曾小林，黃一緣

(1.重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 重慶 400067；2.北京師范大學 數(shù)學科學學院，北京 100875)

0 引 言

Borel可測集(簡稱Borel集)是在高等概率論、實變函數(shù)、測度論等課程中經(jīng)常遇到的一個基本概念.簡而言之，Borel集是Borel代數(shù)的任一成員的稱呼，它被冠以測度論的開創(chuàng)人——Lebesgue的老師Borel的名字，顯示其在測度論發(fā)展歷史上的重要性.從數(shù)學史知道，概率論在柯爾莫哥洛夫的公理化體系下由于有了測度論的工具而得以深入發(fā)展[1].而Borel集和Lebesgue集是測度論最基本的概念，關于后者，許多文獻已有詳盡論述[2-3].也許是涉及Borel集的過多討論會削弱Lebesgue集在測度論里的重要地位，一般文獻對n維Borel集的構(gòu)造問題涉及并不多，即使有少量討論，也多是在一維情形下展開，且著眼于Borel集與Lebesgue集的關系進行的[4].為了加深對測度論基本思想的認識，改變初學者對有關測度論概念“晦澀難懂”的刻板印象，針對n維歐氏空間上Borel集的構(gòu)造問題，提出幾個具有測度論特色的結(jié)果加以詳細討論.主要是采用一種新的途徑證明文獻中已知的下述結(jié)果[5]：n維歐氏空間中任一開集都可表示成至多可數(shù)無限多個兩兩不交的n維左開右閉區(qū)間之并，然后以此為工具，給出n維歐氏空間上Borel代數(shù)的幾個較小生成元.從某種意義上來說，本文可以作為“結(jié)構(gòu)-目標”教學思想的一種實踐[6].此外，文中引理2證明采用的分情形討論的方法以及定理1證明采用的反證法比較淺顯地例釋了測度論和隨機泛函分析中常用的方法，尤其是這些方法在隨機賦范模上的分析學中也被經(jīng)常使用[7].

以N表示正整數(shù)全體，Z表示整數(shù)全體.n維歐氏空間的概念是眾所周知的，回憶如下：

定義1[8]定義映射ρ：Rn×Rn→R如下：

則(Rn，ρ)形成一個度量空間，稱為n維歐氏空間，且度量ρ常常略而不提.

這里yi-xi稱為該區(qū)間第i條邊的邊長.類似地，還可給出Rn中的開區(qū)間、閉區(qū)間、左閉右開區(qū)間等區(qū)間的定義，見文末注記1. 為了與一維的情形相區(qū)分，有時這些區(qū)間稱為n維區(qū)間.

1 主要結(jié)果及其證明

定理1n維歐氏空間Rn中的任一開集都可表示成至多可數(shù)無限多個兩兩不交的n維左開右閉區(qū)間之并.

命題1Al中任意兩個不同成員的交集為空集.

命題2 對任意l∈N，Rn可表示為Al中所有成員的并.

由x的任意性得

證畢.

為了證明定理1，需要下面3條引理.

引理1 對每個l∈N，集類Al都是Rn的一個可數(shù)無限劃分.

證明由命題1，2立即得證.

引理2 設l1，l2∈N且l1

(i=1，2，…，n)都成立.等價地，

注意這兩個不等式中l(wèi)1，l2，mi均為已知，由此得到si必須且只需滿足下列不等式：

(1)

下面用構(gòu)造的方法來證明滿足式(1)的整數(shù)si總是存在的.

對每個i=1，2，…，n，按上述方法構(gòu)造si，必可使得D?E，證畢.

引理3 設G為Rn中的開集，x∈G，則對充分大的正整數(shù)l，Al中包含x的那個成員必定包含于G.

證明首先由引理1知對每個l∈N，Al中必有一個成員包含點x.下證對充分大的l∈N，該成員包含于G.

定理1的證明：設G為Rn中的任一開集，要證G可表示為Rn中至多可數(shù)無限多個兩兩不交的左開右閉區(qū)間之并.

由l0的定義知D?G是顯然的.

注記1 用B(Rn)表示Rn中開集生成的σ-代數(shù)，稱為Borelσ-代數(shù)(簡稱Borel代數(shù))，且集類B(Rn)中的成員稱為Borel集.以定理1為基礎，利用σ-代數(shù)對可數(shù)交、可數(shù)并、取余集運算封閉的性質(zhì)，可以證明下列集類生成的σ-代數(shù)都是B(Rn)：

常稱C1，C2，…，C8為Borel代數(shù)B(Rn)的較小生成元.

C1={(a，b)：a，b∈Rn且a

C2={(a，b]：a，b∈Rn且a

C3={[a，b)：a，b∈Rn且a

C4={[a，b]：a，b∈Rn且a

C5={(-∞，b)：b∈Rn}

C6={(-∞，b)：b∈Rn}

C7={[a，∞)：a∈Rn}

C8={(a，∞)：a∈Rn}

2 結(jié) 論

利用n維歐氏空間中左端點形如mi/2l(其中mi為整數(shù)，l為正整數(shù))且長度均為1/2l的那些特殊的左開右閉區(qū)間形成的集類Al的優(yōu)良結(jié)構(gòu)，綜合運用實數(shù)域上的分區(qū)間討論、不等式與拓撲技巧，首先證明了Al是n維歐氏空間的可數(shù)無限劃分，且隨著l變得越大Al變得越精細，以及對n維歐氏空間中任意開集中的任意一點來說，當l充分大時Al中包含該點的那個成員必定包含于該開集中.然后，在此基礎上用反證法證明了n維歐氏空間中任一開集都可表示成至多可數(shù)無限多個兩兩不交的n維左開右閉區(qū)間之并.最后以此結(jié)論為工具，介紹了n維歐氏空間上Borel代數(shù)的幾個較小生成元.需要強調(diào)的是，本文證明定理1的方法不同于文獻[4]中給的證明，與后者比起來，本文的證明由于采用了集類Al而顯得更加直觀，更具有可讀性.

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