張 碩,張雪妮,2

(1．河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 050024； 2.河北省撫寧第二中學(xué) 066300)

一、問題的提出

我國《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：了解無理數(shù)與實(shí)數(shù)的概念并能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍．我國香港地區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：體驗(yàn)有理數(shù)與無理數(shù)，發(fā)展利用數(shù)來構(gòu)想及解決問題的各種策略．美國中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：在初中階段安排學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)，無理數(shù)，實(shí)數(shù)等知識(shí)．英國中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：中學(xué)生需要理解并使用實(shí)數(shù)中的有理數(shù)與無理數(shù)并能確定區(qū)間邊界．日本中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：在數(shù)的有關(guān)概念的教學(xué)中要重視數(shù)的意義及大小，并通過數(shù)軸來表示數(shù)來說明數(shù)之間的大?。商m中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生需學(xué)會(huì)估算，包括與小數(shù)和分?jǐn)?shù)有關(guān)的估算，并能對(duì)估算結(jié)果的準(zhǔn)確性做出判斷，而且可以將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)．通過以上各國中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)無理數(shù)的提出，可看出無理數(shù)在世界各國中學(xué)數(shù)學(xué)中都占有很重要的位置．

但是，據(jù)筆者對(duì)中學(xué)老師的一些訪談及側(cè)面對(duì)學(xué)生的了解，發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生認(rèn)為無理數(shù)比有理數(shù)難懂，對(duì)無理數(shù)的相關(guān)概念，性質(zhì)等學(xué)得一塌糊涂，有些學(xué)生甚至不知道無理數(shù)是什么，對(duì)于有理數(shù)的區(qū)別也模模糊糊．許多教師認(rèn)為無理數(shù)比較抽象，雖是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，但因中考所占比例不大，因此對(duì)這塊內(nèi)容不夠重視，也不作更深講解．筆者還發(fā)現(xiàn)一部分教師對(duì)無理數(shù)發(fā)展史也不清楚，雖然教材把無理數(shù)編制了一整節(jié)內(nèi)容，但還是不能引起學(xué)生及教師的關(guān)注．因此筆者認(rèn)為有必要對(duì)學(xué)生無理數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行調(diào)查研究．

二、研究過程

2.研究對(duì)象

筆者選取了河北省石家莊市的幾所不同層次學(xué)校的部分九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了預(yù)調(diào)查，并通過整理分析，最終選取河北省石家莊市第二十二中這所普通中學(xué)的九年級(jí)不同層次的四個(gè)班級(jí)132名學(xué)生作為本研究的測試樣本，其中重點(diǎn)班學(xué)生共為61人，普通班學(xué)生共為71人．

3.研究工具

本文研究使用的測驗(yàn)工具為預(yù)測卷、正式測試卷、訪談提綱．

3.統(tǒng)計(jì)方法

本研究實(shí)際回收試卷132 份，實(shí)際有效卷為127份．試卷中所有試題均為主觀題目，且均不記分，對(duì)問題結(jié)果進(jìn)行水平劃分或?qū)W(xué)生回答情況進(jìn)行歸類統(tǒng)計(jì)．為了根據(jù)學(xué)生的回答比較學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的掌握情況，筆者借鑒了比格斯的SOLO分類系統(tǒng)將學(xué)生對(duì)第一題和第二題進(jìn)行水平的編碼劃分，具體劃分標(biāo)準(zhǔn)說明如下：

水平1：相當(dāng)于SOLO分類系統(tǒng)的前結(jié)構(gòu)水平．

這一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生的回答基本上無法理解無理數(shù)的本質(zhì)特征．

水平2：相當(dāng)于SOLO分類系統(tǒng)的單一結(jié)構(gòu)水平．

這一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生在回答無理數(shù)的定義時(shí)只找到了無理數(shù)的某一類型或者只提及到無理數(shù)概念的某一個(gè)側(cè)面或舉例說明就此結(jié)束回答．

水平3：相當(dāng)于SOLO分類系統(tǒng)的多元結(jié)構(gòu)水平．

這一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生在回答無理數(shù)的定義時(shí)找到了可以代表無理數(shù)的多種不同的表現(xiàn)形式，但卻未能把這些不同形式有機(jī)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣显谝黄穑?/p>

水平4：相當(dāng)于SOLO分類系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平．

這一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生在回答無理數(shù)定義時(shí)找到了多個(gè)無理數(shù)概念的表現(xiàn)形式或者知識(shí)點(diǎn)，并且能夠把這些知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來．

水平5：相當(dāng)于SOLO分類系統(tǒng)的抽象拓展結(jié)構(gòu)水平．

這一結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生回答無理數(shù)定義時(shí)能夠?qū)o理數(shù)的概念進(jìn)行多種不同表述的抽象概括，并且表述邏輯嚴(yán)密，思路清晰，涵蓋了所有的知識(shí)點(diǎn)．

三、研究結(jié)果及分析

問卷中的第一題是讓學(xué)生寫出自己所理解的無理數(shù)的概念，并要求學(xué)生盡可能多的寫出不同的表達(dá)方式，第二題是讓學(xué)生從眾多數(shù)中選出無理數(shù)，目的是要考察學(xué)生是否真正掌握了無理數(shù)概念的本質(zhì)．答卷中學(xué)生的回答呈現(xiàn)出不同的水平，筆者借鑒了SOLO分類系統(tǒng)進(jìn)行水平劃分(具體劃分標(biāo)準(zhǔn)見研究過程中的統(tǒng)計(jì)方法)，表1反映了學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的回答水平分布情況．

表1學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的回答水平分類統(tǒng)計(jì)表

從上表數(shù)據(jù)可以看出學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的回答情況絕大部分處于水平3(多元結(jié)構(gòu)水平)共有80人，占全部被試人數(shù)的62.9%；處于水平1(前結(jié)構(gòu)水平)、水平2(單一結(jié)構(gòu)水平)、水平4 (關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平)的學(xué)生人數(shù)相對(duì)較少，所占被試人數(shù)的比例分別為15.0%，15.0%，5.5%；而處于水平5(抽象結(jié)構(gòu)水平)的學(xué)生水平人數(shù)更是寥寥無幾，僅占所有被試人數(shù)的1.6%．其中重點(diǎn)班的學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的掌握情況相對(duì)普通班學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的掌握情況要好一些，但差距不是很大．

筆者在統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生出現(xiàn)了同樣的幾種典型錯(cuò)誤并做了如下整理:

典型錯(cuò)誤一：不知道π、e也是無理數(shù)．

典型錯(cuò)誤五：認(rèn)為無理數(shù)只包含小數(shù)中的無限不循環(huán)小數(shù)、開方開不盡的數(shù)、以及用特殊符號(hào)表示的π、e中的其中一種或兩種．

為了更加了解學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤的原因，筆者對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行了采訪，下面為一段訪談?dòng)涗?T表示筆者，S1表示學(xué)生1，S2表示學(xué)生2)，由于有些學(xué)生表達(dá)不是很清楚，因此對(duì)一些回答筆者做了一定的邏輯整理．

T:你認(rèn)為無理數(shù)包括哪幾種表現(xiàn)形式？

S1：帶根號(hào)的、除不盡的兩個(gè)數(shù)的商、無法開出來的平方根．

S2：開方開不盡的、帶π的數(shù)、無限不循環(huán)的小數(shù)．

S1：他們都除不盡，應(yīng)該是無理數(shù)．

S2：他們是分?jǐn)?shù)應(yīng)該是有理數(shù)，但他們又除不盡好像又是無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，這樣的話不太清楚．

由以上問卷測試和訪談結(jié)果可發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的把握處于不完全理解的狀態(tài)，他們大多數(shù)表現(xiàn)為能夠正確地表達(dá)出無理數(shù)的定義，卻對(duì)無理數(shù)的幾種表現(xiàn)形式不清楚，沒有掌握無理數(shù)的本質(zhì).還有些同學(xué)不明白分?jǐn)?shù)除不盡的小數(shù)是無限循環(huán)的并不屬于無理數(shù)，因此在題二中選擇無理數(shù)時(shí)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤．

五、教學(xué)建議

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部．全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿)[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]楊秀娟.初中生對(duì)無理數(shù)概念的理解[D].上海：華東師范大學(xué)，2007:1.