林海濤, 楊曉鵬

(韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 廣東 潮州 521041)

Sanchez[1-2]第一次提出了含max-min合成算子的模糊關(guān)系方程并進行開創(chuàng)性的探究之后，模糊關(guān)系方程開始被應(yīng)用于多個領(lǐng)域[3-6]，諸如模糊邏輯推理、人工智能、模糊決策和圖像處理.后來，學(xué)者又致力于含max-product合成算子的模糊關(guān)系方程[7-9]的研究，并在諸多領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[10-13].max-min和max-product是最基本的2個模糊關(guān)系運算.經(jīng)典的Max-T(T表示連續(xù)三角模，包含min和product等)模糊關(guān)系方程或不等式的解集由其唯一的最大解和有限個極小解所完全確定[14-15]．一般情況下，最大解是容易得到的，因此獲得解集的關(guān)鍵就是求出全部的極小解．對于解集或極小解集的求解方法，可以參閱文獻[17-20]．然而，求出模糊關(guān)系方程的極小解是一個NP困難問題，一般都不容易．對于一些具體的問題，并不需要求出全部的極小解，而只需判斷一個解是否模糊關(guān)系方程的極小解．正是基于這樣的考慮，本文將研究含max-min算子和max-product算子的模糊關(guān)系方程的極小解判別方法，并給出具體的判別步驟.

含max-min合成算子的模糊關(guān)系方程，其型如：

(1)

在系統(tǒng)(1)中，aij,bi,xj∈[0,1]，i∈I={1,2,…,m}，j∈J={1,2,…,n},而且a∧b表示求a、b的最小值，a∨b表示求a、b的最大值.

系統(tǒng)(1)可以記為

(ai1∧x1)∨(ai2∧x2)∨…∨(ain∧xn)=bi，i∈I，

或簡單記為

A·xT=bT，

其中，A=(aij)m×n，b=(bi)1×m，x=(xj)1×n.

含max-product合成算子的模糊關(guān)系方程，其型如：

(2)

其中,A=(aij)m×n，b=(bi)1×m，x=(xj)1×n，aijxj表示普通的乘積.

系統(tǒng)(2)可以記為

ai1x1∨ai2x2∨…∨ainxn=bi，i∈I，

或簡單記為

A·xT=bT.

為方便表達(dá)，在證明過程中僅以系統(tǒng)(1)的運算為例，即采用max-min合成算子，推導(dǎo)得到系統(tǒng)(1)的相關(guān)結(jié)論．對于系統(tǒng)(2)，由于利用相似的方法也可以得到相關(guān)結(jié)論，因此文中只給出相應(yīng)的結(jié)果，而不再詳細(xì)證明.

如果系統(tǒng)(1)存在可行解，即存在x∈[0,1]n，使得A·xT=bT成立，那么稱系統(tǒng)(1)為相容的；否則，稱系統(tǒng)(1)為不相容的.系統(tǒng)(1)的所有可行解構(gòu)成的集合記為X(A,b).

1 預(yù)備知識

(3)

定理2[14]若系統(tǒng)(1)是相容的,記X=[0,1]n，則(1)的所有解集為：

2 模糊關(guān)系方程極小解的判別定理

記

Ji={j|Ai·(x*j)T=bi,j∈J}，

即J0表示x*的分量為0的指標(biāo)集.顯然Ji、J0都是J的子集.

定理3若x*為系統(tǒng)(1)解，則對任意i∈I，Ji≠?.

即Ai·(x*j0)T=bi.因而j0∈Ji.從而Ji≠?.證畢.

可知，對于任意i∈I，Ji≠?.因而Ji至少含有一個元素，至多含有n個元素.記Ω={Ji|Ji為單元素集,i∈I}.

定理4(必要條件1) 若x*為系統(tǒng)(1)的解，則x*為極小解的必要條件是

(4)

其中，Ω為如上定義，即所有為單元素集的Ji的集合.

事實上對于任意i∈I，

注1定理4給出的是極小解的必要條件，但不是充分條件.例如,對于

(0.4∧x1)∨(0.5∧x2)=0.4，

為了尋求極小解的充分條件，引進下面記號．

事實上，對于固定的j∈J，Ji={j}意味著存在唯一的x*j使得第i個等式成立.當(dāng)然，x*j可能使得多個等式成立，而且這些等式的指標(biāo)構(gòu)成的集合就是Ωj.可見Ωj?I.

事實上，xα與x*僅在第j0分量不同，其它相同.因而，只需要考慮指標(biāo)屬于Ωj0的那些方程.由Ωj0定義，對任意i∈Ωj0，有

另一方面，由于xα

這說明找到比x*還小的解xα，此與x*為極小解矛盾.證畢.

例1設(shè)max-min模糊關(guān)系方程組為

驗證下面的向量是否模糊關(guān)系方程組(5)的極小解:

解(i) 對于x(1)，易驗證它不是(5)式的解，因而不是極小解.

定理6(充分條件) 設(shè)x*為系統(tǒng)(1)的解，則x*為極小解的充分條件是:

對任意ε=(ε1,ε2,…,εn)>0，令

由于Ji0={j0}為單元素集，因而對任意j≠j0，總成立

即bi0>Ai0·(x′)T，從而x′?X(A,b).由命題1，x*為極小解.證畢.

綜合定理4～6可以得到:

定理7(充要條件) 設(shè)x*為系統(tǒng)(1)的解，則x*為極小解的充要條件是:

定理8若x*為系統(tǒng)(2)的解，則對任意i∈I，Ji≠?.

證明略(類似定理3).

定理9設(shè)x*為系統(tǒng)(1)的解，則x*為極小解的充要條件是

(6)

證明略(類似定理4及6).

注3定理7用來檢驗max-min模糊關(guān)系方程的解是否是極小解，定理9則是max-product模糊關(guān)系方程的解是否是極小解的充要條件.雖然均是以指標(biāo)的形式表達(dá)，但記號(4)與(6)所表達(dá)的運算基礎(chǔ)不同.另外，對于前者，其充分條件比較“嚴(yán)格”，原因是需要考慮到min運算的性質(zhì).而對于后者，只需要考慮指標(biāo)集是否滿足(6)的關(guān)系.

3 模糊關(guān)系方程極小解的判別算法

基于定理4～7(定理9)，給出max-min(max-product)模糊關(guān)系方程的極小解的判別算法．

Step1檢驗x*是否為系統(tǒng)(1)(系統(tǒng)(2))的可行解.若不是，則x*非極小解；若是，轉(zhuǎn)向Step2.

Step2寫出x*1,x*2,…,x*n.

Step3計算出J0、Ji及Ω，i=1,2,…,m.

例2設(shè)max-min模糊關(guān)系方程組與例1相同，驗證下面的向量是否模糊關(guān)系方程組(5)的極小解：

(iv)x(4)=(0,0.3,0.7,0.4);

(v)x(5)=(0.3,0,0.7,0.4).

解(iv)對于x(4)，易驗證它是(5)式的解，并且J0={1}，J1={3}，J2={3}，J3={3}，J4={2}，J5={4}，Ω={J1,J2,J3,J4}，故

例3設(shè)max-product模糊關(guān)系方程組為

(7)

驗證下面向量是否模糊關(guān)系方程組(7)的極小解:

(i)x(1)=(0.8,0.75,0,1);

(ii)x(2)=(0.8,0.75,0,0);

(iii)x(3)=(0.8,0,0,1);

解(i) 對于x(1)，易驗證它是(7)式的解，并由x*1=(0.8,0,0,0)，x*2=(0,0.75,0,0)，x*3=(0,0,0,0)，x*4=(0,0,0,1)，得J0={3}，J1={1}，J2={2,4}，J3={2,4}，Ω={J1}.由于

因而x(1)不是極小解.

(ii) 對于x(2)，易驗證它是(7)式的解，并且J0={3,4}，J1={1}，J2={2}，J3={2}，Ω={J1,J2,J3}.

(iii) 對于x(3)，易驗證它是(7)式的解，并且J0={2,3}，J1={1}，J2={4}，J3={4}，Ω={J1,J2,J3}.

(iv) 對于x(4)，易驗證它是(7)式的解，并且J0={1,2}，J1={3}，J2={4}，J3={4}，Ω={J1,J2,J3}.

(iv) 對于x(5)，易驗證它是(7)式的解，并且J0={1,4}，J1={3}，J2={2}，J3={3}，Ω={J1,J2,J3}.

由于(ii)、(iii)、(iv)、(v)滿足

根據(jù)定理9，x(2)、x(3)、x(4)和x(5)是系統(tǒng)(7)極小解.

4 結(jié)束語

致謝韓山師范學(xué)院博士啟動項目(QD20171001)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

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