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        跳出排列組合的“誤區(qū)陷阱”

        2018-05-09 06:22:29張津航
        數(shù)理化解題研究 2018年6期
        關(guān)鍵詞:種顏色原裝排列組合

        張津航

        (河北省樂亭縣第一中學(xué) 063600)

        排列組合問題雖然種類繁多,稍不注意就會(huì)產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤,但只要能把握住最常見的原理和方法,即:“分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合”,留心容易出錯(cuò)的地方就能夠以不變應(yīng)萬變,把排列組合學(xué)好下面我們給出一些排列組合問題的一些典型錯(cuò)例解析,以期能夠幫助大家起到防微杜漸的作用.

        一、沒有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)

        排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理,即加法原理和乘法原理,故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.

        例1 從6臺原裝計(jì)算機(jī)和5臺組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺,則不同的取法有 種

        錯(cuò)解因?yàn)榭梢匀?臺原裝與3臺組裝計(jì)算機(jī)或是3臺原裝與2臺組裝計(jì)算機(jī),所以只有2種取法.

        錯(cuò)因分析誤解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計(jì)算機(jī)或是3臺原裝與2臺組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”辦法,每類辦法中都還有不同的取法.

        二、重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)

        在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問題、平均分組問題等,這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù),產(chǎn)生錯(cuò)誤.

        例2 5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生,每個(gè)學(xué)生至少一本,不同的分法種數(shù)為( ).

        A.480 種 B.240種 C.120種 D.96種

        錯(cuò)因分析設(shè)5本書為a、b、c、d、e,四個(gè)人為甲、乙、丙、丁按照上述分法可能如下的表1和表2:

        表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d,最后一本書e給甲的情況;表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d,最后一本書a給甲的情況這兩種情況是完全相同的,而在誤解中計(jì)算成了不同的情況.正好重復(fù)了一次.

        三、忽視題設(shè)條件出錯(cuò)

        在解決排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號,不然就可能多解或者漏解.

        例3 如圖,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有____種(以數(shù)字作答).

        錯(cuò)因分析據(jù)報(bào)導(dǎo),在高考中有很多考生填了48種這主要是沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”,不一定需要4種顏色全部使用,用3種也可以完成任務(wù).

        四、未考慮特殊情況出錯(cuò)

        在排列組合中要特別注意一些特殊情況,一有疏漏就會(huì)出錯(cuò).

        例4 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張,100元人民幣2張,從中至少取一張,共可組成不同的幣值種數(shù)是( ).

        A.1024種 B.1023種 C.1536種 D.1535種

        錯(cuò)解因?yàn)楣灿腥嗣駧?0張,每張人民幣都有取和不取2種情況,減去全不取的1種情況,共有210-1=1023種.

        錯(cuò)因分析這里100元面值比較特殊有兩張,在誤解中被計(jì)算成 4 種情況,實(shí)際上只有不取、取一張和取二張3種情況.

        正解除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況,100元人民幣的取法有3種情況,再減去全不取的1種情況,所以共有29×3-1=1535種.

        參考文獻(xiàn):

        [1]張明艷.排列組合問題中的思想方法[J].課程教育研究,2015(09):204-205.

        [2]馮芮.排列組合解題的常用策略[J].科教文匯(下旬刊),2014(05):137-138.

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