雷流平, 鄒志偉

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 湖南 衡陽,421001)

從序結(jié)構(gòu)出發(fā), 可以構(gòu)造偏序集上若干拓撲結(jié)構(gòu)。例如, 給定一個偏序集, 可以賦予該偏序集Scott拓撲、上(下)拓撲、區(qū)間拓撲和Lawson 拓撲等等。拓撲工具的引入極大地促進了偏序集理論的發(fā)展, 連通性是重要的拓撲性質(zhì), 因此對偏序集上相應(yīng)拓撲連通性的研究是一項非常有意義的課題。

在文獻[1]中, 徐羅山和唐照勇引入了偏序集連通性的概念, 并對Alexandrov 拓撲和Scott 拓撲的連通性及局部連通性做出了一些研究, 得到以下結(jié)論: (1) 一個偏序集是序連通的當(dāng)且僅當(dāng)它賦予Alexandrov 拓撲是連通的, 也當(dāng)且僅當(dāng)它賦予Scott 拓撲是連通的;(2) 每一偏序集賦予Alexandrov 拓撲是局部連通的, 每一偏序集賦予Scott 拓撲是局部連通的;(3) 如果拓撲空間的特殊化偏序集序連通, 則該拓撲空間是連通的。

基于已有拓撲空間連通性的相關(guān)結(jié)論, 本文進一步研究Scott 拓撲、上(下)拓撲的連通性、連通分支和局部連通性。首先利用拓撲空間連通性的概念對Scott拓撲和上(下)拓撲的連通性進行等價刻畫, 然后根據(jù)文獻[1]中偏序集的序連通性和連通分支, 得到序連通性與Scott 拓撲、上(下)拓撲的連通性之間的關(guān)聯(lián), 進而得到上(下)拓撲局部連通性的條件。

1 預(yù)備知識

下面給出一些需要用到的知識[2-4]: 設(shè)P為一個非空集合, 則P上滿足自反性、反對稱性以及傳遞性的二元關(guān)系稱為P上的偏序關(guān)系, 記作“≤”。設(shè)“≤”為P上一個偏序關(guān)系, 則稱（P,≤）為一個偏序集, 此時也簡稱P為偏序集; 若D為P中的非空子集, 且對于任意的x,y∈D, 存在z∈D, 使得x≤z,y≤z, 則稱D為定向集; 若X為P中的一個子集, 記Xl= {a∈P:a≤x, ?x∈X?P},Xu= {a∈P:x≤a,?x∈X?P}, 則稱Xl為X的下界集, 稱Xu為X的上界集; 記 ↑X= {y∈P: ?x∈X,x≤y},↓X= {y∈P: ?x∈X,y≤x}, 若X=↑X, 則X為一個上集, 若X=↓X, 則X為一個下集。X在P中的最小上界若存在, 則稱之為X的上確界, 記為supX; 對偶有X在P中的最大下界若存在, 則稱之為X的下確界, 記為infX。

2 Scott 拓撲、上(下)拓撲的連通性

定義1[7]設(shè)P為偏序集,U為P上的非空真子集, 則U為Scott 開集當(dāng)且僅當(dāng)U滿足以下條件:(1)U=↑U;

(2)任意定向集D?P, 當(dāng)supD存在且supD∈U時, 有D∩U≠?。

對偶地, 可以得到Scott 閉集的等價條件, 當(dāng)U=↓U, 且對任意定向集D?U, 當(dāng)supD存在時有supD∈U, 則稱U為偏序集P上的Scott 閉集。

定理4 設(shè)P為偏序集, 則上(下)拓撲空間連通當(dāng)且僅當(dāng)上(下)拓撲為Ψ連通空間且上(下)拓撲中既開又閉的集合為該拓撲空間中既Ψ開又Ψ閉的集合。

證明 以下拓撲為例, 充分性, 設(shè)(P,ω(P))為Ψ連通空間且(P,ω(P))中既開又閉的集合為(P,ω(P))中既Ψ開又Ψ閉的集合, 若(P,ω(P))不連通, 則(P,ω(P))中存在既開又閉的非空真子集P1, 所以P1為P中既Ψ開又Ψ閉的非空真子集, 則(P,ω(P))為Ψ不連通空間, 矛盾, 因此拓撲空間(P,ω(P))連通。

必要性, 若(P,ω(P))連通, 則(P,ω(P))為Ψ連通空間, 且(P,ω(P))中既開又閉的集合為P和?, 同時P和?也為(P,ω(P))中既Ψ開又Ψ閉的集合, 得證。

3 偏序集的序連通性及局部連通性

命題3 設(shè)P為偏序集, 則下列兩個條件(1)、(2)等價。

(1)P序連通;

(2)(P,σ(P))連通;

此外，若偏序集P可以用一個有限集的下集表示, 則(1)、(2)、(3)等價; 若偏序集P可以用一個有限集的上集表示, 則(1)、(2)、(4)等價。

(3)(P,υ(P)) 連通;

(4)(P,ω(P))連通。