朱妮潔

（南京理工大學(xué)理學(xué)院，南京210094）

引言

可轉(zhuǎn)換債券是由公司發(fā)行，在一定時(shí)期內(nèi)可按事先約定的條件轉(zhuǎn)換成一定數(shù)量該公司發(fā)行的普通股股票的一種特殊公司債券。除了具有普通債券所具有的債券要素和自身的特定要素外，可轉(zhuǎn)債還由一系列附屬條款構(gòu)成，是一種兼具期權(quán)性和債務(wù)性的中長(zhǎng)期混合金融衍生產(chǎn)品。發(fā)行人通過組合不同的條款來(lái)適應(yīng)自身的融資需求，也為投資者提供了具有差別化的產(chǎn)品。因此，對(duì)于這種靈活性的金融工具如何合理定價(jià)是目前研究的重點(diǎn)。

我國(guó)的可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)發(fā)展較為緩慢，雖然1992年發(fā)行了第一只“寶安轉(zhuǎn)債”，但由于相關(guān)法律的缺失以及條款設(shè)計(jì)問題，造成首次嘗試并不成功。此后經(jīng)過多年的停滯，可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)在1997年才走上規(guī)范化發(fā)展的道路。

對(duì)于可轉(zhuǎn)債定價(jià)的研究，最初只是利用現(xiàn)金流貼現(xiàn)法進(jìn)行粗略估計(jì)，直到1977年，Ingersoll將公司價(jià)值作為基礎(chǔ)資產(chǎn)通過考察其動(dòng)態(tài)過程來(lái)確定可轉(zhuǎn)債的合理價(jià)格水平，才出現(xiàn)了第一個(gè)真正合理的基于公司價(jià)值的單因子無(wú)套利定價(jià)模型。不久，該模型被擴(kuò)展為基于公司價(jià)值和利率的雙因素定價(jià)模型。雖然基于公司價(jià)值的模型在理論上非常具有吸引力，能夠很好地結(jié)合信用風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)化模型，但是由于并非所有公司資產(chǎn)都是可交易的，公司價(jià)值及其波動(dòng)率等參數(shù)難以估計(jì)，因此實(shí)用性較差。Brennan和Schwartz（1986）將股價(jià)作為基礎(chǔ)資產(chǎn)，開創(chuàng)性地提出了基于股價(jià)的單因子模型，很快也被擴(kuò)展為基于股價(jià)和利率的雙因子模型。由于股價(jià)可以直接獲取，因此基于股價(jià)的研究更具有實(shí)用性，發(fā)展也較為迅速。目前將股價(jià)應(yīng)用于可轉(zhuǎn)債定價(jià)研究的方法主要分為兩類：解析方法和數(shù)值方法，其中最為著名的解析方法就是Black-Scholes公式法，而數(shù)值方法則更為多樣化，常用的有樹方法、有限差分法以及Monte Carlo模擬法。我們知道，普通的蒙特卡洛模擬的方法能夠有效考慮可轉(zhuǎn)債條款中暗含的路徑依賴特征，但無(wú)法處理美式期權(quán)的定價(jià)。隨著Longstaff和Schwartz（2001）提出最小二乘蒙特卡洛模擬法，利用一組以狀態(tài)變量為自變量的基函數(shù)來(lái)估計(jì)每個(gè)時(shí)點(diǎn)期權(quán)的存續(xù)價(jià)值，有效解決了美式期權(quán)的定價(jià)問題，而具有美式期權(quán)特性的可轉(zhuǎn)債，提前轉(zhuǎn)股的性質(zhì)也同樣適用于這種方法。本文在此基礎(chǔ)上全面考慮可轉(zhuǎn)債的各個(gè)條款及波動(dòng)率和利率對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)效果的影響，最終選用GARCH（1，1）模型估計(jì)波動(dòng)率，并在實(shí)證中對(duì)3只可轉(zhuǎn)債進(jìn)行上市首日進(jìn)行定價(jià)檢驗(yàn)。

一、LSM可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型

（一）可轉(zhuǎn)債最優(yōu)行權(quán)策略分析

如今，我國(guó)市場(chǎng)上發(fā)行的可轉(zhuǎn)債一般都附有大多相類似的回售、贖回以及轉(zhuǎn)股價(jià)修正條款，這種條款的一致性有助于我們給出一個(gè)統(tǒng)一的定價(jià)模型，并檢驗(yàn)其預(yù)測(cè)效果。有了基于LSM法美式期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)，可以將可轉(zhuǎn)債的定價(jià)看作是美式期權(quán)加上其特有的回售、贖回以及轉(zhuǎn)股價(jià)修正條款。

根據(jù)鄭振龍、林海（2004）的研究，我們知道發(fā)行人的決策目的是為了使得投資者以盡可能高的轉(zhuǎn)股價(jià)盡早實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)股，除非發(fā)生了觸發(fā)回售權(quán)，面臨回售壓力的情況，否則發(fā)行人是不會(huì)主動(dòng)調(diào)整轉(zhuǎn)股價(jià)的，并且其調(diào)整轉(zhuǎn)股價(jià)的幅度通常以不滿足回售條款最低為限。而贖回條款則是發(fā)行人逼迫投資者實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)股設(shè)立的，在公司決定執(zhí)行全部贖回時(shí)，發(fā)行人會(huì)發(fā)出贖回公告，提示投資者即將行使贖回權(quán)，通常會(huì)給定投資者一段時(shí)間，在這段時(shí)間內(nèi)，投資者仍然有行使轉(zhuǎn)股的權(quán)利直到贖回登記日，在贖回登記日次一交易日起所有在登記在冊(cè)的可轉(zhuǎn)債將全部被凍結(jié)。當(dāng)這種情形發(fā)生時(shí)，如果投資者不進(jìn)行轉(zhuǎn)股，就只能獲得條款中事先規(guī)定的贖回價(jià)，一般是票面價(jià)值上浮6%～8%加上本期應(yīng)計(jì)利息，此時(shí)理性投資者必定會(huì)選擇轉(zhuǎn)股以獲得遠(yuǎn)高于贖回價(jià)的收益。

綜上分析，當(dāng)股價(jià)過低而觸發(fā)回售條款時(shí)，為避免投資者行使回售權(quán)發(fā)行公司必定會(huì)選擇調(diào)整轉(zhuǎn)股價(jià)，所以回售理論上將不會(huì)發(fā)生。此外，假設(shè)投資者都是理性的，在觸發(fā)贖回條款時(shí)也都會(huì)選擇有更高收益的轉(zhuǎn)股，因此贖回權(quán)也是不會(huì)發(fā)生的。

（二）可轉(zhuǎn)債的存續(xù)價(jià)值

在排除回售權(quán)和贖回權(quán)之后，發(fā)行公司和投資者的最優(yōu)執(zhí)行策略取決于存續(xù)價(jià)值，而基于LSM的可轉(zhuǎn)債定價(jià)關(guān)鍵在于找到這個(gè)存續(xù)價(jià)值，這也是這個(gè)模擬算法的核心內(nèi)容。存續(xù)價(jià)值的意義為現(xiàn)在時(shí)刻不執(zhí)行任何選擇權(quán)，繼續(xù)保持債券的狀態(tài)所能獲得的回報(bào)。在任意時(shí)刻tk，根據(jù)無(wú)套利定價(jià)理論，可轉(zhuǎn)債的存續(xù)價(jià)值F（ω；tk）可以在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下用未來(lái)現(xiàn)金流貼現(xiàn)得到：

這里r（ω，t）是t時(shí)刻狀態(tài)ω下的瞬時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，CFf（ω，tj；tk，T）表是在tk時(shí)刻之后執(zhí)行選擇權(quán)，所能獲得的全部現(xiàn)金流。在給定一系列模擬的可轉(zhuǎn)債價(jià)值路徑后，我們可以直接求得其貼現(xiàn)現(xiàn)金流，關(guān)鍵任務(wù)是要得到在可獲信息集基礎(chǔ)上的條件期望價(jià)值。為此，這里主要依據(jù)Longstaff和Schwartz（2001）的最小二乘回歸技術(shù)，通過逆推估計(jì)每條路徑在各時(shí)點(diǎn)的條件期望存續(xù)價(jià)值，并與行權(quán)價(jià)值相比較，從而確定每條路徑最優(yōu)執(zhí)行策略。

假設(shè)tk時(shí)刻可轉(zhuǎn)債的存續(xù)價(jià)值可以被表示為將tk時(shí)刻可獲信息與貼現(xiàn)的未來(lái)現(xiàn)金流相關(guān)的狀態(tài)變量的一組基函數(shù)的線性組合。

其中，X表示tk時(shí)刻路徑ω的狀態(tài)變量，αi是常數(shù)系數(shù)，fi（X）是基函數(shù)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程，效果最好且最常用的基函數(shù)為：

這里，Yt為t時(shí)刻相應(yīng)的貼現(xiàn)現(xiàn)金流，St為t時(shí)刻標(biāo)的股票價(jià)格。

（三）參數(shù)選取

1.股價(jià)波動(dòng)率?；A(chǔ)股價(jià)波動(dòng)率σt即為基礎(chǔ)股價(jià)的變動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差，它反映的是股價(jià)未來(lái)變動(dòng)的不確定性。高的股價(jià)波動(dòng)率表示股價(jià)出現(xiàn)高價(jià)的機(jī)會(huì)越多，可轉(zhuǎn)債中內(nèi)嵌期權(quán)價(jià)值也將越大，可轉(zhuǎn)債的價(jià)值就越高。

一般對(duì)于金融衍生品定價(jià)，股價(jià)波動(dòng)率的估計(jì)方式主要有歷史波動(dòng)率和隱含波動(dòng)率兩種形式，考慮到我國(guó)金融市場(chǎng)尚不完善，所以無(wú)法使用隱含波動(dòng)率法來(lái)估值。歷史波動(dòng)率則是由實(shí)際的歷史數(shù)據(jù)計(jì)算得到的過去一段時(shí)間內(nèi)的股價(jià)波動(dòng)率，如此使用的常數(shù)波動(dòng)率并不能很好地符合實(shí)際，由于我國(guó)可轉(zhuǎn)債期限大多在3—6年，期限較長(zhǎng)，且考慮到金融資產(chǎn)的收益率多數(shù)表現(xiàn)出波動(dòng)聚類現(xiàn)象，所以本文選用GARCH（1，1）模型估計(jì)股價(jià)波動(dòng)率。此外，GARCH模型的離散時(shí)間過程也能夠很好地結(jié)合蒙特卡洛模擬。股價(jià)波動(dòng)率的形式如下：

2.無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。前人的研究表明，利率隨機(jī)化對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)效果影響并不明顯，幾乎可以忽略不計(jì)。因此，本文在對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行估計(jì)時(shí)，并不再考慮利率的隨機(jī)化，直接選用可轉(zhuǎn)債上市前一日同期國(guó)債到期收益率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

（四）LSM算法實(shí)現(xiàn)過程

設(shè)可轉(zhuǎn)債期限為T，當(dāng)前時(shí)刻為0，將期限以天為單位分為n段，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1，利用GARCH（1，1）模型估計(jì)出股價(jià)波動(dòng)率的隨機(jī)過程。

步驟2，假設(shè)標(biāo)的股票價(jià)格S遵循帶有幾何布朗運(yùn)動(dòng)干擾項(xiàng)的隨機(jī)微分方程：

從確定的S0出發(fā)，使用蒙特卡洛法，對(duì)股市的未來(lái)走向進(jìn)行模擬。

步驟3，在模擬的N路徑中首先找出滿足回售條件的，分析認(rèn)為發(fā)行公司不會(huì)允許回售情況發(fā)生，所以若有路徑出現(xiàn)觸發(fā)回售情形，發(fā)行人會(huì)立即調(diào)整轉(zhuǎn)股價(jià)格，使得回售不發(fā)生。

步驟4，在這些調(diào)整了轉(zhuǎn)股價(jià)的M條路徑中，找出觸發(fā)贖回條款的路徑n1條。分析認(rèn)為觸發(fā)贖回權(quán)時(shí)，理性投資者會(huì)選擇轉(zhuǎn)股，計(jì)算此時(shí)轉(zhuǎn)股價(jià)值，再將其貼現(xiàn)到0時(shí)刻，取平均記為q1。

步驟5，尋找剩余未做轉(zhuǎn)股價(jià)調(diào)整的路徑中觸發(fā)贖回的路徑n2條，同步驟4，計(jì)算轉(zhuǎn)股價(jià)值，再將其貼現(xiàn)到0時(shí)刻，取平均記為q2。

步驟6，在排除了條款的影響之后，剩下的路徑就可以按照LSM美式期權(quán)定價(jià)的方法，尋找最優(yōu)停時(shí)確定可轉(zhuǎn)債價(jià)值。首先計(jì)算到期日可轉(zhuǎn)債價(jià)值，當(dāng)轉(zhuǎn)股價(jià)值大于持有價(jià)值（T時(shí)刻為贖回價(jià)）就轉(zhuǎn)股，因此到期日可轉(zhuǎn)債價(jià)格可以表示為

其中，X表示轉(zhuǎn)股價(jià)，P表示到期贖回價(jià)。同理，找出T－1時(shí)刻的轉(zhuǎn)股價(jià)值大于持有價(jià)值的L條路徑，并記它們的股價(jià)為Z，再將路徑對(duì)應(yīng)C（T）的貼現(xiàn)到T－1時(shí)刻，記為Y。此時(shí)，利用最小二乘回歸，選取依賴變量Z、Z2回歸Y，回歸方程如下：

然后將Z代回上式，便求出T－1時(shí)刻的期望收益，即為我們估計(jì)的持有價(jià)值。將其與此時(shí)的轉(zhuǎn)股價(jià)值相比較，決定是否轉(zhuǎn)股或繼續(xù)持有。若某條路徑選擇繼續(xù)持有則它的轉(zhuǎn)股價(jià)值設(shè)為0。重復(fù)這個(gè)步驟直到期初時(shí)刻，最后將非零的轉(zhuǎn)股價(jià)格貼現(xiàn)到1時(shí)刻，取平均值為q3。

步驟7，求q1、q2和q3的負(fù)權(quán)均值，即為可轉(zhuǎn)債的理論價(jià)值，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

三、實(shí)證研究

（一）樣本選取

截至2017年6月底，我國(guó)共有21只上市可轉(zhuǎn)債，綜合考慮發(fā)行時(shí)間長(zhǎng)短及流動(dòng)性等因素，選取了基本能代表我國(guó)可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)的3只可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)實(shí)證研究，其主要條款（如表1所示）。

（二）可轉(zhuǎn)債定價(jià)分析

利用本文建立的基于最小二乘蒙特卡洛模擬的可轉(zhuǎn)債定價(jià)方法，使用matlab編程實(shí)現(xiàn)模型計(jì)算過程，估計(jì)出所選取的3只可轉(zhuǎn)債上市首日價(jià)格（見表2）。

表2 樣本可轉(zhuǎn)債的上市首日定價(jià)

用誤差率來(lái)分析模型的定價(jià)精度，根據(jù)上表，求得這些可轉(zhuǎn)債定價(jià)的誤差率在10%以內(nèi)，平均誤差率為4.67%，按照95%的定價(jià)精度來(lái)考慮，本文的定價(jià)方法達(dá)到了95.33%，超過95%的水平，可以認(rèn)為本文模型的定價(jià)結(jié)論是可信的。此外發(fā)現(xiàn)，定價(jià)的3只可轉(zhuǎn)債價(jià)值都存在被市場(chǎng)低估的現(xiàn)象，探討其原因，總結(jié)為三點(diǎn)：第一，可轉(zhuǎn)債本身作為新型金融產(chǎn)品，在我國(guó)發(fā)展時(shí)間較短，投資者對(duì)其認(rèn)知不足，使得其內(nèi)在價(jià)值未被充分挖掘；第二，低迷的整體市場(chǎng)環(huán)境導(dǎo)致市場(chǎng)不看好發(fā)行公司股價(jià)的未來(lái)走勢(shì)，低估了內(nèi)嵌轉(zhuǎn)換期權(quán)的價(jià)值；第三，使用不同的股價(jià)樣本區(qū)間和不同的估計(jì)方法會(huì)得到不同的參數(shù)，從而造成定價(jià)誤差，對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響。

結(jié)語(yǔ)

實(shí)證結(jié)果表明，本文的定價(jià)模型能夠達(dá)到較高精度，具有一定的實(shí)踐指導(dǎo)意義。通過定價(jià)模型對(duì)市場(chǎng)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，我國(guó)可轉(zhuǎn)債存在價(jià)格被低估的現(xiàn)象。對(duì)于模型價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格存在的差距，原因可能是我們只在理論層面上分析了可轉(zhuǎn)債的定價(jià)，主要是以標(biāo)的股票的走向?yàn)橹匾笜?biāo)，而沒有從公司經(jīng)營(yíng)的層面上去分析可轉(zhuǎn)債的價(jià)格變化。此外，對(duì)于交易費(fèi)用、股票分紅、信用風(fēng)險(xiǎn)、股權(quán)稀釋等其他影響可轉(zhuǎn)債價(jià)格的因素并沒有考慮在本文中。因此，綜合考慮各種因素以提高定價(jià)精度，是本文后續(xù)研究的方向。

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