☉江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)第十中學(xué) 李雪瓊

著名特級教師李庾南老師及其團(tuán)隊(duì)近年來提出“三學(xué)”（學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成），這是針對課例研究的一種操作要義，值得深入研習(xí)和積極實(shí)踐.筆者近期有機(jī)會執(zhí)教平方根（第1課時）研討課，積極踐行李老師的“學(xué)材再建構(gòu)”理念，對平方根的第1課時的教材內(nèi)容進(jìn)行了再建構(gòu)，取得了較好的教學(xué)效果.本文記錄該課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)教學(xué)思考，提供研討.

一、平方根（第1課時）教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

生活問題1：學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小紅裁了一塊邊長為7dm的正方形畫布，準(zhǔn)備畫上自己的作品參加比賽，那么這塊正方形畫布的面積是多少？

生活問題2：小歐也準(zhǔn)備參加比賽，他想裁出一塊面積為25dm的正方形畫布，那么這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？

預(yù)設(shè)問題：這兩個問題有什么不同？放到式子中看，它們是已知什么求什么？（板書：已知底數(shù)求它的二次冪；已知二次冪求它的底數(shù)）已知底數(shù)求它的二次冪，也就是平方你學(xué)過了嗎？會求嗎？已知二次冪求它的底數(shù)你學(xué)過了嗎？今天我們就來研究這些問題.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在七年級上冊已學(xué)習(xí)了有理數(shù)，并且學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算.隨著對數(shù)的認(rèn)識不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)，生活中存在的數(shù)并不全部都是有理數(shù)，比如面積為2的正方形的邊長就不是.數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)就十分必要，通過兩個生活情境問題引入數(shù)的開方，可以讓學(xué)生感受一類新數(shù)產(chǎn)生的自然而然.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 特例引路，定義開方

問題1：將“52=25”中的底數(shù)5擦除，改為括號，可以填什么數(shù)？

預(yù)設(shè)：學(xué)生填數(shù)，得到根據(jù)平方運(yùn)算，可以填±5.

問題2：已知指數(shù)2及冪，求底數(shù)：

（ ）2=1；（ ）2=9；（ ）2=16；（ ）2=36；（ ）2=0.25.

定義開方：在乘方中，25是±5的平方，也叫二次方，反過來，我們把±5叫做25的平方根，已知指數(shù)、冪逆過來求底數(shù)的過程，稱數(shù)的開方.這些定義內(nèi)容及時板書.

教學(xué)組織：在定義一種新的運(yùn)算之后，安排學(xué)生結(jié)合下面的表格說出誰是誰的平方根，加深對概念的理解.

x2 1 9 16 25 36 x ±1 ±3 ±4 ±5 ±6

在學(xué)生初步理解平方根定義后，進(jìn)一步給出算術(shù)平方根的概念，并指出數(shù)的平方與開平方互為逆運(yùn)算.并介紹目前已學(xué)到的6種運(yùn)算分別是三對互逆運(yùn)算（加與減、乘與除、乘方與開方）.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 例題訓(xùn)練，鞏固新知

例1 判斷以下說法是否正確：

（2）6是36的一個平方根；

（3）-5是25的算術(shù)平方根；

（4）0.01是0.1的算術(shù)平方根.

設(shè)計(jì)意圖：通過這組例題的訓(xùn)練，讓學(xué)生加深對新概念的理解．可以安排學(xué)生先講，其他學(xué)生參與評析、辨析．如果有不恰當(dāng)?shù)谋硎鰰r，抓住這些錯誤資源，融入新課進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生回到定義來判斷．

例2 求下列各數(shù)的平方根與算術(shù)平方根：

教學(xué)組織：師生共同完成第（1）題后，后面3個小題由學(xué)生上臺板演.然后組織學(xué)生觀察各式平方根的共同點(diǎn)，得出結(jié)論：有兩個平方根且互為相反數(shù).

預(yù)設(shè)追問：是不是所有數(shù)的平方根都是兩個且互為相反數(shù)？（學(xué)生討論后全班交流，歸納并板書性質(zhì)）

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 定義符號，平方根與算術(shù)平方根的表示

分組活動：同學(xué)們現(xiàn)在能求一個數(shù)的平方根了嗎？小組內(nèi)一個同學(xué)說出一個數(shù)，然后讓其他同學(xué)求它的平方根.

教學(xué)組織：由學(xué)生說的非平方數(shù)順勢給出平方根和算術(shù)平方根的表示并板書.

結(jié)合前面的例題，讓學(xué)生學(xué)習(xí)書寫平方根的符號，解決學(xué)生提出的非平方數(shù)的平方根.

例3 直接寫出下列各式的值：

教學(xué)組織：學(xué)生口答并說出各式的含義，并要求學(xué)生觀察式子的符號與結(jié)果符號的關(guān)系.

教學(xué)環(huán)節(jié)（五） 小結(jié)與作業(yè)（略）

附：板書設(shè)計(jì)

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.深刻理解教學(xué)內(nèi)容，踐行“學(xué)材再建構(gòu)”

平方根的教學(xué)內(nèi)容在當(dāng)前不少版本的教材中都被不同方式呈現(xiàn)，有些教材是先由實(shí)際問題引入算術(shù)平方根，定義“根號”，然后第二課時再完善認(rèn)知，定義平方根的概念.我們選擇了基于第5種運(yùn)算——乘方的逆運(yùn)算出發(fā)，已知冪、指數(shù)，求底數(shù)的運(yùn)算，定義了第6種運(yùn)算——數(shù)的開方，并跟進(jìn)定義了平方根及符號表示.這是基于深刻理解教學(xué)內(nèi)容的觀點(diǎn)，積極踐行學(xué)材再建構(gòu)，而不跟隨教材亦步亦趨，從“教教材”走向了“用教材教”，追求了華東師大終師教授鐘啟泉先生所指出的“新舊教學(xué)的分水嶺”.

2.適度聯(lián)系實(shí)際情境，數(shù)的平方源自生活

數(shù)學(xué)史上有所謂的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，即無理數(shù)的發(fā)現(xiàn).據(jù)說大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯有一個弟子——希帕索斯，正是發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的人.他是在求正方形（邊長為1）的對角線時，希帕索斯發(fā)起了愁，這到底是個什么數(shù)？根據(jù)老師所講，“萬數(shù)皆數(shù)”，“1是所有數(shù)的生成元”，“宇宙的一切都?xì)w結(jié)于整數(shù)和整數(shù)之比”，希帕索斯花了很長時間發(fā)現(xiàn)了這樣的無理數(shù)，推翻了“萬物皆數(shù)”的觀點(diǎn)后，希帕索斯被教會囚禁起來，最終殘忍地將他丟進(jìn)大海，這是數(shù)學(xué)史上的一個悲劇.所以在數(shù)的開方教學(xué)時，適當(dāng)引入一些實(shí)際情境，讓學(xué)生感受到無理數(shù)與實(shí)際生活也是密切相關(guān)的.在上面的課例中，我們使用的最多的情境就是“已知正方形的面積，求正方形的邊長”.

3.精心預(yù)設(shè)板書設(shè)計(jì)，乘方開方互逆運(yùn)算

在近年來的《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）很多課例研究中，不但有教學(xué)流程的概述，還有板書設(shè)計(jì)的截圖呈現(xiàn)，讓我們受益甚大.在上文課例中，我們在最后也附出本課的板書設(shè)計(jì)，可以看出乘方與開方的逆運(yùn)算關(guān)系，以及定義、符號表達(dá)等之間的關(guān)系.一個好的板書，不但要把新概念、新性質(zhì)、新符號全部規(guī)范書寫在“主板區(qū)”（通常在黑板的左側(cè)），而且把具有關(guān)聯(lián)的概念、性質(zhì)或符號表達(dá)都用連接線恰當(dāng)關(guān)聯(lián)起來，以便讓學(xué)生能一目了然，加深他們對數(shù)學(xué)概念之間的廣泛聯(lián)系的理解，同時像平方根的定義、表示、性質(zhì)，還有平方根、數(shù)的開方與乘方之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系也得到揭示.順便指出，在當(dāng)前的現(xiàn)代化教學(xué)媒體面前，傳統(tǒng)的板書設(shè)計(jì)有所弱化，特別是一些數(shù)學(xué)新授課全是PPT課件“翻來翻去”，一節(jié)課下來都沒有板書，這種現(xiàn)象值得警惕.

三、寫在后面

根據(jù)我們對不少學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的觀察和了解，當(dāng)前有一個現(xiàn)象：日常教學(xué)以習(xí)題單式的學(xué)案代替了教材，而開展教學(xué)研討、示范課時，對教材又是亦步亦趨.這兩種現(xiàn)象都值得思考，日常教學(xué)時“以題代書”，離開教材搞教學(xué)的現(xiàn)象讓人擔(dān)憂，而公開課、參賽課時，又不敢對教材進(jìn)行“學(xué)材再建構(gòu)”，怕被評課老師說起對教材的編寫意圖缺少理解等.想來，基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)情積極開展“學(xué)材再建構(gòu)”還有很長的路要走.

參考文獻(xiàn)：

1.李庾南，祁國斌.自學(xué)·議論·引導(dǎo)：涵育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要范式［J］.課程·教材·教法，2017（9）.

2.劉東升.悠然神會，妙處與君說——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2014（5）.

3.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程，2014（2）.

4.李功林.章起始課：精選問題，驅(qū)動全章進(jìn)程——以“分式”章起始課為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（12）.

5.郭鋒.網(wǎng)絡(luò)研討，讓全組老師分享聽課意見——以一次學(xué)校數(shù)學(xué)組網(wǎng)絡(luò)研討活動為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（12）.F