☉浙江省臺(tái)州市白云中學(xué) 張安軍

數(shù)學(xué)思想可以歸納為三種基本思想，即抽象、推理和模型.［1］分類可看作是數(shù)學(xué)抽象派生出來(lái)的一種重要的思想方法，分類思想在義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材中有著廣泛的應(yīng)用.發(fā)展和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的目的和歸宿，而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，分類思想是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中經(jīng)常遇到的思想方法之一.本文以人教版初中數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)為例，以分類思想的視角看教材的編排，挖掘教材中隱含的分類思想，教學(xué)中有機(jī)地融入分類思想，幫助學(xué)生形成分類思想，談一些思考.

一、“分類”的視角看教材的編排

分類這一數(shù)學(xué)思想在人教版初中數(shù)學(xué)教材中有著廣泛的滲透，從教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)，概念、法則、定理的形成過(guò)程，例題、習(xí)題的編排設(shè)計(jì)，我們都可以發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的分類思想.

1.“分類”是理解數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的關(guān)鍵一環(huán)

法國(guó)抽象數(shù)學(xué)的主角布爾巴基（Bour-baki）指出：“數(shù)學(xué)不是研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的.數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)主要是指數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)，它不僅包括數(shù)學(xué)的基本概念和一般原理，而且還包括基本的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)觀念.”數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)既指數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排結(jié)構(gòu)——數(shù)學(xué)內(nèi)容及其排列、組合方式，也指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所固有的內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu).［2］數(shù)學(xué)教材是按照數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類并展開(kāi)學(xué)習(xí)，例如，初中數(shù)學(xué)內(nèi)容把數(shù)學(xué)分成“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“綜合實(shí)踐與應(yīng)用”，其中“圖形與幾何”在人教版數(shù)學(xué)義務(wù)教科書(shū)中分成平面圖形和立體圖形，其中平面圖形可分成直線型和曲線型，直線型又按邊（線段）的條數(shù)進(jìn)行分類，具體如圖1所示：

圖1

點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本元素，點(diǎn)動(dòng)成線，線分成直線型和曲線型，“圖形與幾何”的編排，從宏觀上以“線”為線索進(jìn)行分類，從直線型到曲線型，從簡(jiǎn)單的兩條直線的位置關(guān)系到多邊形.微觀上對(duì)于具體的幾何圖形首先是進(jìn)行分類，然后再進(jìn)行相關(guān)性質(zhì)的探索，例如，三角形，首先對(duì)構(gòu)成要素進(jìn)行分類，頂點(diǎn)——邊——內(nèi)角——三角形；其后三角形按邊的關(guān)系對(duì)三角形分成等腰三角形和三邊都不相等的三角形；按照角的大小，可以將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；三角形按構(gòu)成的元素重要性可分成主要元素和相關(guān)要素，邊和角是構(gòu)成三角形的主要元素，三角形的角平分線、中線、高是構(gòu)成三角形的相關(guān)要素.

上述不僅“圖形與幾何”的編排滲透分類思想，“數(shù)與代數(shù)”、“統(tǒng)計(jì)與概率”也滲透分類思想，可以說(shuō)分類滲透數(shù)學(xué)教材內(nèi)容中的每一個(gè)環(huán)節(jié)，分類的方法可以確定一種研究這個(gè)結(jié)構(gòu)的邏輯順序.理解教材是教好學(xué)生的其中一個(gè)前提，而分類的思想和方法是理解教材最好的切入點(diǎn).

2.“分類”的眼光看概念、法則、定理形成和編排

在人教版初中數(shù)學(xué)教材中的概念、法則、定理等蘊(yùn)含著豐富的分類思想.有的數(shù)學(xué)概念直接用分類的方法定義，如整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)等.有的數(shù)學(xué)概念定義方式是種加屬差，例如矩形，教材中利用平行四邊形的不穩(wěn)定性，當(dāng)一組鄰邊的位置特殊化為垂直時(shí)，此時(shí)平行四邊形矩形；因此從具體的情境中先確認(rèn)它是否平行四邊形，若為平行四邊形再確認(rèn)它的一組鄰邊位置關(guān)系是否垂直，從兩個(gè)維度進(jìn)行兩次分類，同樣正方形（菱形）從三個(gè)維度進(jìn)行三次（二次）分類.又如，一元二次方程的概念，教材中先結(jié)合具體情境，列出一元二次方程，讓學(xué)生概括這些方程的共同特點(diǎn)，是否是方程，等號(hào)兩邊是否都是整式，方程中是否只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是否為二次，從四個(gè)維度進(jìn)行四次分類.其實(shí)人教版有大量概念蘊(yùn)含著豐富的分類思想，從數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯明晰概念的內(nèi)涵和外延.

有理數(shù)加法法則在人教版的教材中是這樣引入的“引入負(fù)數(shù)后，除已有的正數(shù)與正數(shù)、正數(shù)與0相加外，還有負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)與正數(shù)相加、負(fù)數(shù)與0相加等”.教材中把兩個(gè)有理數(shù)相加通過(guò)分類的方法，哪一類有理數(shù)相加是熟悉的，哪些是陌生，明確本節(jié)課要探究的目標(biāo)，化陌生為熟悉.此外教材中換乘（除）法則、去括號(hào)法則等滲透著分類思想.

有些定理，通過(guò)對(duì)它們的分類，可以確定一種研究這個(gè)結(jié)構(gòu)的邏輯順序，按類各個(gè)擊破，形成一個(gè)新方法來(lái)證明這個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)果，有時(shí)，某種結(jié)果就是通過(guò)分類來(lái)證明，例如，教材中的圓周角定理的證明，以圓心在圓周角的位置為標(biāo)準(zhǔn)分成三類，當(dāng)圓心在圓周角的邊上、圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部，化繁為簡(jiǎn)，各個(gè)擊破.又如，線段垂直平分線性質(zhì)定理：“垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”，在證明時(shí)，當(dāng)垂直平分線上的點(diǎn)在這條線段的中點(diǎn)上和不在已知線段上兩種情形.

其實(shí)不僅在概念、法則、定理蘊(yùn)含著分類思想，而且在一些內(nèi)容安排上滲透著分類思想，例如，一次函數(shù)這一單元內(nèi)容的安排上，以一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b（k，b為常數(shù)且k≠0）中的b是否為0進(jìn)行分類，當(dāng)b＝0時(shí)為正比例函數(shù)，是一次函數(shù)的一種特殊情況；當(dāng)b≠0時(shí)為一次函數(shù)的一般情形.

3.分類的眼光看教材局部和整體的和諧融合

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想.分類是以比較為基礎(chǔ)的，通過(guò)比較，不僅能識(shí)別各對(duì)象之間的差異性，而且也能發(fā)現(xiàn)各對(duì)象之間的共性.分類的本質(zhì)是把一個(gè)復(fù)雜對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個(gè)部分，如果用集合語(yǔ)言表示，設(shè)某一對(duì)象的集合為M，按照對(duì)象的某一性質(zhì)分為若干個(gè)子集M1，M2，…，Mn，使得：（1）M=M1∪M2∪…∪Mn；（不漏）（2）Mi∩Mj=?（i≠j，1≤i，j≤n）（不重）.那么M1，M2，…，Mn叫做M的一級(jí)分類.集合M中M1，M2，…，Mn雖在某一性質(zhì)不相同，但在整體上它們都有共性.例如，初中的函數(shù)模型分為一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，在函數(shù)的性質(zhì)上雖不相同，但用整體的眼光，系統(tǒng)的視野下它們都存在共性，即通過(guò)引入變量，用變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系描述事物的變化過(guò)程，研究一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)變量是如何變化的規(guī)律，從定性的刻畫(huà)到定理的描述.具體表現(xiàn)各章節(jié)中都是在具體情境中得到所要研究的函數(shù)對(duì)象，然后加以定義，畫(huà)出圖像、觀察圖像、獲得性質(zhì)等認(rèn)知過(guò)程，體會(huì)函數(shù)的直觀研究方法，掌握這幾類典型的函數(shù)模型的圖像性質(zhì)，并能運(yùn)用這些函數(shù)模型描述、研究具體函數(shù)的變化過(guò)程，進(jìn)而解決問(wèn)題.［3］從中發(fā)現(xiàn)教材以分類的視角能起到化繁為簡(jiǎn)的作用，幫助我們更好地了解和認(rèn)識(shí)事物，學(xué)生在對(duì)每一個(gè)部分的認(rèn)識(shí)其實(shí)質(zhì)恰好是從積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想方法的提升，同時(shí)對(duì)各分類的綜合又能幫助學(xué)生形成整體的視野.

二、教學(xué)啟示

1.通過(guò)分類，有效地促成新、舊知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)

學(xué)生的知識(shí)積累是漸進(jìn)的，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)是逐步擴(kuò)展的.因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中都要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的組織和整理，建立涵蓋新、舊知識(shí)的新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).分類思想可以使數(shù)學(xué)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，有助于學(xué)生更好地掌握知識(shí)和形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，例如，在“直線與圓的位置關(guān)系”一課教學(xué)時(shí)，可以通過(guò)分類線與線的位置關(guān)系這個(gè)視角引入新課，先回顧直線與直線的位置關(guān)系及分類標(biāo)準(zhǔn)是什么，然后提出線與線的位置關(guān)系除了直線型，是否還存在其他線與線的位置關(guān)系呢（線有直線和曲線，目前已學(xué)過(guò)的特殊封閉曲線就是圓）？這樣引入不僅自然，而且把將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容類比直線與直線的位置關(guān)系，從而構(gòu)建新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，如圖2所示.

圖2

同時(shí)，也可以在本節(jié)課的小結(jié)中通過(guò)與上一節(jié)“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”進(jìn)行比較，并提出下一節(jié)課所要探討的學(xué)習(xí)主題，從而幫助學(xué)生進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，既加強(qiáng)新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，又在原有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中自然而合理地提出下一節(jié)課（三解形內(nèi)切圓）所要探討的問(wèn)題.

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓上?d=r 直線與圓相切?d=r點(diǎn)在圓外?d>r 直線與圓相離?d>r點(diǎn)在圓內(nèi)?d

知識(shí)只有成了系統(tǒng)，才能被我們充分掌握.腦子里裝滿了片斷的毫無(wú)聯(lián)系的知識(shí)，那就像東西放得雜亂無(wú)章的倉(cāng)庫(kù)一樣，連主人自己也無(wú)法從中找到他所需要的東西．不僅是新授課要有意識(shí)滲透分類思想，其實(shí)人教版每個(gè)章節(jié)的單元小結(jié)中，都滲透著分類思想，構(gòu)建出本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，把本章節(jié)知識(shí)形成了系統(tǒng)化.

2.通過(guò)分類，有效地促進(jìn)概念、法則等理解

數(shù)學(xué)概念、法則、定理等是構(gòu)成數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在教學(xué)中不僅要關(guān)注結(jié)果，還要注重概念、法則等形成的過(guò)程.通過(guò)分類可以促進(jìn)概念、法則、定理的理解.例如，在人教版八（上）“從分?jǐn)?shù)到分式”這一課中，可以先通過(guò)對(duì)兩個(gè)整數(shù)（整式）進(jìn)行四則運(yùn)算，得到結(jié)果有整數(shù)和分?jǐn)?shù)，對(duì)運(yùn)算結(jié)果的分類整理如下表.

用整式a和a+3進(jìn)行四則運(yùn)算，它們的運(yùn)算結(jié)果還是整式嗎？運(yùn)算 加、減、乘法 除法 加、減、乘法 除法結(jié)果 整數(shù) 分?jǐn)?shù) 整式 ？問(wèn)題用整數(shù)2和5進(jìn)行四則運(yùn)算，它們的運(yùn)算結(jié)果還是整數(shù)嗎？

通過(guò)比較，讓學(xué)生類比整數(shù)到分?jǐn)?shù)，從數(shù)到式，兩個(gè)整式相除可以得到分式，分式的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)整式不能整除時(shí)，結(jié)果用分式表示，可見(jiàn)分式從形式上看類似于分?jǐn)?shù)，都有分?jǐn)?shù)線；從分式產(chǎn)生的角度看，是因?yàn)閮蓚€(gè)整式進(jìn)行除法.［4］這樣就幫助學(xué)生進(jìn)一步明確整式和分式的概念.教材中有許多處都滲透分類思想，需要我們老師用心挖掘，并自覺(jué)地加以利用.為了方便起見(jiàn)，筆者統(tǒng)計(jì)了數(shù)與代數(shù)、幾何與圖形涉及分類思想的內(nèi)容（不含習(xí)題和閱讀材料等欄目的內(nèi)容）如下表.

數(shù)與代數(shù) 幾何與圖形有理數(shù)的概念，有理數(shù)的絕對(duì)值幾何圖形的分類（平面圖形、立體圖形）有理數(shù)加、乘、除法法則 從不同方向看立體圖形有理數(shù)的乘方，整式的概念，字母表示數(shù)取值分類，去括號(hào)法則直線段的分類，點(diǎn)和線段位置關(guān)系，角的分類（以角的始邊和終邊位置關(guān)系）象限分類，等式性質(zhì)，不等式性質(zhì) 直線與直線的位置關(guān)系數(shù)的平方根、立方根，實(shí)數(shù)的分類兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成角的分類同底數(shù)冪除法，因式分解方法分類三角形按邊分類，三角形按角分類分式、二次根式的概念及 a2全等三角形判定條件分類正比例函數(shù)性質(zhì)和一次函數(shù)性質(zhì)姨 的化簡(jiǎn)等腰三角形腰和底角不確定性引起的分類一元二次方程概念、根的判別式直角三角形直角的不確定性引起分類二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的分類平行四邊形判定和性質(zhì)定理，特殊平行四邊形分類反比例函數(shù)圖像及其性質(zhì)圓弧的概念，圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理三角函數(shù)的概念 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系

當(dāng)然對(duì)于分類思想，這里面要講清兩個(gè)要點(diǎn).首先，要明白為什么要分類，分類的原因是什么？教材中有的是為了條理化進(jìn)行分類，例如，有理數(shù)的概念，由于引進(jìn)了負(fù)數(shù)，數(shù)的地盤擴(kuò)大，如何把倉(cāng)庫(kù)里的有理數(shù)進(jìn)行條理化、秩序化，此時(shí)對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類；有的是為了區(qū)別需要分類，例如，三角形中按最大的角進(jìn)行分類；有的是數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類，如運(yùn)算中除數(shù)為不零；有的是圖形位置、形狀變化引起的分類，如直線與直線的位置關(guān)系；此外還有具體問(wèn)題等原因引起的分類.其次，在分類時(shí)，要正確選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類的標(biāo)準(zhǔn)是將數(shù)學(xué)對(duì)象不重復(fù)、不遺漏的劃分.

3.通過(guò)分類，有效地提升知識(shí)關(guān)聯(lián)度和遷移能力

讓學(xué)生用相同或相似的方法做事，是深刻體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效途徑.用相同的方法做相同的事情，是復(fù)習(xí)；用相同的方法做不同的事，則是遷移.“通過(guò)分類活動(dòng)，可以提升知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)度和遷移度，促進(jìn)學(xué)生有效積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、提升數(shù)學(xué)方法.［3］”代數(shù)式分為整式、分式和二次根式，式與式之間雖有不同，但也有著相同性，這就是用代數(shù)運(yùn)算加以表達(dá)的問(wèn)題，這里的運(yùn)算指的就是加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方，代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就是運(yùn)算律，用運(yùn)算律可以有效地解決各種各樣的代數(shù)問(wèn)題.用字母表示數(shù)，數(shù)的一般化就是式，數(shù)式通性，因此在“有理數(shù)”一章進(jìn)行了系統(tǒng)的“數(shù)及其運(yùn)算”的學(xué)習(xí)，初步建立了研究數(shù)系擴(kuò)張、運(yùn)算法則和運(yùn)算律的“基本套路”，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了代數(shù)的基本思想和基本方法的基礎(chǔ).在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中：引入一種新的數(shù)，先研究它的運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究它的運(yùn)算律.這是代數(shù)學(xué)的基本思路.同樣教材中整式、分式和二次根式也是先具體代數(shù)式的概念（定義研究對(duì)象）——具體代數(shù)式的性質(zhì)——具體代數(shù)式的運(yùn)算（運(yùn)算法則和運(yùn)算律的應(yīng)用），其中概念、性質(zhì)是運(yùn)算的基礎(chǔ)，在運(yùn)算中自然地提出“如何算”，并運(yùn)用運(yùn)算律得到相應(yīng)的運(yùn)算法則，從而有效地、系統(tǒng)地進(jìn)行各類代數(shù)式的運(yùn)算.

其實(shí)不僅僅是代數(shù)式，例如，函數(shù)、幾何圖形等在研究上都有著共同的“基本套路”，例如，通過(guò)對(duì)函數(shù)的分類，可以分成一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，雖然一次函數(shù)和反比例函數(shù)在性質(zhì)上有所不同，但是它們?cè)谘芯康膬?nèi)容、思路、方法和結(jié)果上有著相似性，這就是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中用相同的方法做不同的事情，又如，對(duì)幾何圖形中三角形的研究，教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)是三角形→等腰三角形→直角三角形，體現(xiàn)了從整體到局部，從一般到特殊，從課程的整體結(jié)構(gòu)上、知識(shí)的內(nèi)在邏輯上提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生面對(duì)一個(gè)幾何對(duì)象，從構(gòu)成的主要元素和相關(guān)元素進(jìn)行探索.［5］這里做不同的事情就是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，相同的方法就是數(shù)學(xué)的思想和方法，數(shù)學(xué)思想方法就是在基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中累積和提升.

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