康寧　趙俊芳　廉海榮

以有界弦振動(dòng)模型為例，介紹常數(shù)變易法求解非齊次線性偏微分方程定解問(wèn)題的形式解。首先利用分離變量法求出對(duì)應(yīng)齊次邊值問(wèn)題的解， 然后實(shí)施常數(shù)變易法得到結(jié)論， 此方法可推廣到其它非齊次模型中。

1前言

在《數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)》中，作者將弦的振動(dòng)分解為由外力引起的弦振動(dòng)和由初始位移引起的弦振動(dòng)，分別用分離變量法和特征函數(shù)法求解，再進(jìn)行疊加。在吳崇試編撰的《數(shù)學(xué)物理方法》中也采用了此方法。在梁昆淼編撰的《數(shù)學(xué)物理方法》中，作者用沖量定理法，將持續(xù)作用力引起的振動(dòng)看作“瞬時(shí)”力引起的振動(dòng)疊加。當(dāng)非齊次項(xiàng)特殊時(shí)，也可采用特殊方法。

常數(shù)變易法是求解非齊次線性常微分方程中介紹的一種技巧方法。例如考慮非齊次方程 ，其對(duì)應(yīng)齊次方程通解為： ，常數(shù)變易法就是將通解中C變換為函數(shù)， 代入原方程確定出待定函數(shù) 。

本文將利用常數(shù)變易法求解非齊次線性偏微分方程。 據(jù)作者所知，用這種方法研究偏微分方程尚未出現(xiàn)（[1]，[2]，[3]，[6]）。

2主要內(nèi)容

2.1有界弦的自由振動(dòng)（忽略初始條件）

其中， 為非負(fù)常數(shù)且 。若取 ，則（2）為第一類邊界條件；若取 ，則（2）為第二類邊界條件；其他情況，則（2）為第三類邊界條件。

下面將采用變量分離法求（1）-（2）的形式解。

令 代入（1）-（2）將得到一個(gè)線性特征值問(wèn)題，

（3）

和一個(gè)二階常微分方程，

（4）

對(duì)于特征值問(wèn)題（3），由姜禮尚等編撰的《數(shù)學(xué)物理方程講義》中定理4.1（P67）， 有

（i）. （3）的所有特征值組成一個(gè)單調(diào)遞增以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為凝聚點(diǎn)的序列：

（ii）. 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)正交，即 與此同時(shí)，（4）有解，

（5）

故（1）-（2）有形式解，

其中 由初始條件確定。

2.2有界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)模型

考慮外力密度函數(shù)為 的有界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程為，

（6）

邊界條件為（2）， 初始條件為，

（7）

（2），（6），（7）構(gòu)成強(qiáng)迫振動(dòng)模型。

為了求解上述方程，先用變量分離法求齊次方程（1）-（2）的解為，

然后做常數(shù)變易，注意到特征值受邊界條件的限制，故 ， 變易為t的函數(shù)，記

即有界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)模型的解形如，

（8）

將（8）代入（6）和（7），得，

其中， 是 關(guān)于 的傅里葉系數(shù)。利用拉普拉斯變換法或常數(shù)變易法，求解該常微分方程得，

故（6），（2），（7）的解為，

3總結(jié)與舉例

除弦振動(dòng)方程外，常數(shù)變易法也可用于求解其他非齊次線性偏微分方程，如熱傳導(dǎo)方程、拉普拉斯方程和泊松方程等。

例1 固定的有界弦強(qiáng)迫振動(dòng)模型

（9）

解： 利用變量分離法求在對(duì)應(yīng)齊次方程在第一類邊界（9）下的解，得特征值問(wèn)題，

求解特征值為 ，特征函數(shù)為 。利用常數(shù)變易法，設(shè)原模型有解形如 。代入得到常微分方程初值問(wèn)題， 求解得，

故固定的有界弦強(qiáng)迫振動(dòng)模型的形式解為：

例2. 熱傳導(dǎo)模型

解： 利用變量分離法求在對(duì)應(yīng)齊次方程在混合邊界下的解，得特征值問(wèn)題（11）

和二階常微分方程

求解特征值問(wèn)題（11）的特征值為 ，特征函數(shù)為 。利用常數(shù)變易法，設(shè)原模型有解形如

。

代入得到常微分方程初值問(wèn)題， 得，

（作者單位：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）數(shù)理學(xué)院）