袁梅紅

[摘 要] 很多源于教材又高于教材的中考數(shù)學(xué)綜合試題都是踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最佳體現(xiàn)，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)化核心知識(shí)教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生思考、探索問題的解決方法，使學(xué)生在不斷的探索、反思與感悟中最終實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；抽象；建模；直觀想象

教育部早在2014年就提出了以科學(xué)性、時(shí)代性、民族性為基本原則，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的具體要求，當(dāng)今中考試題命題也都體現(xiàn)了源于教材又高于教材的特點(diǎn)，這些靈活多變、舊題新出的中考試題正是踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最佳體現(xiàn). 本文結(jié)合中考某一試題，談?wù)劰P者培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐性思考.

這是一道來源于折紙的數(shù)學(xué)探究綜合題，矩形、相似三角形、勾股定理、二次函數(shù)與一元二次方程、直線與圓等諸多知識(shí)以及初高中銜接的內(nèi)容都在此題中得到了巧妙的設(shè)計(jì)與融合，此題可以通過多種方法求解，但如果解題追求簡(jiǎn)潔且快速，就需要學(xué)生具備豐富的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與解題經(jīng)驗(yàn)，并滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程、轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法. 這道試題對(duì)學(xué)生的思維能力、計(jì)算能力都提出了較高的要求，要踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就需要這樣綜合性的好題來體現(xiàn).

數(shù)學(xué)抽象與建模

學(xué)生初讀此題往往會(huì)有很多疑惑：△OCD沿OD折疊時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′是否會(huì)落在直線l：y=-x+7上？假如落在直線l：y=-x+7上，與哪些量相關(guān)，又取決于哪一個(gè)相關(guān)的量？點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線l：y=-x+7上時(shí)是不是只有兩個(gè)？學(xué)生的困擾基本都集中在折疊后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′上，因此，教師教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生回歸實(shí)踐，并探尋問題的本質(zhì)，繼而定位C′.

師：請(qǐng)同學(xué)們?nèi)〕鲎詡渚匦伟准堃粡?，并按圖5所示的方式折疊矩形的一角，使折痕經(jīng)過點(diǎn)O. （最終目的：通過提問幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型）

師：你在折疊白紙時(shí)遇到了哪些問題？

生：沒有告訴我們應(yīng)該沿哪一條折痕折疊.

師：對(duì)，但是因?yàn)闆]有這一條件，因此大家折的就會(huì)不一樣，請(qǐng)大家觀察一下大家折的是不是完全不同呢？

生：有一點(diǎn)是相同的，即都會(huì)經(jīng)過點(diǎn)O.

師：很好，大家嘗試一下各種不同的折疊方法.

（學(xué)生操作并思考）

師：你在過點(diǎn)O折疊矩形一角的過程中有何感悟？能分享一下嗎？

生：其實(shí)我們是把線段OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).

師：很好，過點(diǎn)O任意折疊矩形的一角時(shí)，點(diǎn)C肯定會(huì)落在哪里？

生：肯定會(huì)落在以點(diǎn)O為圓心、OC長為半徑的圓上，如圖6.

師：很好，請(qǐng)大家觀察圖形并思考老師為大家設(shè)計(jì)的問題：

（1）過點(diǎn)O折疊矩形的一角時(shí)，點(diǎn)C是否一定會(huì)落在直線l：y=-x+7上？

（2）過點(diǎn)O折疊矩形一角時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′和直線l：y=-x+7之間存在怎樣的位置關(guān)系？

（3）折疊后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′和直線l：y=-x+7的位置關(guān)系由什么因素決定？跟哪些量有一定的關(guān)系？

從上述一系列問題的討論中學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)C和直線l：y=-x+7的位置關(guān)系實(shí)際上就是直線和圓O的位置關(guān)系，圓心到直線l：y=-x+7的距離d和r（OC）的大小關(guān)系又決定了直線和圓的位置關(guān)系，因此直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)學(xué)模型成了解決此題的關(guān)鍵. 由題意可得d=<5，因此，直線和圓必然存在兩個(gè)交點(diǎn). 令交點(diǎn)為E，F(xiàn)，如圖7，定點(diǎn)E，F(xiàn)找到了，因此AE，AF就必然為定值.

經(jīng)過上述分析，一系列探究問題被化歸成了定點(diǎn)E，F(xiàn)到矩形OABC的頂點(diǎn)、邊界、靜態(tài)線段的距離都是定值這一問題. 因此，問題很快轉(zhuǎn)化成了圖8所示的以下問題：在矩形OABC中，經(jīng)過點(diǎn)O的某一直線折一個(gè)“拐”并使點(diǎn)C落在邊MN上，同理，點(diǎn)F的問題一樣可以轉(zhuǎn)化.

在圖8中找出與矩形OABC相關(guān)的線段或已知線段，并去掉多余圖形，繼而對(duì)其提煉，可以得到圖9所示問題：在矩形OMNC中，沿直線OD折疊，點(diǎn)D恰好與直線MN上的點(diǎn)E重合，已知EN=1，求CD的長. DE的長又該如何求解呢？學(xué)生頭腦中熟悉的翻折模型此時(shí)被圖形操作與問題轉(zhuǎn)化很快喚醒：折疊圖形后使其一個(gè)角的頂點(diǎn)落在某條邊所在直線上，即將矩形一個(gè)角的頂點(diǎn)通過折疊，落到相鄰的邊MN上，問題回到了學(xué)生所熟悉的模型上，勾股定理的模型即可用于此題的求解，幾何問題也因此轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題.

直觀想象與建模

問題（4）除了標(biāo)準(zhǔn)答案中的解決方法外，還可以通過數(shù)學(xué)建模、直觀想象來解決，且整個(gè)計(jì)算過程更加簡(jiǎn)便：要讓△EFP為直角三角形，可以將問題分成三種類型進(jìn)行分類討論.

1. 將點(diǎn)E作為直角頂點(diǎn)

如圖10，作FH⊥EM于點(diǎn)H，延長FH與拋物線相交于點(diǎn)K，連接EK，根據(jù)已知條件和圖形直觀想象，可以看出△FHE是等腰直角三角形，∠FEH=45°. 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，觀察圖形可知∠KEH=∠FEH=45°，因此∠FEK=90°，由此可知點(diǎn)K滿足條件，即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)P滿足條件. 因?yàn)榇藭r(shí)的點(diǎn)P和點(diǎn)F關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，由F（4，3）得滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）.

2. 將點(diǎn)F作為直角頂點(diǎn)

過點(diǎn)F作EF的垂線，與拋物線相交于點(diǎn)P，觀察圖形可得P（1，0）. 此時(shí)通過聯(lián)想勾股定理進(jìn)行驗(yàn)證：可求得FP2=18，EF2=2，EP2=20，顯然FP2+EF2=EP2，由勾股定理的逆定理可知△PEF是直角三角形，繼而知點(diǎn)P（1，0）滿足條件.

3. 將點(diǎn)P作為直角頂點(diǎn)

解法與標(biāo)準(zhǔn)答案相同.

這一數(shù)學(xué)難題通過直觀想象、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)推理等方法就這樣神奇而簡(jiǎn)潔地得到了解決，數(shù)學(xué)的內(nèi)在美也在這樣分類討論的過程中得到了很好的體現(xiàn).

踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本文所分析的這一試題構(gòu)思與數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)得都很巧妙，題中只有5和7兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)，直線方程是y=-x+7（即x+y=7）；第（1）小問可求得E（3，4），F(xiàn)（4，3），題中數(shù)據(jù)因此多了3和4. 經(jīng)過數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算可得3+4=7（x+y=7），32+42=52（x2+y2=52）. 根據(jù)圖形的觀察進(jìn)行直觀想象和邏輯推理可知x，y對(duì)應(yīng)3，4，因此x=3，y=4或者x=4，y=3. 因此，E（3，4），F(xiàn)（4，3）不僅在直線y=-x+7上，而且這兩點(diǎn)還在以原點(diǎn)為圓心、5為半徑的圓（x2+y2=52）上. 再結(jié)合解題所得的答案有數(shù)據(jù)：1，2，3，4，5，7，雖然只有簡(jiǎn)單的6個(gè)數(shù)字，但數(shù)學(xué)的內(nèi)在美和魅力都在這一過程中驚奇地展現(xiàn)了.

翻折的實(shí)踐操作活動(dòng)將全等變換、相似構(gòu)造很好地融進(jìn)了矩形問題中，因此，此題的教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題和數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并構(gòu)造出基本圖形. 因此，讀懂圖形與題意并對(duì)隱含條件進(jìn)行深入挖掘，是解題過程中首先要做的，解題者必須具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)才能更好地解題. 啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行探究、猜想、思考、反思、感悟是此題解題教學(xué)的精髓所在，也是培養(yǎng)學(xué)生能力與品質(zhì)的重要途徑. 因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)首先強(qiáng)化核心知識(shí)教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生思考、探索問題的解決方法，使學(xué)生在不斷的探索、反思與感悟中最終實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展.