吳紹霞

[摘 要] 介紹APOS理論的內(nèi)容及其對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示，并以平面向量的概念為例，提出了合理的教學(xué)設(shè)計，克服了概念教學(xué)中孤立傳授概念內(nèi)容，以練代講，不能熟練運(yùn)用概念、聯(lián)系概念的缺點(diǎn)。

[關(guān) 鍵 詞] APOS理論；平面向量；概念學(xué)習(xí)

[中圖分類號] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）11-0106-02

一、提出問題

數(shù)學(xué)概念是客觀對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的反映，是數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系的基礎(chǔ)，是建構(gòu)數(shù)學(xué)框架的基石。因此，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。數(shù)學(xué)概念排除了對象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性。在教學(xué)中，由于數(shù)學(xué)概念的抽象性和概括性，使很多學(xué)生學(xué)起來頭疼。原本中職生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，對抽象的概念難以理解，學(xué)習(xí)中更是難上加難。如何上好中職的數(shù)學(xué)概念課，讓學(xué)生從根本上理解概念，并掌握數(shù)學(xué)概念呢？本文以《平面向量的概念》一課為例進(jìn)行探討。

二、APOS理論

20世紀(jì)90年代后，建構(gòu)主義理論的教育理念迅速流行，主要觀點(diǎn)認(rèn)為學(xué)生獲取知識是通過學(xué)習(xí)主體自主構(gòu)建，而不是被動接受。APOS理論是以建構(gòu)主義理論為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。由美國的杜賓斯等人提出，主要針對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，從心理學(xué)的角度將學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程分成四個階段：Action（操作）階段、Process（過程）階段、Object（對象）階段和Scheme（圖式）階段。

（一）Action（操作）階段——引入

本階段是學(xué)生理解概念的基礎(chǔ)，通過適度的“操作活動”感受概念的背景和概念之間的關(guān)系，是感性認(rèn)識階段。

（二）Process（過程）階段——概括

充分發(fā)揮學(xué)生的主體能動性，通過對前一階段的操作活動進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化和壓縮，在頭腦中進(jìn)行描述和反思，抽象出概念的定義。

（三）Object（對象）階段——分析概念的內(nèi)涵與外延，揭示概念的關(guān)系

通過對概念演化過程中資料的分析、抽象，認(rèn)識概念的本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精致化，成為一個具體的對象。

（四）Scheme（圖式）階段——深化

學(xué)生不斷調(diào)整自身已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能在與其他概念聯(lián)系中系統(tǒng)認(rèn)識新概念，形成綜合的心理圖式。

APOS理論充分反映了個體認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的思維過程，解釋了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，對中職數(shù)學(xué)概念的教與學(xué)都具有極大的啟發(fā)意義。

三、教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)內(nèi)容解析

本課采用的教材是由李廣全等主編，高等教育出版社出版的數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊（修訂版），內(nèi)容選自第七章《平面向量》的第一節(jié)平面向量的概念。

向量是集“數(shù)”“形”于一身的數(shù)學(xué)概念，典型地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，溝通了代數(shù)、幾何與三角的聯(lián)系。教材中對向量概念的學(xué)習(xí)方式是：實(shí)際例子（不同方向的力作用于小車，產(chǎn)生運(yùn)動的效果不同）——數(shù)形對比（數(shù)量與向量）——從過程中提煉出平面向量的概念。但由于學(xué)生對數(shù)的學(xué)習(xí)已經(jīng)很熟練，對物理學(xué)中的“力”比較抽象，在學(xué)習(xí)向量時形成了負(fù)遷移，導(dǎo)致學(xué)生對“方向”缺乏充分的理解，不利于學(xué)生深入地掌握向量的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)形結(jié)合的思維。

（二）教學(xué)重難點(diǎn)

本課的教學(xué)重點(diǎn)是平面向量的概念，平面向量的兩個要素及幾何表示。難點(diǎn)是理解平面向量的概念和共線向量的概念。

重難點(diǎn)突破：通過3個實(shí)例層層加深學(xué)生對向量“方向”的感受，剖析實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生抽象出向量的概念。通過在幾何圖形中理解、歸納出相等向量、共線向量、負(fù)向量等概念，認(rèn)識向量概念的本質(zhì)，也就認(rèn)識到它的表達(dá)式不是唯一的，表達(dá)形式是可變的。

（三）教學(xué)目標(biāo)解析

通過創(chuàng)設(shè)情境，結(jié)合生活中的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生深入理解向量的兩個要素——大小和方向，理解向量的概念和幾何意義。能區(qū)分?jǐn)?shù)量與向量的關(guān)系，知道數(shù)量可以比較大小，向量不可比較大小，但是向量的模也可比較大小。會根據(jù)有向線段判斷兩個向量是否是相等向量、平行向量或是負(fù)向量，從實(shí)例中抽象出向量概念的活動，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和抽象概括能力，慢慢學(xué)會抓住問題的關(guān)鍵。

教學(xué)過程中充分調(diào)動學(xué)生的參與熱情，鼓勵學(xué)生通過活動、生活經(jīng)驗(yàn)主動地參與課堂教學(xué)的每一環(huán)節(jié)，體會向量路標(biāo)作用的同時感受向量運(yùn)算的力量，收獲成功的體驗(yàn)。

（四）教學(xué)過程設(shè)計

依據(jù)APOS理論，本課的教學(xué)分四個階段：

1.操作階段：創(chuàng)設(shè)情境，問題引導(dǎo)

（1）活動：我是模特。要求A、B兩位學(xué)生按照給定的路線行走，請大家思考：在這個過程中，出現(xiàn)了什么量？它們有相同之處嗎？又有什么不同？（圖1）

（2）幫幫我：我要從A地坐公交車到B地，在公交站牌上也找到了B地，上車后司機(jī)卻讓我馬上下車。為什么？

（3）一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，水流速度為5 km/h，你能指出渡船實(shí)際航行的大概方向嗎？如果渡船想以垂直于河岸的方向航行，它需要朝哪個方向航行？（圖2）

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圖1 圖2

設(shè)計意圖：（1）現(xiàn)場的演示，讓學(xué)生直接觀察A、B兩位同學(xué)行走的過程，對相同的距離脫口而出，而思考不同之處及如何表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生初步了解“方向”。

（2）中“我”強(qiáng)調(diào)上車站點(diǎn)準(zhǔn)確無誤，讓學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)中思考“搭錯車”的失誤在哪里，加深對“方向”的體驗(yàn)。

（3）并不要求學(xué)生計算出準(zhǔn)確的答案，只需根據(jù)前兩個問題的鋪墊，對渡船的大概航行方向做出判斷，感受左右渡船航向的因素仍離不開“方向”。

通過以上的活動、比較、歸納等數(shù)學(xué)操作活動，學(xué)生對平面向量的概念有了感性的認(rèn)知。

2.過程階段：對照引例，形成概念

我們可以發(fā)現(xiàn)，在上述例子中，A、B兩位學(xué)生雖然行走的路程相同，但是起點(diǎn)、重點(diǎn)相反；“搭錯車”的根本原因就是起點(diǎn)、終點(diǎn)的判斷出錯；渡船的實(shí)際航行速度既由作用在船上的不同量的大小確定，也與它們的方向有關(guān)。即使兩個量起點(diǎn)與終點(diǎn)間的長度相等，若是方向不同，那么它們就表示不同的量。決定這些量的要素有兩個：大小和方向，大小可用線段的長度表示，方向則由起點(diǎn)和終點(diǎn)確定，用箭頭表示。由此得出只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量，總結(jié)出平面向量的概念：既有大小又有方向的量稱為向量，記作■或■。

設(shè)計意圖：把引例中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行壓縮、提升，將平面向量的“有向”性特征反復(fù)強(qiáng)化，描述出來，把向量概念加入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

3.對象階段：概念剖析，鞏固強(qiáng)化

在本階段反復(fù)強(qiáng)調(diào)手寫體的向量一定要加箭頭。

基于學(xué)生對平面向量概念的初步認(rèn)識，采用了課本上的2道例題。

例1.一架飛機(jī)從A處向正南方向飛行200 km，另一架飛機(jī)從A處朝北偏東45°方向飛行200 km，兩架飛機(jī)的位移相同嗎？分別用有向線段表示兩架飛機(jī)的位移。

設(shè)計意圖：強(qiáng)調(diào)平面向量是具有大小和方向的量。在實(shí)際問題中，要求學(xué)生正確標(biāo)出東、南、西、北四個方位，用有向線段表示相應(yīng)的向量，進(jìn)一步熟悉向量的概念。

例2.觀察圖3中的向量■與■、■與■。

（1）說出它們的關(guān)系；

（2）若小方格邊長為1，寫出圖中各向量的模。

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圖3

設(shè)計意圖：學(xué)生能很快判斷出向量■與■所在的直線平行，模相等，方向相同；向量■與■所在的直線平行，方向相反。在引導(dǎo)下歸納出平行向量（共線向量）、相等向量（自由向量）、負(fù)向量等概念。寫出每個向量的模使學(xué)生對向量的大小和方向理解更為深刻。

而零向量、單位向量等特殊向量的學(xué)習(xí)讓學(xué)生對向量概念的理解上升到理性階段。

4.圖式階段：對比例題，深入解析

例3.在平行四邊形ABCD（圖4）中，O為對角線交點(diǎn)。

（1）找出與向量■相等的向量；

（2）找出向量■的負(fù)向量；

（3）找出與向量■平行的向量。

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圖4

設(shè)計意圖：結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，讓學(xué)生在幾何圖形中運(yùn)用相等向量（大小相等、方向相同）、負(fù)向量（大小相等、方向相反）與平行向量（方向相同或相反）的概念找出滿足條件的向量。通過對例題的分析求解，深化目標(biāo)，學(xué)生最終形成自身平面向量概念的心智結(jié)構(gòu)。

通過本課的學(xué)習(xí)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中只能形成平面向量初始階段的圖式，今后還需要長期的學(xué)習(xí)活動（如向量的三角形法則與平行四邊形法則、線性運(yùn)算、數(shù)量積等）進(jìn)行完善。

緊扣本節(jié)課的重難點(diǎn)，布置課本第28頁練習(xí)7.1.1中3道習(xí)題，幫助學(xué)生應(yīng)用知識，強(qiáng)化訓(xùn)練。

最后進(jìn)行歸納小結(jié)，布置作業(yè)。

四、設(shè)計體會

APOS理論使學(xué)生對平面向量概念的理解做了四層分析，真實(shí)反映了學(xué)生對概念學(xué)習(xí)的心智建構(gòu)過程，揭示了概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)。學(xué)生對平面向量概念的學(xué)習(xí)不是線性的，而是呈循環(huán)螺旋上升的形式，在必要的地方聯(lián)想到這些概念的應(yīng)用。本課基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計，本質(zhì)是“以學(xué)生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，學(xué)生在形成平面向量概念時自覺地完成了由感覺、知覺到表象，由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程。這種將概念形成的過程交由學(xué)生自主建構(gòu)，形成新的概念并納入自身已有的概念體系的教學(xué)過程，使學(xué)生對平面向量概念理解更為深刻、有意義。

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