柴錫軍

(河南能源化工集團研究院有限公司，河南 鄭州 450046)

0 引 言

在工程實際中，有很多軸類零件都會受到扭轉(zhuǎn)作用，如汽車傳動軸、車床光桿等。但是還有一些軸類零件不僅僅受到扭轉(zhuǎn)作用，還會承受像彎矩等其他作用載荷，像機床傳動軸、電機主軸等，它們在載荷作用下常常會同時產(chǎn)生兩種或兩種以上的變形。我們常見的軸類零件大部分都是圓柱軸，但在一些特殊機械中會用到一些非圓截面軸，如方軸、花鍵軸、橢圓軸、齒輪軸等。

花鍵軸是機械傳動軸的一種，分為矩形花鍵軸和漸開線花鍵軸，都是傳遞扭矩的，在汽車、飛機、機床制造業(yè)、農(nóng)業(yè)機械以及一般機械傳動裝置中應用非常廣泛。工作時，花鍵軸要承受扭轉(zhuǎn)作用，發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，但是對于花鍵軸以及一些非圓截面軸的扭轉(zhuǎn)變形及破壞規(guī)律很少有人深入研究。因此，研究花鍵軸在扭轉(zhuǎn)時的變形規(guī)律和應力具有十分重要的現(xiàn)實意義。

1 花鍵軸強度計算

對于一個花鍵軸，一端固定，在另一端施加一個力偶面與軸線垂直的的外力偶矩，即扭矩T。由于扭矩的作用，兩端面之間會出現(xiàn)相對角位移φ，也就是扭轉(zhuǎn)角。隨著扭轉(zhuǎn)角的增大，花鍵軸的鍵齒隨之發(fā)生變形，由直齒逐漸變成了斜齒，結(jié)構(gòu)逐漸相似于蝸桿。為方便分析計算，現(xiàn)定義一虛擬螺旋角β，即花鍵鍵齒扭轉(zhuǎn)后的切線與通過切點的圓柱面直母線之間所夾的銳角。隨和扭轉(zhuǎn)加劇，其逐漸增大。由于虛擬螺旋角的存在使得花鍵軸在受到扭矩T作用時，軸橫截面上將會同時存在彎矩M和轉(zhuǎn)矩Me，并且：

M=T·sinβ；Me=T·cosβ

(1)

因此花鍵軸在扭矩作用下，會出現(xiàn)彎曲和扭轉(zhuǎn)的組合變形，產(chǎn)生彎曲應力σ和剪切應力τ。

1.1 彎曲應力計算

當花鍵軸上存在彎矩M時，其橫截面上任一點處正應力計算公式為：

(2)

1.2 剪切應力計算

由于花鍵軸是非圓截面軸，在受到轉(zhuǎn)矩Me作用時，如果無任何約束，花鍵軸發(fā)生翹曲。在實際應用中，由于支承元件的存在，可將花鍵軸看作一端固定，一端可以微小浮動，這種情況就是約束扭轉(zhuǎn)。在轉(zhuǎn)矩Me作用下，橫截面上任一點處切應力計算公式為：

(3)

1.3 強度計算

由于軸類零件一般都采用塑性材料，即鋼材，所以應選用第三或第四強度理論來建立強度條件，第三、第四強度理論的強度條件分別為：

(4)

對于鍵齒數(shù)為z的花鍵軸，取橫截面形心為原點，一條橫截面對稱軸為Y軸，則另一軸為Z軸，建立直角坐標系。在花鍵軸扭轉(zhuǎn)的過程中的Δt時間內(nèi)，截面尺寸基本無變化，此時橫截面的慣性矩Iz和極慣性矩Ip可視為常量。

將式(1)分別代入式(2)和式(3)可得最大應力為：

(6)

(7)

式中：ra為花鍵軸的齒頂圓半徑。由上面的兩個公式可知：彎曲產(chǎn)生的最大正應力和扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的最大切應力理論上應在花鍵軸齒頂部分。

將式(6)和式(7)代入式(4)可得：

(8)

由上面兩式可知：在扭矩T的作用下，每一時刻橫截面上的最大應力與虛擬螺旋角β有關，且隨虛擬螺旋角的增大而增大。

2 數(shù)據(jù)計算

根據(jù)第三、第四強度理論條件可知：

σr3max≤[σ]；σr4max≤[σ]

(9)

將式(8)代入上式可得施加在花鍵軸上的最大扭矩分別為：

(10)

由于花鍵軸大多采用40Cr鋼，可查得其屈服極限σs≥785 MPa。又由于受彎扭作用的軸類零件的屈服安全系數(shù)一般為：ns=1.2～2，為使花鍵軸相對更加安全，取ns=2，則花鍵軸的最小許用應力為：

(11)

取齒數(shù)同為10的矩形花鍵軸和漸開線花鍵軸的一組尺寸。其中矩形花鍵軸截面尺寸取N×d×D×B為10×82×88×12,其中N為齒數(shù)，d為齒根圓直徑，D為齒頂圓直徑，B為鍵齒寬。為使齒頂圓直徑保持一致，對于漸開線花鍵軸參數(shù)取為：模數(shù)m=8，壓力角為30°，進而可得漸開線花鍵軸橫截面的其他尺寸，像齒頂圓直徑Dei=m(z+1)=88 mm；分度圓直徑D=mz=80 mm等。在軟件SolidWorks中分別繪制矩形花鍵軸和漸開線花鍵軸的三維模型如圖1所示。

圖1 矩形花鍵軸和漸開線花鍵軸三維模型

根據(jù)軟件“工具-截面屬性”可查得花鍵軸的慣性矩和極慣性矩如表1所列。

表1 花鍵軸的慣性矩和極慣性矩

將式(11)和上表中的數(shù)據(jù)代入式(10)可得花鍵軸在正常狀態(tài)下承受的最大扭矩。

對于矩形花鍵軸：

T3max是一常數(shù)，保持不變，與虛擬螺旋角無關。

T4max與虛擬螺旋角有關。

對于漸開線花鍵軸：

=17.841×103(N·m)

T3max也是與虛擬螺旋角無關。

T4max與虛擬螺旋角有關。

綜上所述，花鍵軸在安全工作狀態(tài)下所能承受的最大扭矩與虛擬螺旋角有關，兩者之間的關系如圖2和圖3所示。

圖2 矩形花鍵軸T-β關系圖 圖3 漸開線花鍵軸T-β關系圖

3 結(jié) 論

從實際出發(fā)，分析了花鍵軸在扭矩作用下的強度問題，通過上面的分析研究，有以下幾方面的結(jié)論：

(1) 在扭轉(zhuǎn)過程中，隨著虛擬螺旋角的逐漸增大，花鍵軸上將同時存在彎矩和轉(zhuǎn)矩。

(2) 通過計算可知，彎矩產(chǎn)生的正應力和轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的切應力均與虛擬螺旋角有關。

(3) 由最大應力公式以及圖2、3可知：花鍵軸橫截面上最大應力與虛擬螺旋角有關，并且隨著虛擬螺旋角的增大而增大；但是花鍵軸所能承受的最大扭矩卻隨著虛擬螺旋角的增大而減小。

也就是說，在恒定扭矩作用下，隨著虛擬螺旋角的增大，花鍵軸被破壞程度會越來越快；對于大徑相同的矩形花鍵軸和漸開線花鍵軸，矩形花鍵軸所能承受的最大扭矩比漸開線花鍵軸的要大，也就是說它的抗扭強度要比漸開線花鍵軸要好。

(4) 由最大應力與虛擬螺旋角的關系可得出：對于給定螺旋角的非圓截面軸，順著螺旋角方向扭轉(zhuǎn)至破壞所需時間要比反向扭轉(zhuǎn)時時間短；并且由于反向時螺旋角逐漸減小至零后又反向增大，所以變形量相對順向較大，但理論上無論是順向還是反向，其最大應力應基本相同。

通過計算與推導，我們得到花鍵軸橫截面最大應力與虛擬螺旋角的關系，為工程實際中花鍵軸和近似花鍵軸類零件的扭轉(zhuǎn)強度計算提供理論依據(jù)。

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