鄒繼芳

(撫順礦業(yè)集團有限責任公司機械制造廠 113001)

用代數法巧妙求出X2+Y2=Z2不定方程的非零整數之通解

解設X=μ+A,

Y=μ+B,

Z=μ+C,

式中：μ、A、B、C都為正整數，顯然C>A,C>B.

所以,X2+Y2=Z2可寫成

(μ+A)2+(μ+B)2=(μ+C)2,

μ2+2μA+A2+μ2+2μB+B2=μ2+2μC+C2,

μ2+2μ(A+B-C)+A2+B2-C2=0.

設C-A=p，C-B=q，

因C、A、B為正整數，則p、q為正整數.

則Y=μ+B,

則X=μ+A,

從C-A=p，C-B=q中得

p+A=q+B,

p-B=q-A.

則Z=μ+C,

從C-B=q中得C=q+B.

即有下列關系式

由于X、Y、Z皆為正整數，即X>0,Y>0,Z>0,

討論:由于p>0,q>0,

q>2p；

p>2q.

很容易驗證此解是X2+Y2=Z2的不為零的整數之通解.

下面來討論此解，考察這個通解.

由于2pq必須為平方數，且2pq必須為偶數,

pq=2m2,

因p、q必須為正整數，所以說明2m2必能被q整除，也說明2m2必含有被q整除的因子.為討論方便起見設m=a×b(a、b都是任意正整數),

則2m2=2×(a×b)2=2a2×b2,

即p×q=2m2=2a2×b2.

這樣，當X、Y、Z為互質時，只有如下關系式

上式的結果比較繁瑣，需要對其簡化.

4γ=β2-4.

根據X=a2β，Y=a2γ，代入4γ=β2-4中,

X2=4a2(a2+Y),

則X=2ad,

Y=d2-a2.

4ω=[(β-2)2+4β],

4ω=(β2-4β+4+4β).

4ω=β2+4.

根據X=a2β，Z=a2ω代入4ω=β2+4中,

4Za2-X2=4a4,

4Za2-4a4=X2,

即有如下結論：

設Z-a2=e2,則

X=2ae,

Z=e2+a2.

又因X=2ae，前式中X=2ad,所以d=e.

為統(tǒng)一和書寫方便起見，取X=2ad.

根據上述求證結果，可得出如下結論：

不定方程X2+Y2=Z2不為零的正整數解通解為，當X、Y、Z互質時(沒有公因數時),

若有公因數時，則

這樣即可獲取所有的整數解，即X2+Y2=Z2不定方程的非零整數之通解.

幾何解析：仔細分析X2+Y2=Z2這個方程，從幾何的角度來看，X、Y、Z分別代表直角三角形的三條邊，三條邊之間的關系為X2+Y2=Z2,這就是著名的勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.這個定理在中國又稱為商高定理，在國外稱為“畢達哥拉斯定理”.

(勾股定理幾何關系)

若X、Y、Z都為正整數，則構成勾股數組

(勾股數組關系) 記為(2ad、d2-a2、d2+a2)

參考文獻：

[1]張文忠.數學擷英[M].北京：科學普及出版社，1983.

[2]A·B瓦西列夫斯基.數學解題教學法[M].李光宇,王力新譯.長沙：湖南科學技術出版社，1982.

[3]夏圣亭.中學數學題巧解妙法[M].上海：上?？茖W普及出版社，1994.