繆森林，張俊芳，吳 越，王 熠

(1.安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

自ZADEH[1]首次提出模糊集的概念，學(xué)者對其進(jìn)行了廣泛而深入的研究。之后，保加利亞學(xué)者ATANASSOV[2]在模糊集的基礎(chǔ)上，提出了直覺模糊集，直覺模糊集同時考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度的信息，這引起了許多學(xué)者的關(guān)注和研究，并取得了豐碩的成果[3-5]?；谝陨涎芯浚琘AGER等[6]又提出了Pythagorean模糊集，定義其隸屬度與非隸屬度平方和小于等于1，拓展了模糊集的應(yīng)用范圍并解決了很多模糊決策問題[7-10]。為了充分應(yīng)用Pythagorean模糊集，劉衛(wèi)鋒等[11]將猶豫模糊集[12]和Pythagorean模糊集相結(jié)合，提出了Pythagorean猶豫模糊集,在考慮支持、不支持和中立3個方面的同時，用可能隸屬度和可能非隸屬度對決策進(jìn)行全面刻畫，防止有效信息的缺失，并研究了基于Pythagorean猶豫模糊集的加權(quán)算術(shù)平均算子和加權(quán)幾何平均算子。LIANG等[13]研究了Pythagorean猶豫模糊集的幾何距離及TOPSIS法在多屬性決策中的應(yīng)用。

基于模糊集的相似性測度也是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)。如羅敏等[14]將泰爾不等系數(shù)[15]應(yīng)用到區(qū)間直覺模糊集的相似性測度中，并用以確定屬性權(quán)重；吳婉瑩等[16-17]研究了相關(guān)系數(shù)公式在對偶猶豫模糊集多屬性決策中的應(yīng)用。

筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了幾種基于Pythagorean猶豫模糊集的相似性測度，用以解決Pythagorean猶豫模糊環(huán)境下的多屬性決策問題。首先，筆者采用最小公倍數(shù)拓展法對Pythagorean猶豫模糊集的隸屬度(非隸屬度)進(jìn)行規(guī)范化處理；其次，定義4種相似性測度，將其推廣到加權(quán)相似性測度，并探討其相關(guān)性質(zhì)；最后，給出基于相似性測度的Pythagorean猶豫模糊集多屬性決策方法，并將決策方法應(yīng)用到軟件開發(fā)項(xiàng)目的選擇中，驗(yàn)證其可行性。

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)X為論域，則稱M={|x∈X}為X上的一個猶豫模糊集，UM(x)表示X上元素x屬于M的所有可能隸屬度組成的集合。其中，對于?x∈X，有uM(x)∈UM(x)，稱uM(x)為元素x屬于M的隸屬度。

定義4設(shè)m是任意一個Pythagorean猶豫模糊元，則其得分函數(shù)和精確度函數(shù)分別定義如下：

(1)

(2)

式中：#Um為Pythagorean猶豫模糊元隸屬度集合Um中隸屬度的個數(shù)；#Vm為Pythagorean猶豫模糊元非隸屬度集合Vm中非隸屬度的個數(shù)。

2 基于Pythagorean猶豫模糊集的相似性測度

2.1 最小公倍數(shù)拓展法

在Pythagorean猶豫模糊集中也存在類似的情況，但對于同一決策，持有不同心態(tài)的決策者有不同的態(tài)度，為減小由主觀因素引起的誤差，筆者采用最小公倍數(shù)拓展法解決此類問題。

2.2 Pythagorean猶豫模糊集相似性測度

定義6給定任意兩個Pythagorean猶豫模糊集M1={|xj∈X}、M2={|xj∈X}，定義以下相似性測度：①基于Lance距離的Pythagorean猶豫模糊集相似性測度如式(3)所示；②基于絕對值距離的Pythagorean猶豫模糊集相似性測度如式(4)所示；③基于泰爾不等系數(shù)的Pythagorean猶豫模糊集相似性測度如式(5)所示：④基于相關(guān)系數(shù)的Pythagorean猶豫模糊集相似性測度如式(6)所示。

ρA(M1,M2)=

(4)

ρT(M1,M2)=

(5)

ρC(M1,M2)=

(6)

其中，gj為經(jīng)最小公倍數(shù)拓展后隸屬度的個數(shù)；fj為經(jīng)最小公倍數(shù)拓展后非隸屬度的個數(shù)。

定理1設(shè)M1、M2是論域X上的兩個Pythagorean猶豫模糊集，令ρ代表定義6中提到的4種相似性測度，那么ρ則滿足以下3條性質(zhì)：①ρ(M1,M2)=ρ(M2,M1)；② 0≤ρ(M1,M2)≤1；③ 當(dāng)M1=M2時，ρ(M1,M2)=1。

2.3 Pythagorean猶豫模糊集加權(quán)相似性測度

(7)

ρwA(M1,M2)=

(8)

ρwT(M1,M2)=

(9)

ρwC(M1,M2)=

(10)

定理2設(shè)M1、M2是論域X上的兩個Pythagorean猶豫模糊集，令ρw代表定義7中提到的4種加權(quán)相似性測度，則ρw滿足以下3條性質(zhì)：①ρw(M1,M2)=ρw(M2,M1)；② 0≤ρw(M1,M2)≤1；③當(dāng)M1=M2時，ρw(M1,M2)=1。

3 決策應(yīng)用

3.1 決策方法

隨著社會經(jīng)濟(jì)及科技的發(fā)展，決策問題變得比之前更為復(fù)雜，如何選取最優(yōu)方案引起許多學(xué)者的關(guān)注。在解決模糊多屬性決策問題的過程中，Pythagorean猶豫模糊集不僅考慮了隸屬度和非隸屬度，更重要的是還描述了隸屬度與非隸屬度和大于1但其平方和小于等于1的情況。因此基于Pythagorean猶豫模糊環(huán)境下的決策方法對于決策理論和決策實(shí)際均有非常重要的意義。

相似性測度是衡量模糊集的重要工具，用來評價(jià)任意兩個事物之間相同程度的大小，在數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和模式識別等領(lǐng)域中有深入的研究。近年來，相似性測度在多種模糊集中得到了充分應(yīng)用，筆者基于Pythagorean猶豫模糊集，提出4種加權(quán)相似性測度，用以解決現(xiàn)實(shí)中的多屬性決策問題。

Pythagorean猶豫模糊多屬性決策方法的步驟為：①規(guī)范化處理決策矩陣。利用最小公倍數(shù)拓展法對決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化，并對處理后集合中的元素進(jìn)行降序排列；②確定正負(fù)理想點(diǎn)。取M+={|xj∈X}為正理想點(diǎn)，M-={|xj∈X}為負(fù)理想點(diǎn)；③計(jì)算相似性測度。利用上述4種Pythagorean猶豫模糊集加權(quán)相似性測度公式，計(jì)算各個方案與正負(fù)理想點(diǎn)的相似性ρw(Mi,M+)，ρw(Mi,M-);④計(jì)算貼近度并對方案進(jìn)行擇優(yōu)。利用式(11)計(jì)算貼近度T(Mi)，T(Mi)越大則表示方案越優(yōu)，通過比較其貼近度的大小，對方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。

(11)

3.2 案例分析

某公司擬開發(fā)4個軟件，現(xiàn)有4種不同的軟件項(xiàng)目ai(i=1,2,3,4)可供選擇，決策者分別從技術(shù)可行性(c1)、操作可行性(c2)、經(jīng)濟(jì)可行性(c3)3個屬性對4個項(xiàng)目進(jìn)行評價(jià)，且已知屬性權(quán)重向量W=(0.7,0.2,0.1)T。該公司結(jié)合3個屬性給出了針對4個軟件開發(fā)項(xiàng)目的評價(jià)，得到Pythagorean猶豫模糊決策矩陣O=(αij)4×3，其中αij表示基于屬性cj對項(xiàng)目ai的Pythagorean猶豫模糊元。

(1)將決策矩陣O規(guī)范化處理,得到矩陣O′：

(2)確定正負(fù)理想點(diǎn)。將M+={|xj∈X}作為正理想點(diǎn)，M-={|xj∈X}作為負(fù)理想點(diǎn)。

(3)利用式(7)計(jì)算各個方案與正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)相似性測度，結(jié)果如表1所示。

表1 基于Lance距離計(jì)算各方案與正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)相似性測度

(4)利用式(11)計(jì)算各方案與正負(fù)理想點(diǎn)的貼近度，得到T(M1)=0.603 5、T(M2)=0.839 4、T(M3)=0.348 6、T(M4)=0.851 2。所以a4?a2?a1?a3，選擇第四種軟件開發(fā)項(xiàng)目。

為了驗(yàn)證所提出相似性測度的科學(xué)有效性，利用式(8)～式(10)計(jì)算所有方案和正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)相似性測度，得到的貼近度如表2所示。

表2 ρwA、ρwT和ρwC計(jì)算得到的貼近度

式(8)～式(10)相似性測度計(jì)算的貼近度滿足T(M4)>T(M2)>T(M1)>T(M3)，從而a4?a2?a1?a3，4種基于Pythagorean猶豫模糊集的相似性測度公式，計(jì)算得出的排序與擇優(yōu)的結(jié)果均相同。因此，該實(shí)例驗(yàn)證了通過距離或不等系數(shù)定義相似性測度的可行性。

3.3 與現(xiàn)有方法的比較

筆者首先通過最小公倍數(shù)拓展法對Pythagorean猶豫模糊集進(jìn)行規(guī)范化處理，相比于文獻(xiàn)[13]中的悲觀、樂觀原則而言，筆者方法可以減小由于決策者主觀因素引起的誤差，提高了決策結(jié)果的精確度。在此基礎(chǔ)上，筆者定義了幾種基于Pythagorean猶豫模糊集的加權(quán)相似性測度，并運(yùn)用TOPSIS法對各屬性方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)，得到的方案優(yōu)劣結(jié)果為a4?a2?a1?a3，即第四種方案最好，第三種最差。通過運(yùn)用文獻(xiàn)[13]所定義的加權(quán)幾何距離法，計(jì)算各方案和正負(fù)理想點(diǎn)的貼近度，其結(jié)果為：T(M1)=0.464 0，T(M2)=0.585 0，T(M3)=0.336 0，T(M4)=0.598 6，可得排序結(jié)果a4?a2?a1?a3，與筆者得出排序結(jié)果是一致的。

綜上所述，相比于文獻(xiàn)[13]，筆者不僅降低了決策過程中的誤差，而且還分別從幾何角度和統(tǒng)計(jì)學(xué)角度分別定義了相似性測度，使決策方法更加全面，適用性更廣。

4 結(jié)論

筆者首先介紹了最小公倍數(shù)拓展法，將所得Pythagorean猶豫模糊集進(jìn)行規(guī)范化處理，以此解決了多個Pythagorean猶豫模糊元中隸屬度個數(shù)或非隸屬度個數(shù)不相同的情況；其次，提出了4種加權(quán)相似性測度方法，并探討了以上幾種加權(quán)相似性測度的性質(zhì)；最后，通過實(shí)例驗(yàn)證了4種相似性測度在Pythagorean猶豫模糊集多屬性決策問題的可行性，并通過與現(xiàn)有決策方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了筆者提出的決策方法是科學(xué)有效的。

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