǎo)引、代數(shù)圖論、分布式網(wǎng)絡(luò)同步原理和非線性系統(tǒng)受控一致性理論，提出一種基于鄰接個(gè)體局部信息交互的多導(dǎo)彈分布式協(xié)同制導(dǎo)方法。該方法由單個(gè)導(dǎo)彈攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的本地導(dǎo)引律和鄰接導(dǎo)彈間協(xié)同導(dǎo)引律兩部分組成，可實(shí)現(xiàn)所有導(dǎo)彈對(duì)給定機(jī)動(dòng)目標(biāo)的同時(shí)攻擊，具有通信量小、動(dòng)態(tài)重構(gòu)性和可擴(kuò)展性好等優(yōu)點(diǎn)。

1 多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)模型

考慮由N枚導(dǎo)彈組成的多導(dǎo)彈系統(tǒng)，對(duì)各導(dǎo)彈進(jìn)行自然編號(hào)依次為M1～MN?；诖鷶?shù)圖論的相關(guān)概念[13]，定義多導(dǎo)彈系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G=(V,E,A)，其中有限非空節(jié)點(diǎn)集合V={1,2,…,N}為圖G的節(jié)點(diǎn)集，代表多導(dǎo)彈系統(tǒng)中各導(dǎo)彈本身;E?V×V是圖G的邊集，E中所包含的各條邊記為eij=(i,j); 進(jìn)一步定義Ni{j|(i,j)∈E},i,j=1,…,N， 表示在圖G中與導(dǎo)彈i具有通信連接關(guān)系的所有導(dǎo)彈的集合; 定義非負(fù)矩陣A[aij]∈RN×N是圖G的鄰接矩陣，A中元素aij>0,?j∈Ni。定義加權(quán)拉普拉斯矩陣(Weighted Laplacian)Lκ=[lij]∈RN×N如下：

(1)

其中，μij為導(dǎo)彈i與導(dǎo)彈j的通信加權(quán)值。

為簡化導(dǎo)彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)，假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)均為平面內(nèi)的幾何質(zhì)點(diǎn)，討論單個(gè)導(dǎo)彈制導(dǎo)律時(shí)導(dǎo)彈和目標(biāo)速度大小為常值，得到導(dǎo)彈i與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程組如下：

(2)

其中，γt和γmi分別為目標(biāo)T和導(dǎo)彈Mi的彈道傾角；Vt和Vmi分別為目標(biāo)T和導(dǎo)彈Mi的速度；at和ami分別為目標(biāo)T和導(dǎo)彈Mi的加速度，假設(shè)目標(biāo)法向加速度已知且為常值；ri為導(dǎo)彈Mi與目標(biāo)的相對(duì)距離；σi為Mi的視線角。θti、θmi定義如下：

(3)

圖1所示為多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的示意圖，Mi代表導(dǎo)彈i，T代表目標(biāo)。

圖1 多導(dǎo)彈系統(tǒng)協(xié)同攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)示意圖Fig.1 Schematic of multi-missile cooperative systems attacking maneuvering target

2 導(dǎo)彈本地制導(dǎo)律

針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，為導(dǎo)彈Mi設(shè)計(jì)增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律作為其本地制導(dǎo)律，在該導(dǎo)引律下的導(dǎo)彈Mi的法向加速度為

(4)

其中，Ni為導(dǎo)彈Mi的比例導(dǎo)引系數(shù)，增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律在打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)相對(duì)于傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律具有所需導(dǎo)引系數(shù)小、性能更優(yōu)等優(yōu)勢，更適合于攻擊移動(dòng)目標(biāo)。Ni的選擇需滿足如下不等式約束條件[14]

(5)

在選取增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律的對(duì)于條件下，并結(jié)合式(2)和式(4),導(dǎo)彈Mi與目標(biāo)T的運(yùn)動(dòng)方程組如下：

由于目標(biāo)加速度為已知常值，上述運(yùn)動(dòng)方程組右端存在變量θti，由式(3)可得

θti=γt-σi=γt-(γmi-θmi)

(7)

可見，θti能表示成θti=g(ri,θmi,t)，即θti是ri、θmi、t這3個(gè)變量的函數(shù)。

取狀態(tài)變量為xi=[ri,θmi]T，則式(6)可表示為如下非線性狀態(tài)方程式

xi=fi(xi,t)

(8)

進(jìn)一步由式(2)和式(7),可得

(9)

3 分布式協(xié)同制導(dǎo)律

3.1 分布式協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)所有導(dǎo)彈對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)同時(shí)協(xié)同攻擊， 在式(4)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)分布式協(xié)同制導(dǎo)律，各導(dǎo)彈相對(duì)于目標(biāo)的狀態(tài)(彈目視線距離和導(dǎo)彈速度矢量前置角)趨于一致。為此，基于代數(shù)圖論和分布式動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)一致性原理和[14-16]，給出如下引理。

引理1針對(duì)如下系統(tǒng)：

i=1,2,…,N

(10)

其中，Ni代表與導(dǎo)彈Mi存在通信交互關(guān)系的導(dǎo)彈集合，鄰接導(dǎo)彈間耦合權(quán)重kji=kij>0,?j∈Ni。為

(11)

則系統(tǒng)中所有導(dǎo)彈能夠?qū)崿F(xiàn)狀態(tài)漸近同步

(12)

其中，Lk為系統(tǒng)加權(quán)Laplace矩陣；λmin(·)和λmax(·)代表矩陣的最小和最大特征值，Ji=?f(xi,t)/?xi為雅克比矩陣?f(x,t)/?x中的元素。

引理1給出了網(wǎng)絡(luò)化多導(dǎo)彈分布式協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)收斂的充分條件，同時(shí)也規(guī)定了能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)協(xié)調(diào)一致性所對(duì)應(yīng)的通信拓?fù)漕愋秃拖到y(tǒng)模型。

針對(duì)式(6)所描述的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律如下：

(13)

進(jìn)一步定義μij和kij如下：

(14)

kij=μijaij

(15)

其中，μij和kij均為正實(shí)數(shù)，且滿足μij正定。kij反映了多導(dǎo)彈系統(tǒng)之間的狀態(tài)耦合程度和通信鏈路的權(quán)值大小。式(13)可以表示為式(10)的形式。

3.2 分布式協(xié)同制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)

在多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)過程中，各導(dǎo)彈制導(dǎo)律是以增強(qiáng)型比例導(dǎo)引為基礎(chǔ)，同時(shí)疊加分布式協(xié)同制導(dǎo)律以實(shí)現(xiàn)多彈對(duì)目標(biāo)的協(xié)同攻擊。協(xié)同制導(dǎo)律將同時(shí)改變各導(dǎo)彈的飛行速度和法向加速度。因此，與傳統(tǒng)增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律情況不同：協(xié)同導(dǎo)引條件下各導(dǎo)彈為了實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的分布式協(xié)同攻擊，各枚導(dǎo)彈需要根據(jù)自身和其鄰接導(dǎo)彈的狀態(tài)信息改變飛行速度的大小和方向。

注意到各導(dǎo)彈控制量可分解為沿速度矢量切向和法向的加速度指令，因此將分布式協(xié)同制導(dǎo)律沿導(dǎo)彈速度法向和切向分解。首先由視線方向速度獲得導(dǎo)彈的實(shí)際速度，進(jìn)而獲得導(dǎo)彈的切向加速度，然后由視線方向角改變的方程獲得導(dǎo)彈的法向加速度分量，進(jìn)而得到可實(shí)現(xiàn)的多導(dǎo)彈系統(tǒng)分布協(xié)同制導(dǎo)律。具體分解方法如下。

由彈目視線方向的速度

=Vtcosθti-Vmiacosθmi

(16)

(17)

因此，導(dǎo)彈Mi切向加速度為

(18)

導(dǎo)彈Mi法向加速度為

(19)

4 數(shù)值仿真

數(shù)值仿真中考慮由4枚導(dǎo)彈Mi,i=1，2，3,4所組成的多導(dǎo)彈系統(tǒng)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的同時(shí)協(xié)同攻擊問題。多導(dǎo)彈網(wǎng)絡(luò)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。目標(biāo)初始位置在(40000,10000)(單位為m，下同)，以速度1000m/s和法向加速度10m/s2作機(jī)動(dòng)飛行，仿真步長為 0.1s。

圖2 多導(dǎo)彈系統(tǒng)通信拓?fù)銯ig.2 Communication topology of multi-missile systems

各導(dǎo)彈的初始位置、初始速度、初始速度前置角和比例導(dǎo)引系數(shù)如表1所示。

表1 各導(dǎo)彈初始狀態(tài)

進(jìn)一步，為滿足引理1條件，選取各導(dǎo)彈間通信連接權(quán)重如下：進(jìn)一步為滿足分布式協(xié)同制導(dǎo)收斂條件，選擇通信耦合加權(quán)矩陣為：

(20)

圖3所示為系統(tǒng)的飛行軌跡曲線圖，黑色實(shí)線代表目標(biāo)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，其他彩色曲線為各導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖4所示為各導(dǎo)彈對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的彈目距離隨時(shí)間的變化曲線，從中可以看出，各導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的視距同時(shí)漸近收斂，代表其可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的同時(shí)攻擊。圖5所示為各導(dǎo)彈的速度方位角隨時(shí)間的變化規(guī)律，可見所有導(dǎo)彈速度方位最終可實(shí)現(xiàn)漸近趨同。圖6所示為各導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)指令隨時(shí)間的變化規(guī)律。

圖3 協(xié)同導(dǎo)引下各導(dǎo)彈飛行軌跡Fig.3 Trajectories of all missiles with cooperative guidance law

圖4 協(xié)同導(dǎo)引控制下各導(dǎo)彈彈目視距Fig.4 Line of sight ranges of all missiles with cooperative guidance law

圖5 協(xié)同導(dǎo)引控制下各導(dǎo)彈速度方位角Fig.5 Orientations of all missiles with cooperative guidance law

圖6 各導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)指令Fig.6 Guidance laws of all missiles

進(jìn)一步，在相同的條件下(具體見表1)將各導(dǎo)彈在純增強(qiáng)型比例導(dǎo)引(無協(xié)同導(dǎo)引律)以及分布式協(xié)同導(dǎo)引下的飛行時(shí)間進(jìn)行對(duì)比仿真，具體結(jié)果如表2所示。

表2 各導(dǎo)彈飛行時(shí)間

在純增強(qiáng)比例導(dǎo)引律作用下，無法實(shí)現(xiàn)各導(dǎo)彈對(duì)給定目標(biāo)的同時(shí)攻擊，前后到達(dá)時(shí)間差最大可達(dá)到約7s；而在分布式協(xié)同比例導(dǎo)引律作用下可以實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的同時(shí)協(xié)同攻擊，這是由于協(xié)同導(dǎo)引律中對(duì)各導(dǎo)彈的速度大小和方向分別進(jìn)行了分布式協(xié)同的結(jié)果。

進(jìn)一步在相同的初始條件下，將各導(dǎo)彈進(jìn)行獨(dú)立制導(dǎo)攻擊與分布式協(xié)同制導(dǎo)攻擊條件下對(duì)應(yīng)的飛行時(shí)間作對(duì)比，具體結(jié)果如表3所示。

表3 各導(dǎo)彈飛行時(shí)間

綜合上述仿真結(jié)果， 相較于各導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)分別進(jìn)行獨(dú)立攻擊的制導(dǎo)律和純增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律，基于最近鄰?fù)ㄐ沤换C(jī)制下的分布式協(xié)同制導(dǎo)控制律可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的分布式同時(shí)協(xié)同攻擊，有效地驗(yàn)證了分布式協(xié)同制導(dǎo)算法的有效性和優(yōu)越性。

5 結(jié)論

本文研究了一類針對(duì)攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)多導(dǎo)彈系統(tǒng)協(xié)同分布式協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題，將增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律、分布式網(wǎng)絡(luò)同步理論與非線性系統(tǒng)協(xié)調(diào)一致性控制律有機(jī)結(jié)合，提出了完全分布化的多導(dǎo)彈分布式協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了所有導(dǎo)彈對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的同時(shí)攻擊，且無需估計(jì)導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間。該制導(dǎo)律僅需相鄰導(dǎo)彈之間傳輸各自的可測狀態(tài)信息，具有典型的局部通信和分布式計(jì)算的特點(diǎn), 且制導(dǎo)律形式簡單、通信量少，便于工程實(shí)現(xiàn)，能夠在提高多導(dǎo)彈系統(tǒng)截獲目標(biāo)概率的同時(shí)降低對(duì)彈載計(jì)算機(jī)和彈載探測設(shè)備的要求, 從而有效降低成本。未來將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究各導(dǎo)彈在性能約束下的分布式協(xié)同制導(dǎo)律，并給出保證攻擊導(dǎo)彈系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近收斂的狀態(tài)約束邊界條件。

參考文獻(xiàn)

[1] 王建青, 李帆, 趙建輝,等. 多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律綜述[J]. 飛行力學(xué), 2011, 29(4):6-10.

[2] 張克, 劉永才, 關(guān)世義. 體系作戰(zhàn)條件下飛航導(dǎo)彈突防與協(xié)同攻擊問題研究[J]. 戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù), 2005, 10(2): 1-7.

[3] Jeon I S, Lee J I, Tahk M J. Impact-time-control guidance law for anti-ship missiles[J]. IEEE Transactions on control systems technology, 2006, 14(2): 260-266.

[4] Shaferman V, Shima T. Cooperative optimal guida-nce laws for imposing a relative intercept angle[C]// AIAA Guidance, Navigation, and Control Confere-nce. 2012:12-18.

[5] 張友安, 馬國欣, 王興平. 多導(dǎo)彈時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)：一

種領(lǐng)彈-被領(lǐng)彈策略[J]. 航空學(xué)報(bào), 2009, 30(6): 1109-1118.

[6] Shiyu Z, Rui Z. Cooperative guidance for multimi-ssile salvo attack[J]. Chinese Journal of Aeronau-tics, 2008, 21(6): 533-539.

[7] 王青, 后德龍, 李君,等. 存在時(shí)延和拓?fù)洳淮_定的多彈分散化協(xié)同制導(dǎo)時(shí)間一致性分析[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2014, 35(7):982-989.

[8] 周銳, 孫雪嬌, 吳江,等. 多導(dǎo)彈分布式協(xié)同制導(dǎo)與反步滑?？刂品椒╗J]. 控制與決策, 2014(9):1617-1622.

[9] Zhang P, Liu H H T, Li X, et al. Fault tolerance of cooperative interception using multiple flight vehicles[J]. Journal of the Franklin Institute, 2013, 350(9): 2373-2395．

[10] Wang X, Zheng Y, Lin H. Integrated guidance and control law for cooperative attack of multiple missiles[J]. Aerospace Science and Technology, 2015, 42(3):1-11．

[11] Kumar S R, Ghose D. Sliding mode control based guidance law with impact time constraints[C]// Am-erican Control Conference (ACC). IEEE, 2013: 5760-5765.

[12] 鄒麗, 丁全心, 周銳. 異構(gòu)多導(dǎo)彈網(wǎng)絡(luò)化分布式協(xié)同制導(dǎo)方法[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 36(12):1432-1435.

[13] 鄒麗, 孔繁峨, 周銳,等. 多導(dǎo)彈分布式自適應(yīng)協(xié)同制導(dǎo)方法[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 38(1):128-132.

[14] Slotine J E, Wang W. A study of synchronization and group cooperation using partial contraction theory[C]// Block Island Workshop on Cooperative Con-trol, 2004:1-9.

[15] Godsil C, Royle G F. Algebraic graph theory[M]. New York: Springer Verlag, 2001.

[16] Horn R A, Johnson C R. Matrix analysis[M]. London: Cambridge University Press, 1985.