張津航

(河北省樂亭縣第一中學(xué) 063600)

排列組合問題雖然種類繁多,稍不注意就會(huì)產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤,但只要能把握住最常見的原理和方法，即：“分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合”，留心容易出錯(cuò)的地方就能夠以不變應(yīng)萬變，把排列組合學(xué)好下面我們給出一些排列組合問題的一些典型錯(cuò)例解析,以期能夠幫助大家起到防微杜漸的作用.

一、沒有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)

排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.

例1 從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的取法有 種

錯(cuò)解因?yàn)榭梢匀?臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法.

錯(cuò)因分析誤解的原因在于沒有意識(shí)到“選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.

二、重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)

在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問題、平均分組問題等,這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù),產(chǎn)生錯(cuò)誤.

例2 5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生,每個(gè)學(xué)生至少一本,不同的分法種數(shù)為( ).

A.480 種 B.240種 C.120種 D.96種

錯(cuò)因分析設(shè)5本書為a、b、c、d、e，四個(gè)人為甲、乙、丙、丁按照上述分法可能如下的表1和表2：

表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書e給甲的情況；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書a給甲的情況這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計(jì)算成了不同的情況.正好重復(fù)了一次.

三、忽視題設(shè)條件出錯(cuò)

在解決排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或者漏解.

例3 如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有____種(以數(shù)字作答).

錯(cuò)因分析據(jù)報(bào)導(dǎo),在高考中有很多考生填了48種這主要是沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”,不一定需要4種顏色全部使用,用3種也可以完成任務(wù).

四、未考慮特殊情況出錯(cuò)

在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會(huì)出錯(cuò).

例4 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是( ).

A.1024種 B.1023種 C.1536種 D.1535種

錯(cuò)解因?yàn)楣灿腥嗣駧?0張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有210-1=1023種.

錯(cuò)因分析這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計(jì)算成 4 種情況，實(shí)際上只有不取、取一張和取二張3種情況.

正解除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有29×3-1=1535種.

參考文獻(xiàn)：

[1]張明艷.排列組合問題中的思想方法[J].課程教育研究,2015(09):204-205.

[2]馮芮.排列組合解題的常用策略[J].科教文匯(下旬刊),2014(05):137-138.