郝永興, 楊曉燕

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

1 預(yù)備知識

定義1.1[11]設(shè)D是Abel范疇,A、B是D中對象作成的類.

1) 稱對子(A,B)為余撓對,如果A=⊥1B,B=A⊥1,其中,

2) 稱余撓對(A,B)是完全的,如果對任意的C∈D存在D中的正合序列

0→B→A→C→0

和0→C→B′→A′→0,其中A,A′∈A和B,B′∈B.

定義1.2[10]1) 稱R-模的一個序列

2) 設(shè)X和Y是R-復(fù)形.度為n的同態(tài)φ:X→Y是一族R-模同態(tài)(φi)i∈Z,其中φi:Xi→Yi+n.記|φ|=n.定義HomR(X,Y)為Z-模復(fù)形,其第n個層次為

其微分?定義為?(φ)=:?Yφ-(-1)|φ|φ?X.

3) 稱一個鏈映射φ:X→Y是擬同構(gòu),如果對所有的整數(shù)n,映射

Hn(φ):Hn(X)→Hn(Y)

是同構(gòu).記作X?Y.

4) 稱復(fù)形X是同調(diào)上(下)有界的,如果

supX<∞(infX>-∞),

其中

supX=sup{i∈Z|Hi(X)≠0},
infX=inf{i∈Z|Hi(X)≠0}.

定義1.3[6]設(shè)(A,B)是R-模范疇中的余撓對,X是R-復(fù)形.

1) 稱X是A復(fù)形,如果X是正合的且對任意的整數(shù)n有Zn(X)∈A.

2) 稱X是B復(fù)形,如果X是正合的且對任意的整數(shù)n有Zn(X)∈B.

3) 稱X是dg-A復(fù)形,如果對任意的整數(shù)n有Xn∈A且當(dāng)B是B復(fù)形時HomR(X,B)正合.

4) 稱X是dg-B復(fù)形,如果對任意的整數(shù)n有Xn∈B且當(dāng)A是A復(fù)形時HomR(A,X)正合.

定義1.4[9]設(shè)(A,B)是R-模范疇中完全遺傳的余撓對,M和N是復(fù)形.

1) 定義M的A維數(shù)為:

2) 定義N的B維數(shù)為:

注1.5若M是一個R-模,則

A-dimM=A-pd(M)

和B-dimM=B-id(M),其中

A-pd(M)=inf{n|存在正合列
0→Xn→…→X1→X0→M→0,Xi∈A},
B-id(M)=inf{n|存在正合列
0→M→X0→X1→…→Xn→0,Xi∈B}.

定義1.6[10]設(shè)M是Abel范疇D中的對象.稱態(tài)射φ:M→X是M的H-預(yù)包絡(luò),如果對任意的態(tài)射f:M→X′,存在一個態(tài)射g:X→X′使得gφ=f,其中X,X′∈H.稱單態(tài)射φ:M→B是M的特殊的H-預(yù)包絡(luò),如果它是M的H-預(yù)包絡(luò)且coker(φ)∈⊥1H,其中B∈H.

對偶地,有H-預(yù)覆蓋和特殊的H-預(yù)覆蓋的定義.

2 相對于Ding投射和Ding內(nèi)射模的Tate-Vogel上同調(diào)

定義2.1[10]1) 設(shè)A=(A,B)是R-模范疇中完全遺傳的余撓對且M是復(fù)形.

(a) 定義M的(A,B)-分解為復(fù)形的態(tài)射圖

(b) 定義M的(B,A)-分解為復(fù)形的態(tài)射圖

2) 設(shè)A=(A,B)是R-模范疇中完全遺傳的余撓對,M和N是復(fù)形.

(a) 由(A,B)-分解,定義如下復(fù)形:

其中

(b) 由(B,A)-分解,定義如下復(fù)形:

HomR(RQM,RQN)/HomR(RQM,RQN),

其中

HomR(RQM,RQN)n=
{(φi)∈HomR(RQM,RQN)n|φi=0,?i?0}.

3) 設(shè)A=(A,B)是R-模范疇中完全遺傳的余撓對,M和N是復(fù)形.

(a) 由(A,B)-分解,定義第n次Tate-Vogel上同調(diào)群為:

其中R(QRM,QRN)是定義2.1中的2) (a)定義的復(fù)形.

(b) 由(B,A)-分解,定義第n次Tate-Vogel上同調(diào)群為:

定義2.2[12]1) 稱R-模M為Ding-投射模,如果存在投射R-模的正合序列

使得M?im(P0→P0)且HomR(X,Q)是正合的,其中Q是平坦R-模.用DP表示Ding-投射模類.

2) 稱R-模M為Ding-內(nèi)射模,如果存在內(nèi)射R-模的正合序列

使得M?im(I0→I0)且HomR(E,Y)是正合的,其中E是FP-內(nèi)射R-模.用DI表示Ding-內(nèi)射模類.

對任意的R-模M,pdM(fdM,DpdM)代表模M的投射(平坦,Ding-投射)維數(shù),idM(FP-idM,DidM)代表模M的內(nèi)射(FP-內(nèi)射,Ding-內(nèi)射)維數(shù).

引理2.3設(shè)M是一個R-模.若idM<∞,則fdM≤DpdM.

證明設(shè)M是一個R-模,idM<∞.由文獻(xiàn)[13]的定理3.1知pdM≤DpdM,而fdM≤pdM,因此,fdM≤DpdM.

引理2.4設(shè)M是一個R-模.若pdM<∞,則FP-idM≤DidM.

證明設(shè)M是一個R-模,pdM<∞.由文獻(xiàn)[13]的定理3.3知idM≤DidM,而

FP-idM≤idM,

因此,FP-idM≤DidM.

稱環(huán)R是n-FC環(huán),如果它是雙邊凝聚環(huán)且

FP-idRR=FP-idRR=n.

稱環(huán)R是Ding-Chen環(huán),如果存在n≥0使得它是n-FC環(huán).

引理2.5設(shè)R是雙邊凝聚環(huán).則以下條件等價：

1)R是n-FC環(huán);

2) 每一個左(或右)R-模的內(nèi)射分解的第n次上合沖是Ding-內(nèi)射的;

3) 每一個左(或右)R-模的投射分解的第n次合沖是Ding-投射的.

證明1)?2) 設(shè)M是左R-模且D是M的內(nèi)射分解的第n次上合沖.則

其中W∈⊥1DI.因為R是n-FC環(huán),所以由文獻(xiàn)[12]知(⊥1DI,DI)是完全的余撓對.從而D∈DI.

2)?1) 設(shè)E是FP-內(nèi)射左R-模,N是左R-模且D是N的內(nèi)射分解的第n次上合沖.則

1)?3) 由1)?2)對偶可得.

3)?1) 由2)?1)對偶可得.

設(shè)R是左凝聚環(huán).由文獻(xiàn)[14]知,(DP,DP⊥1)和(⊥1DI,DI)是完全遺傳的余撓對.設(shè)M是R-模.由注1.5知

DP-dimM=DP-pd(M)=DpdM,
DI-dimM=DI-id(M)=DidM.

注意到R+=HomZ(R,Q/Z)和Mod(R)代表R-模范疇.

定理2.6設(shè)R是雙邊凝聚環(huán),DP=(DP,DP⊥1),則以下條件等價:

1)R是Ding-Chen環(huán);

3) 對所有的整數(shù)i和任意的復(fù)形Y,

DI=(⊥1DI,DI).

證明1)?2) 設(shè)M是同調(diào)上有界復(fù)形且滿足supM=k,其中k為整數(shù).取dg-投射復(fù)形P使得M?P,則有R-模的正合序列

其中對任意的i≥k,Pi是投射模.由引理2.5知,存在一個整數(shù)n>k使得Cn(P)是Ding-投射模.故由文獻(xiàn)[9]的定理3.3知DP-dimM<∞.由文獻(xiàn)[10]的定理1.1(1)知2)成立.

2)?3) 由文獻(xiàn)[10]的定理1.1(1)易得.

3)?4) 顯然成立.

4)?1) 由文獻(xiàn)[10]的定理1.1(1)知DpdR+<∞.因為R+是內(nèi)射模,由引理2.3知

fdR+≤DpdR+<∞,

所以FP-idR=fdR+<∞.

1)?5) 設(shè)N是R-模,I是dg-內(nèi)射復(fù)形且N?I.則有R-模的正合序列

sup{DidN|N∈Mod(R)}<∞.

定理2.7設(shè)R是雙邊凝聚環(huán),

DI=(⊥1DI,DI).

則以下條件等價:

1)R是Ding-Chen環(huán);

3) 對所有的整數(shù)i和任意的復(fù)形X,

證明1)?2) 設(shè)N是同調(diào)下有界復(fù)形且滿足infN=k,其中k為整數(shù).取dg-內(nèi)射復(fù)形I使得N?I.則有R-模的正合序列

其中對任意的i≤k,Ii是內(nèi)射模.由引理2.5知,存在一個整數(shù)n

2)?3) 由文獻(xiàn)[10]的定理1.1(2)易得.

3)?4) 顯然成立.

4)?1) 由文獻(xiàn)[10]的定理1.1(2)知DidR<∞.因為R是投射模,由引理2.4知

FP-idR≤DidR<∞.

1)?5) 設(shè)M是R-模,P是dg-投射復(fù)形且滿足M?P,則有R-模的正合序列

sup{DpdM|M∈Mod(R)}<∞.

[1] GOICHOT F. Homologie de Tate-Vogel équivariante[J]. J Pure Appl Alge,1992,82(1):39-64.

[2] MISLIN G. Tate cohomology for arbitrary groups via satellites[J]. Topol Appl,1994,56(3):293-300.

[3] BENSON D J, CARLSON J F. Products in negative cohomology[J]. J Pure Appl Alge,1992,82(2):107-129.

[4] SALCE L. Cotorsion theories for abelian groups[J]. Symposia Mathematica,1979,23(1):11-32.

[5] HOVEY M. Cotorsion pairs, model category structures, and representation theory[J]. Math Z,2002,241(3):553-592.

[6] GILLESPIE J. The flat model structure on Ch(R)[J]. Trans Am Math Soc,2004,356(8):3369-3390.

[7] YANG G, LIU Z K. Cotorsion pairs and model structures on Ch(R)[J]. Proc Edin Math Soc,2011,54(3):783-797.

[8] AVRAMOV L L, FOXBY H B. Homological dimensions of unbounded complexes[J]. J Pure Appl Alge,1991,71(2/3):129-155.

[9] YANG X Y, DING N Q. On a question of Gillespie[J]. Forum Math,2015,27(6):3205-3231.

[10] HU J S, DING N Q. A model structure approach to Tate-Vogel cohomology[J]. J Pure Appl Alge,2016,220(6):2240-2264.

[11] ENOCHS E E, JENDA O M G. Relative Homological Algebra[M]. New York:Walter de Gruyter,2000.

[12] GILLESPIE J. Model structure on module over Ding-Chen rings[J]. Homol Homotopy Appl,2010,12(1):61-73.

[13] ZHU H Y. On Ding homological dimensions[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報B輯(英文版),2015,30(4):491-502.

[14] BRAVO D, GILLESPIE J, HOVEY M. The stable module category of a general ring[J/OL]. (2014-05-22)[2016-11-24]. https://arxiv.org/abs/1405.5768.

[15] HOLM H. Gorenstein homological dimensions[J]. J Pure Appl Alge,2004,189(1/2/3):167-193.