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        粗糙集導(dǎo)出空間中的局部強(qiáng)連通性

        2018-05-02 01:39:48鐘滿田
        關(guān)鍵詞:連通分支連通性粗糙集

        鐘滿田

        (羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院教育系,廣東 羅定 527200)

        1982年首次提出關(guān)于粗糙集的概念[1]。自從1992年以來,國際上許多重要學(xué)術(shù)會(huì)議和研討班也把粗糙集理論的研究列入會(huì)議和討論班的主要內(nèi)容之一,都極大地促進(jìn)了該理論的發(fā)展及其在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用。在國內(nèi),從2001年開始每年將舉辦粗糙集與軟計(jì)算學(xué)術(shù)會(huì)議。粗糙集發(fā)展三十多年來,無論是理論研究還是應(yīng)用研究都取得了很多優(yōu)秀成果,如粗糙集的近似及相關(guān)的數(shù)據(jù)分析和推理方法與算法、基于數(shù)據(jù)等價(jià)關(guān)系的數(shù)據(jù)分析方法、對(duì)象不可分辨性、屬性冗余性、屬性約減等[2-6]。此外,還有關(guān)于粗糙集的交、并、補(bǔ)是滿足冪等律、交換律、結(jié)合律、吸收律、分配律等條件的分配格;粗糙集具有最大元與最小元、復(fù)原律、對(duì)偶律的、完成的、可無限分配的軟代數(shù),但不是優(yōu)軟代數(shù),也不是布爾代數(shù);關(guān)于粗糙集理論的KDD系統(tǒng)已經(jīng)建立,其中最具有代表性的有KDD-R(基于可變精度粗糙集擴(kuò)展模型的KDD工具)、LERS(基于粗糙集實(shí)例學(xué)習(xí)系統(tǒng))、Rosetta(基于粗糙集決策分析系統(tǒng))等。綜合國內(nèi)外的研究成果,對(duì)粗糙集理論與應(yīng)用研究主要概述為六大方面:一是數(shù)據(jù)預(yù)處理機(jī)制的研究;二是運(yùn)用啟發(fā)信息來簡(jiǎn)化計(jì)算的約簡(jiǎn)算法研究;三是粗糙集代數(shù)、粗糙集拓?fù)浼捌湫再|(zhì)、粗糙邏輯等方面的研究;四是決策粗糙集模型與其他數(shù)據(jù)挖掘方法結(jié)合問題研究;五是大數(shù)據(jù)集問題的研究;六是決策規(guī)則獲取問題研究。本文以Pawlak粗糙集與拓?fù)淇臻g的關(guān)系為研究背景,重點(diǎn)研究Pawlak粗糙集導(dǎo)出空間的一些拓?fù)涮卣鳌?/p>

        1 Pawlak粗糙集與拓?fù)淇臻g的關(guān)系

        性質(zhì)1[7]1 314假設(shè)有限集U的一個(gè)等價(jià)關(guān)系為R,U的任意一個(gè)非空子集為X,則式(1)~(7)是成立的。

        由性質(zhì)1中的式(1)、 (2)、 (3)、 (7)可知,

        性質(zhì)2[7]1 314在等價(jià)關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g(U,TR)中,存在B={[X]R∶x∈U}是(U,TR)的一個(gè)基,并且TR的所有集合既是開集又是閉集。

        性質(zhì)3[7]1 314等價(jià)關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g(U,TR)既正則又正規(guī)。

        性質(zhì)4[7]1 314等價(jià)關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g(U,TR)是Huasdorff空間的充分必要條件是[x]R={x}。

        性質(zhì)5[7]1 314等價(jià)關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g(U,TR)是T1空間的充要條件是[x]R={x}。

        性質(zhì)6[7]1 314等價(jià)關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g(U,TR)是連通的充要條件是R為U×U。

        性質(zhì)7[7]1 314如果(U,TR)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,滿足是開的劃分的條件并且該劃分是一個(gè)基,那么一定存在一個(gè)等價(jià)關(guān)系R使得(U,TR)=(U,T)成立。

        證明先定義U上的一個(gè)關(guān)系R∶xRy?bl{x}=bl{y}。在這里記bl{x}是{x}的閉包。很明顯R是U上一個(gè)等價(jià)關(guān)系,且[x]R=bl{x},從而有(U,TR)=(U,T)等式成立。

        綜上,由性質(zhì)2~性質(zhì)7可以知道,Pawlak粗糙集導(dǎo)出空間(U,TR)等價(jià)于一類特殊的拓?fù)淇臻g。

        2 導(dǎo)出空間的局部強(qiáng)連通性

        定義1[8-10]設(shè)Z是一個(gè)等價(jià)關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g。若Z不是兩個(gè)非空互不相交閉集的并,那么稱Z是連通的。若不存在任何基數(shù)m(2≤m≤m0,其中m0是有理數(shù)集的基數(shù)),滿足Z是m個(gè)非空且互不相交閉集的并,那么就稱Z是強(qiáng)連通的。

        定義2[11-14]設(shè)Z是一個(gè)等價(jià)關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g。若?z∈Z以及Z中每一個(gè)包含z的開集W,都存在一個(gè)具有強(qiáng)連通性的開集V滿足條件z∈V?W,那么稱Z是一個(gè)導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g。易見導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g及其間的連續(xù)映射構(gòu)成一個(gè)范疇,記作LXFC。

        2.1 等價(jià)性

        定理1假設(shè)(Z,T)是一個(gè)等價(jià)關(guān)系R導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g,那么下面三個(gè)命題(1)、(2)、(3)等價(jià),并且還可以得到推論1。

        1)Z是局部強(qiáng)連通的;2)Z的每一個(gè)開子空間的每個(gè)強(qiáng)連通分支均是開集;3)(T,?)至少有一個(gè)由具有強(qiáng)連通性開集組成的并生成集。

        推論1 局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g具有強(qiáng)連通性,它的任一強(qiáng)連通分支均既是開集又是閉集,因而每個(gè)導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻gZ,都可以分解為Z的強(qiáng)連通分支的直和。

        2.2 開遺傳性及連續(xù)性

        定理21)導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g局部強(qiáng)連通性是開遺傳的。

        2)導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g在連續(xù)開滿射下的像還是局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g。

        證明1)設(shè)Z是局部強(qiáng)連通空間,Z的開子集A?Z。Z的由強(qiáng)連通性開集組成的并生成集為B。由拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)理論易知,具有強(qiáng)連通性開集族BA={B*∈B|B*?A}是A的其中一個(gè)并生成的開集。因此,A就是一個(gè)局部強(qiáng)連通空間。

        2.3 直和性

        證明1)必要性 因?yàn)閆j是Z的開集,所以由定理2的(1)可知Zj是導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通空間(?j∈J)。

        2.4 范疇性

        定理4導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g及其間的連續(xù)映射構(gòu)成的范疇LXFC具有下面性質(zhì):

        1)對(duì)于每一個(gè)集合Z、每一個(gè)LXFC-對(duì)象族{Zj,Tj}j∈J、每一個(gè)映像族{fj:Zj→Z}j∈J,Z上存在唯一個(gè)局部強(qiáng)連通導(dǎo)出的拓?fù)銽Z,使得它(即終結(jié)構(gòu))滿足(條件1)對(duì)于?LXFC-對(duì)象族(Y,{T}Y)及其任一映射g:Z→Y,g: (Z,TZ)→(Y,TY)是一個(gè)LXFC-態(tài)射的充分必要條件是g°fj:(Zj,Tj)→(Y,TY)是一個(gè)LXFC-態(tài)射(?j∈J)。

        2)對(duì)于每一個(gè)集合Z、每一個(gè)LXFC-對(duì)象族{Zj,Tj}j∈J、每一個(gè)映像族{fj:Z→Zj}j∈J,Z上存在唯一個(gè)局部強(qiáng)連通導(dǎo)出的拓?fù)銽Z,使得它(即始結(jié)構(gòu))滿足(條件2)對(duì)于?LXFC-對(duì)象族(Y,{T}Y)及其任一映射g:Y→Z,g:(Y,TY)→(Z,TZ)是一個(gè)LXFC-態(tài)射的充分必要條件是fj°g:(Y,TY)→(Zj,Tj)是一個(gè)LXFC-態(tài)射(?j∈J)。

        3 結(jié)論

        1)粗糙集導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g局部強(qiáng)連通、每一個(gè)開的子空間的每個(gè)強(qiáng)連通分支均是開集、有一個(gè)由強(qiáng)連通性開集組成的并生成集具有等價(jià)性。

        2)粗糙集導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g具有開遺傳性和連續(xù)不變性。

        3)粗糙集導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g族具有直和性。

        4)粗糙集導(dǎo)出的局部強(qiáng)連通拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射構(gòu)成范疇具有態(tài)射性質(zhì)。

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