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        不變量法化簡二次曲面

        2018-04-28 14:43:54徐曉利
        世界家苑 2018年2期
        關(guān)鍵詞:二次曲面化簡

        徐曉利

        摘 要:二次曲面的化簡是一項(xiàng)復(fù)雜又高難度的工作.本文主要總結(jié)了計算簡便易掌握的不變量法,即運(yùn)用變量和不變量化簡二次曲面的方法,并舉例講解方法.

        關(guān)鍵詞:二次曲面;化簡;不變量

        二次曲面是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高等代數(shù)這一模塊中重要的二次型理論的經(jīng)典應(yīng)用.我們往往通過化簡其方程,判別二次曲面的類型,并確定其幾何形狀.化簡二次曲面,是二次曲面一般理論中最重要的內(nèi)容,也是難點(diǎn)所在.坐標(biāo)變換法(正交變換)是化簡二次曲面方程普遍常用的方法,但是由于相關(guān)高等代數(shù)理論抽象難懂,計算過程復(fù)雜,課堂教學(xué)顯得很是困難.在歐式坐標(biāo)系中,二次曲面存在著許多不變量,總結(jié)歸納不變量關(guān)系與二次曲面標(biāo)準(zhǔn)方程之間聯(lián)系,由此來進(jìn)行化簡.

        1二次曲面

        定義1 在三維空間中,用三元二次方程來表示的曲面稱為二次曲面.

        設(shè)二次曲面的一般方程為:

        (1.1).

        二次曲面方程中的常用記號:

        將的二次項(xiàng)部分記為,

        將的系數(shù)排成矩陣 ,叫做二次曲面的矩陣.

        .

        2不變量法化簡二次曲面

        定義2 二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程:無法再使用平移、旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行化簡的方程.即滿足以下三者的方程:

        1)方程中不包含交叉項(xiàng)xy,xz,yz;

        2)若方程中存在某一坐標(biāo)的二次項(xiàng),就不存在這一坐標(biāo)的一次項(xiàng);

        3)若方程中只存在某一坐標(biāo)的一次項(xiàng),且此時其中不存在.

        在高等代數(shù)課程中,有一個重要理論,稱為二次型理論.二次型理論告訴我們,通過求解矩陣的特征方程,求相應(yīng)特征根,最后得到唯一的標(biāo)準(zhǔn)形.這也就是我們常常所說的正交變換.二次曲面方程中也有相應(yīng)的二次型矩陣,從而二次曲面便能用此變換化簡,在這里不加以展開.

        在變換中我們發(fā)現(xiàn),二次曲面方程在直角坐標(biāo)變換后,方程雖然發(fā)生了一定變化,但是決定二次曲面的幾何特征的性質(zhì)卻沒有任何變化,那些不變的性質(zhì)我們可以采用不變量來刻畫.這種不變量可以用二次曲面方程的系數(shù)來表達(dá).我們稱,不因直角坐標(biāo)變化而發(fā)生改變的量為正交不變量.正交不變量在解析幾何研究中十分重要的一項(xiàng),為二次曲面和二次曲線的化簡有著尤為重要的作用,下面我將證明二次曲面中的不變量.

        引理1.是二次曲面的不變量.

        即是正交不變量.

        推論1.二次曲面的特征方程和特征根在任意直角坐標(biāo)變換下都不變.

        引理2.和在轉(zhuǎn)軸變換下不變,稱為半不變量.

        引理3.給定二次曲面方程

        (1)當(dāng)時,是不變量;

        (2)當(dāng)時,是不變量.

        任意一個二次曲面方程在選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)變化后可以被分為5大類別,表示為化簡的五個方程之一,下面我們利用二次曲面在轉(zhuǎn)軸變化下的不變量與半不變量對二次曲面進(jìn)行化簡.

        定理1.不變量得簡化方程:

        (1)當(dāng)時,簡化方程為;

        (2)當(dāng)時,簡化方程為;

        (3)當(dāng)時,簡化方程為;

        (4)當(dāng)時,簡化方程為

        ;

        (5)當(dāng)時,簡化方程為.

        其中表示非零特征根.

        證明:從略.

        例1:化簡下面二次曲面方程,并判斷出它為何種二次曲面.

        解:二次曲面的矩陣 ,

        分別計算不變量,得 ,,,

        .

        特征方程為,

        特征根為:,,.又由,

        所以二次曲面的簡化方程為:,該曲面為橢圓柱面.

        例2:化簡二次曲面方程.

        解:二次曲面的矩陣 ,

        分別計算不變量,得 ,,,

        由故二次曲面為中心二次曲面,

        特征方程為,特征根為:,,又

        所以二次曲面的簡化方程為:,這是一個旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面.

        不變量法化簡二次曲面方程與二次曲線方程的化簡非常相似,其實(shí)本質(zhì)也就是將二維空間的一般討論推廣到三維空間.利用不變量,我們可以簡捷地判別所給二次曲面方程屬于何種類型,寫出其簡化方程,并判別它的形狀,計算簡便,易于掌握.

        參考文獻(xiàn)

        [1]李養(yǎng)成.空間解析幾何(新版).北京:科學(xué)出版社,2007.

        [2]呂子根,許子道.解析幾何(第四版).北京:高等教育出版社,2006.

        (作者單位:武警警官學(xué)院)

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