吳小麗 湯強

三角函數(shù)具有特殊的函數(shù)圖象與性質(zhì)，函數(shù)[y=Asin（ωx+φ）]的圖象變換主要有振幅變換、周期變換和相位變換。而對于周期變換和相位變換調(diào)整先后順序后的平移量，學(xué)生往往不能正確掌握，亦不能根據(jù)函數(shù)圖象確定三角函數(shù)的解析式，本文將用實例對這兩方面易錯點進行剖析。

1函數(shù)[y=Asin（ωx+φ）]的圖象變換中的易錯點分析

例1：要得到函數(shù)[y=2sin（2x+π4）]的圖象，只需將[y=sinx]的圖象經(jīng)過怎樣的變換？

1.1錯解

[y=sinx橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變y=sin2x向左平移π4個單位長度y=sin（2x+π4）縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍y=2sin（2x+π4）。]

1.2易錯分析

1.2.1一些學(xué)生不能理解為什么“由[y=sinx]→[y]=sin[ωx]（[ω]>0）”的周期變換是將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腫1ω]倍，而不是[ω]倍。正如此題中錯認為將[y=sinx]的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍就是[y=sin2x]，比較兩個函數(shù)圖象，經(jīng)過周期變換之后點（[π]，0），（[π]，0）變?yōu)榱它c（[π2]，0），點（[2π]，0）變?yōu)榱耍╗π]，0），所以是橫坐標(biāo)變?yōu)榱嗽瓉淼腫12]倍，縱坐標(biāo)不變。

1.2.2很多學(xué)生沒有理解相位變換的實質(zhì)，因此容易出現(xiàn)此題中的錯誤“[y=sin2x向左平移π4個單位長度y=sin（2x+π4）]”，左右平移是相對于[x]來說的，而不是[ωx]，所以應(yīng)該是向左平移[π8]個單位長度才得到[y=2sin2x+8=sin（2x+π4）]，通過五點作圖法可以驗證。若是先相位變換，即向左平移[π4]個單位長度得到[y=sin（x+π4）]，再周期變換，即橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腫12]倍得到[fx=sin（2x+π2）]。

1.3學(xué)習(xí)建議

周期變換和相位變換順序不同時，平移量是不同的，但都是對于同一變量[x]而言的。

1.3.1先周期變換后相位變換：[y=sinx]的圖象將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腫1ω]倍即得[y=sinωx]，再向左（右）平移[φω]個單位長度得到[y=sin（ωx+φ）]。

1.3.2先相位變換后周期變換：[y=sinx]的圖象向左（右）平移[φ]個單位長度得[y=sin（x+φ）]，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腫1ω]倍即可得到[y=sin（ωx+φ）]的圖象。

2根據(jù)圖象確定三角函數(shù)解析式中的易錯點

例2：函數(shù)[fx=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，-π<φ<π）]的部分圖象如圖所示，求其解析式。

2.1錯解1

由圖知，A=2，[T=2πω=7π8-π8=π]，所以[ω=2]，即[fx=2sin2x+φ]，又函數(shù)[fx]過點[3π8，0]，所以[2sin3π4+φ=0]，即[3π4+φ=kπ]，所以[φ=kπ-3π4k∈Z]，所以[φ=-3π4]或[φ=π4]，故[fx=2sin2x-3π4]或[fx=2sin2x+π4]。

2.2錯解2

再求得A=2，[ω=2]之后，圖象可以看作是[fx=2sin2x]向左平移[π8]個單位長度，所以所求解析式為[fx=2sin2x+π8]。

2.3易錯分析

多數(shù)學(xué)生都能正確確定A、T、[ω]的值，但在確定[φ]的值時經(jīng)常出現(xiàn)問題，沒能分清代入的點是“五點”中的哪一個位置點，尤其是“零點”。正如本題中代入的點[3π8，0]是減區(qū)間上的零點，所以應(yīng)該是[3π4+φ=2kπ+π]，從而只有[φ=π4]。另外一種利用平移變換時，是對于變量[x]而言的，而不是對于[2x]。

2.4學(xué)習(xí)建議

對于根據(jù)圖象求三角函數(shù)解析式的問題，通常是根據(jù)圖象的頂點來確定A的值，由周期來確定[ω]的值。關(guān)鍵是求[φ]的值，一定要分清代入的點對應(yīng)“五點”中的哪一個位置點，若選擇的是零點，則要注意是增區(qū)間還是減區(qū)間的零點，增區(qū)間的零點則有[ωx+φ=2kπ]，減區(qū)間的零點則有[ωx+φ=2kπ+π]。若已知最高點或最低點，則選擇這些非零點代入求解便可以避免多解的情況。

通過以上問題的剖析可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生之所以出現(xiàn)這些錯誤的根本原因在于沒有理解函數(shù)[fx=Asin（ωx+φ）]的圖象變換的本質(zhì)，沒有掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)。在教學(xué)過程中，教師可以借助幾何畫板來動態(tài)演示三角函數(shù)圖象的變換過程，讓學(xué)生可以形象的感受不同的變換順序所需要的平移量的變化。通過“五點作圖法”體會圖象不同變換的本質(zhì)，同時加強概念、性質(zhì)的教學(xué)，讓學(xué)生理解不管是周期變換還是相位變換都是對于一個變量[x]而言的，進而使學(xué)生能夠有更清晰的解題思路。

參考文獻

[1]田麟.三角函數(shù)的特性及應(yīng)用[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報，2016（1）.

[2]普通高中課程標(biāo)準實驗教科書必修4A版[M].北京：人民教育出版社，2004.

作者簡介

吳小麗（1994.01—），女，漢族，籍貫：四川成都，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)），單位：西華師范大學(xué)；郵編：637000。