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        二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程化為參數(shù)方程的一種簡(jiǎn)便方法

        2012-11-02 07:15:00王貴軍
        關(guān)鍵詞:二次曲面天水形式

        王貴軍

        (天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741001)

        二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程中,沒(méi)有xy、yz及xz這樣的項(xiàng),利用方程的這一特征,得到了將二次曲面標(biāo)準(zhǔn)方程化為參數(shù)方程的一種簡(jiǎn)便方法。

        設(shè)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程為F(x,y,z)=0,由于其中不含xy、yz、xz這樣的項(xiàng),因而其方程可寫成F1(x,y)+F2(z)=0(或 F1(x,z)+F2(y)=0,或 F1(y,z)+F2(x)=0)的形式,現(xiàn)僅對(duì)F1(x,y)+F2(z)=0的形式進(jìn)行討論,其余兩種情形類似。

        設(shè)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為:

        其中k為參數(shù),則由二次曲面的方程有

        (1)式是關(guān)于x和y的方程,可將其看作是平面曲線的方程,利用將平面曲線的方程化為參數(shù)方程的方法[1]得到(1)的參數(shù)方程為

        (2)式可看成是關(guān)于k和z的方程,所以也是平面曲線的方程,將其化為參數(shù)方程為

        由(3)式和(4)式消去參數(shù)k,即得二次曲面的參數(shù)方程為

        現(xiàn)舉例說(shuō)明這種方法的應(yīng)用。

        由(3)式和(4)式消去參數(shù)k,即得單葉雙曲面的參數(shù)方程為

        由(2)式可得

        從而由(3)式和(4)式得

        由上述求解過(guò)程可以看出,如果二次曲面的方程中不含xy、yz及xz這樣的項(xiàng),即使其不一定是標(biāo)準(zhǔn)方程,這種求二次曲面參數(shù)方程的方法仍然是適用的。

        例3 將二次曲面x2+2y2+z2-2x+4y-1=0化為參數(shù)方程。

        解 此二次曲面的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程,但方程中不含xy、yz及xz這樣的項(xiàng),因此可以變形為F1(x,y)+F2(z)=0 的形式。

        將二次曲面的方程改寫為

        將(1)化為參數(shù)方程為

        將(2)化為參數(shù)方程為

        由(3)式和(4)式消去k,即得此二次曲面的參數(shù)方程為

        [1]王貴軍.巧設(shè)參數(shù)求平面曲線的參數(shù)方程[J].邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào),2011,26(4):176 -177.

        [2]呂林根,許子道.解析幾何第四版[M].北京:高等教育出版社,2006.

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