王婷婷，繆禮鋒，程 然

（中國航空工業(yè)集團公司雷華電子技術研究所，江蘇無錫214063）

在現代對海戰(zhàn)爭中，群目標跟蹤問題受到了國內外學者的廣泛關注，尤其海上低空突防編隊群目標具有檢測率低、機動性強、戰(zhàn)術性合并分裂等特征，在實戰(zhàn)中靈活性更強、威脅性更大、對抗難度也更高。由于海上低空突防編隊內的個體目標較為密集，海雜波干擾較為嚴重，受傳感器分辨率的限制，完全分辨編隊內個體目標較為困難[1]。在這種情況下，試圖對群內所有個體分別進行跟蹤變得不現實，這時可以將群目標看作一個整體進行跟蹤[2]。在運動過程中，基于特定的突防戰(zhàn)術或目的，海上低空突防編隊群目標隨時會發(fā)生轉彎等整體機動，還會出現分裂、合并等編隊群目標特有的機動模式，這種情況下，群內目標回波的相對位置發(fā)生縮放、旋轉等變換[3-5]，導致群目標跟蹤更為復雜。

基于群整體跟蹤的思想，目前最經典的群跟蹤的方法主要有兩種：一類是Mahler在隨機集框架下提出的概率密度假設（PHD）算法[6-8]，遞推的傳遞目標狀態(tài)的分布信息，不需要數據關聯，即從目標狀態(tài)分布中同時提取目標的個數和狀態(tài)估計，但沒有考慮群目標形狀特征，也無法直接生成目標航跡，并且算法復雜，不利于實際工程應用。還有一類是KOCH等人提出的一種群目標Bayesian遞推算法[9]，可以在跟蹤群目標的質心狀態(tài)同時，對群目標的形狀進行估計。但是它目前僅用于跟蹤無雜波條件下的單個群目標。隨后，國內外學者又對這種算法進行了改進[10-16]，例如，Feldmann對群目標跟蹤Bayesian算法進行了改進，考慮了量測不確定性對目標形狀估計的影響。

本文在經典Bayesian算法的基礎上，針對海上低空突防編隊群目標的3種典型機動模式（拐彎、分裂、合并），將交互式多模型（Interacting Multiple Model，IMM）算法與群目標Bayesian遞推算法相結合，并利用隨機矩陣描述群目標的形狀擴展狀態(tài)，采用IMMBayesian算法對機動群目標進行有效跟蹤的同時，用橢圓擬合群目標的形狀。

1 群目標模型

將海上低空突防群目標看作一個整體，假設在tk時刻群質心的運動狀態(tài)向量為，包括了位置、速度、加速度等空間維數。表示tk時刻目標的位置表示tk時刻目標的速度表示tk時刻目標的加速度。Bayesian遞推算法用表示群質心的運動狀態(tài)向量，并增加了一個正定隨機矩陣Xk來描述該群的形狀特征，該方法將目標的形狀用一個橢圓來近似，橢圓方程可以用二次型方程表示為：

式（1）中：xc為橢圓中心；正定矩陣Xk的特征值為橢圓各軸的長度，其所對應的特征向量為其橢圓各軸的方向向量。

該方法的性質完備地描述了空間或平面內一個橢圓的全部信息。

用狀態(tài)(xk,Xk)描述tk時刻群目標的狀態(tài)，依據經典Kalman濾波理論，對群目標質心建立如下動力學方程：

式（2）中：Fk為狀態(tài)轉移矩陣；wk為過程噪聲，是零均值的高斯白噪聲，即wk～N(0,Δk|k-1)。

式中：?為kronecker積，采用Van Keuk模型[17]；

其中，θ為機動飛行相關的時間常數。

群目標量測模型為：

式（4）中：Hk為量測矩陣；vkj為量測噪聲，是零均值的高斯白噪聲，vk～N(0 ,λXk+Rk)，其中，λ為標量，用于描述Xk對量測的影響程度，Rk為量測噪聲協(xié)方差；nk為tk時刻某群目標得到的量測個數。

2 群目標跟蹤的Bayesian方法

2.1 群目標跟蹤預測部分

利用先前的信息，對被跟蹤目標的下一時刻的信息進行估計，即

式中，Pk-1|k-1為tk-1時刻狀態(tài)估計誤差協(xié)方差。

那么，一步預測：

所以，目標的運動狀態(tài)預測為：

式（10）中存在一個未被限制的參量vk-1|k-1，由逆Wishart分布相關知識可知，此參量與Xk-1有關，它在每一時刻的取值必須在實際跟蹤中進行合理的設定或遞歸處理。通常設定vk-1|k-1和Xk-1|k-1與上一次預測后的值相關。p(Xk|Zk-1)同樣滿足逆Wishart分布，并有形式：

考慮一個關于vk-1|k-1和vk|k-1的衰減模型，這種衰減也與采樣區(qū)間T相關，即

存在未被限定的參量τ作為衰減因子常量，需要在實際跟蹤中進行合理的設定。當τ=∞時，代表群目標的形狀不發(fā)生變化。

假設預測步前后Xk-1和Xk的期望值相等。由逆Wishart分布的知識，有：

式（13）中，d為矩陣X的維數。

那么，形狀擴展狀態(tài)的預測為：

2.2 群目標跟蹤更新部分

對被跟蹤目標的相關信息的更新，即

引入似然函數：

式（16）中，nk為當前時刻的群目標的量測個數，其與當前的動力學狀態(tài)和形狀狀態(tài)無關。

p(nk|xk,Xk)可以看作一個常數，并且

利用預測部分得到的結果，由Bayesian先驗概率公式，可得：

所以：

目標的運動狀態(tài)更新為：

式（20）、（21）中：

式（24）中：

所以，

目標形狀擴展的更新為：

至此，對于被跟蹤的群目標的一個可用的跟蹤算法已被建立起來。

3 IMM-Bayesian算法

在廣義Bayesian算法的基礎上，采用具有Markov切換系數的IMM算法，推導了IMM-Bayesian算法對海上低空突防編隊群目標進行跟蹤。在tk時刻，利用IMM進行目標狀態(tài)估計的計算時，考慮每個模型濾波對于目標的擴展部分，器都有可能成為當前有效地系統(tǒng)模型濾波器，每個濾波器的初始條件都是基于前一時刻各條件模型濾波結果的合成。IMM-Bayesian算法對海上低空突防編隊群目標跟蹤的具體遞推步驟如下：

1）模型條件初始化。模型條件重初始化是在假定第j個模型在當前時刻有效的條件下，與其匹配的濾波器的輸入由上一時刻各濾波器的估計混合而成。

對于j=1,2,…,r，重初始化的運動狀態(tài)、形狀擴展狀態(tài)與協(xié)方差陣按混合估計分別為：

2）模型條件濾波。模型條件濾波是在給定重初始化的狀態(tài)和協(xié)方差陣的前提下，在獲得新的量測zk之后，進行狀態(tài)估計更新。

對于j=1,2,…,r，狀態(tài)預測為：

對于j=1,2,…,r，分別計算量測預測殘差與其協(xié)方差陣：

在Gaussian假設下，似然函數可以計算如下：

濾波增益陣、狀態(tài)估計更新、形狀擴展狀態(tài)更新和狀態(tài)估計更新誤差協(xié)方差陣如下：

式（42）中：

3）模型概率更新。對j=1,2,…,r，計算模型概率：

4）輸出交互。給出運動狀態(tài)估計、形狀擴展狀態(tài)估計和誤差協(xié)方差陣，分別為：

4 轉彎模式下群目標跟蹤實現

假設海上低空突防群目標的質心按圖1軌跡勻速運動，速度為 300 m/s，在采樣區(qū)間k=13～15、k=25～29、k=39～44進行機動轉彎，分別轉過 45°、90°和90°，其他時間段均為300 m/s的勻速運動。量測噪聲服從分布，其中α=1/4。將表征機動群目標形狀特征的正定對稱矩陣初始化為X=diag([ 2 000,2000])，Rk=diag([ 25,25])。在每次掃描過程中，量測數據的個數服從均值為λ=12的泊松分布。群目標形狀更新時間延遲參數τ=8T。

圖1 群目標運動軌跡Fig.1 Trajectory of group target

對于給定的場景，采用3個模型。第1個模型為CV模型；第2個模型為CT模型，ω1=-0.01πrad/s；第3個模型為CT模型，ω2=-0.0125πrad/s。則群目標跟蹤結果、模型匹配結果以及跟蹤誤差如圖2～4所示。

圖3 模型概率Fig.3 Model probability

圖4 群目標跟蹤誤差Fig.4 Tracking error of group target

通過仿真可看出，采用IMM-Bayesian方法對在海上低空突防編隊群目標轉彎的情況下可以達到較好的跟蹤效果，圖3給出了不同采樣時刻的模型匹配結果，可以看出選用的3個模型可以較好地完成模型匹配，模型匹配與真實運動過程模型基本吻合。從圖4可以看出，分別采用多模型進行群目標跟蹤平均誤差較小，跟蹤精度較高，但在目標機動位置誤差會增大。

5 群目標的分裂與合并實現

針對海戰(zhàn)場探測區(qū)域中出現的低空突防群目標進行分裂或合并的情況，根據最近鄰的思想，將得到的量測進行分類，再根據群目標的跟蹤算法對其實施有效跟蹤。在第k個掃描周期，采用分類器將得到的所有量測進行分類，分類個數記作nClass(k)。與前一時刻的nClass(k-1)比較。若nClass(k)=nClass(k-1)，則說明檢測到的群目標沒有進行分裂或合并，先采用關聯算法進行k與k-1時刻各分群的關聯，關聯之后分別進行跟蹤；若nClass(k)≠nClass(k-1)，則說明檢測到的群目標進行了分裂（滿足nClass(k)＞nClass(k-1)）或合并（滿足nClass(k)＜nClass(k-1)），則需對k時刻的各個分群分別進行初始化。

群目標分離場景設置：假設海上低空突防編隊群目標質心初始位置[0,0]，開始以300 m/s的速度沿45°方向運動。t=39T時，群目標中部分目標出現分離，形成分群1和分群2。分群1始終保持勻速直線運動，分群2以(1 . 873×2π/360) rad/s的角速度勻速向右偏轉，當t＞64T后，分離出來的目標2機動停止，保持勻速直線運動。

圖5 群目標分離Fig.5 Splitting trajectory of group target

圖6 群目標分離過程Fig.6 Splitting process of group target

仿真可以看出，IMM-Bayesian算法可在海上低空突防編隊群目標分裂時進行穩(wěn)定跟蹤，隨機矩陣可對群目標形狀進行擬合，圖6清晰地展現了群目標分裂過程中目標的跟蹤情況，當出現2個橢圓時，說明群目標已完成分裂，之后當成2個群目標進行穩(wěn)定跟蹤。

群目標合并場景設置：假設檢測到海上有2個分群目標，分群1初始位置為[0,3488]，分群2初始位置為[0,0]，開始均以300 m/s的速度沿x軸方向運動。t=39T時，分群1和分群2開始機動，在39T＜t＜54T時間段，分群1以(1 .5×2π/360) rad/s的角速度勻速向右偏轉；分群2以(- 1.5×2π/360) rad/s的角速度勻速向左偏轉。在 54T＜t＜69T時間段，分群1以(-1.5×2π/360) rad/s的角速度勻速向左偏轉；分群2以(1 . 5×2π/360) rad/s的角速度勻速向右偏轉。之后，分群1和分群2機動停止，保持勻速直線運動。

圖7 群目標合并軌跡Fig.7 Merging trajectory of group target

圖8 群目標合并過程Fig.8 Merging process of group target

仿真可以看出，IMM-Bayesian算法可在海上低空突防編隊群目標合并時進行穩(wěn)定跟蹤，隨機矩陣可實施估計群目標形狀，圖8展現了群目標合并過程中目標的跟蹤情況，當2個橢圓合并成1個橢圓時，說明群目標已完成合并，之后當成1個群目標進行穩(wěn)定跟蹤。

6 結論

針對拐彎、分裂、合并等典型海上低空突防編隊群目標機動模式，將IMM算法與Bayesian遞推算法結合，完成對海上低空突防群目標整體的跟蹤，并利用隨機矩陣描述群目標形狀特征，采用橢圓擬合群目標形狀。其中針對群目標出現的分裂合并現象，采用基于最近鄰算法思想的跟蹤算法對群目標進行穩(wěn)定跟蹤。本算法只針對單個傳感器對海上群目標的跟蹤，又由于用橢圓僅是粗略地對群目標形狀進行估計，需進一步研究使其能更加精確的估計群目標的形狀。

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