程 軍

(安徽信息工程學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部 安徽 蕪湖 241000)

從理論的角度來說，利用畢奧-薩伐爾定律原則上可以給出任意形狀的載流導(dǎo)線在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)．但是，在實(shí)際計(jì)算過程中，如果載流導(dǎo)線的形狀不規(guī)則，一般情況下無法給出磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析形式，此時(shí)可以利用數(shù)值計(jì)算方法來求解載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)．MATLAB是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的強(qiáng)大工具，將其應(yīng)用于物理教學(xué)過程中，不僅能夠提升教學(xué)效果，還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣，并且提高學(xué)生分析和解決問題的能力．本文利用MATLAB數(shù)值計(jì)算，對(duì)載流圓線圈的磁場(chǎng)進(jìn)行求解．

1 載流圓線圈的磁場(chǎng)

如圖1所示，半徑為R，通有逆時(shí)針方向電流I的圓線圈處于xy平面內(nèi)，且其圓心在原點(diǎn)O．在線圈上與x軸正向夾角為α處取一電流元Idl，即

Idl=IRdα(-isinα+jcosα)

(1)

圖1 載流圓線圈

該電流元Idl的位置坐標(biāo)為

x′=Rcosα

y′=Rsinα

z′=0

(2)

空間任一點(diǎn)P(x,y,z)可用球坐標(biāo)表示為

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφ

z=rcosθ

(3)

因此，由電流元Idl引向場(chǎng)點(diǎn)P的矢量為

r′=(x-x′)i+(y-y′)j+zk

(4)

根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，載流圓線圈在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為[1]

(5)

由式(1)～(5)，可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的分量分別為

(6)

(7)

(8)

根據(jù)電流分布的軸對(duì)稱性可知，磁場(chǎng)分布也具有軸對(duì)稱性，不妨取P點(diǎn)在xz平面內(nèi)．因此，由式(6)～(8)可簡(jiǎn)化為

(9)

(10)

(11)

特殊地，當(dāng)P點(diǎn)位于圓線圈軸線上時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(12)

2 MATLAB編程求解

根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，原則上可以求解任意形狀的載流導(dǎo)線在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)．但是對(duì)于形狀不規(guī)則的載流導(dǎo)線，通常無法給出磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析形式．此時(shí)，我們可以借助MATLAB程序?qū)Υ鸥袘?yīng)強(qiáng)度進(jìn)行數(shù)值積分求解[2]．

計(jì)算載流圓線圈的磁場(chǎng)所用的MATLAB程序如下：

I = 1; R = 0.1;

n1 = 5; n2 = 6;

r = [0.05,0.15,0.3,0.5,1.0];

t = [0,10,30,45,60,90];

B = zeros(n1,n2); s = zeros(1,n2);

n = 1000; h = 2*pi/n; x = [0:h:2*pi];

for i = 1:n2

s(i) = t(i)*pi/180;

end

for i = 1:n1

for j = 1:n2

Bx = 0; By = 0; Bz = 0;

for k = 1:n

Bx = Bx+I*R*r(i)*cos(s(j))*

cos(x(k))./(R.^2+r(i).^2-2*R*r(i)*

sin(s(j))*cos(x(k))).^(1.5)*h;

By = By+I*R*r(i)*cos(s(j))*

sin(x(k))./(R.^2+r(i).^2-2*R*r(i)*

sin(s(j))*cos(x(k))).^(1.5)*h;

Bz = Bz+I*R*(R-r(i)*sin

(s(j))*cos(x(k)))./(R.^2+r(i).^2-2*R*

r(i)*sin(s(j))*cos(x(k))).^(1.5)*h;

end

B(i,j) = sqrt(Bx.^2+By.^2+Bz.^2);

end

end

在計(jì)算中取圓線圈半徑0.1 m，通有電流1 A．根據(jù)上述MATLAB程序，求解特定的空間位置處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，如表1所示．特殊地，線圈圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為6.283×10-6T．

表1 特定空間位置( r, θ )處磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 (單位：×10-7 T)

3 總結(jié)

本文根據(jù)畢奧-薩伐爾定律和磁場(chǎng)疊加原理，給出載流圓線圈在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算公式的一般形式，利用MATLAB編程對(duì)磁場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并且給出一些特定空間位置處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。畬ATLAB應(yīng)用于大學(xué)物理教學(xué)，有助于提升教學(xué)效果，提高學(xué)生學(xué)習(xí)物理的積極性，并且可以培養(yǎng)探索和求解物理問題的能力．

參 考 文 獻(xiàn)

1 賈起民，鄭永令，陳暨耀.電磁學(xué).北京：高等教育出版社，2009.161～163

2 王健，趙國生.MATLAB數(shù)學(xué)建模與仿真.北京：清華大學(xué)出版社，2016.357～359